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第2章 平稳随机过程

2．1　平稳随机过程的基本概念
引言
“平稳”的中文含意：平坦、稳定。不大起大落。
随机过程，当变化时，得一系列随机变量：，，……。
具有“平稳”性，是指的变化稳定，不“大起大落”，各具有相同的分布规律、或具有相同的数字特征、或具有相同的概率密度。
在统计学中，，，……往往假设满足“独立同分布”（）。“独立”性不太容易满足，“同分布”就包含了“平稳性”。

2．1．1　严平稳过程及其数字特征
一、定义
随机过程的维概率密度（或维分布函数）不随时间起点选择不同而改变。即：对任何和，过程的概率密度满足：

则称为严平稳过程。
二、严平稳过程的一、二维概率密度
结论：严平稳过程的一维概率密度与时间无关；严平稳过程的二维概率密度只与、时间间隔有关。
证明：当＝1时，对任何，有。
取，则有。
当＝2时，对任何，有。
取，，则。
三、严平稳过程的数字特征
（1）若是严平稳过程，则它的均值、均方值、方差皆为与时间无关的常数。
证明：

（2）若是严平稳过程，则它的自相关函数只是间间隔的单变量的函数。
证明：

＝
2．1．2　宽平稳过程
　引言：要证明一个过程是来平稳过程往往较困难。在理论和应用中，只须研究随机过程的期望、方差和相关函数、功率谱密度等。所以，严平稳过程的要求可适当放宽。
一、 定义
若随机过程的数学期望为一常数，其自相关函数只与时间间隔有关，且它的均方值有限，即：

则称为宽平稳过程（或广义平稳过程）。
二、举例：
例1　设随机过程，与为常数，为在上均匀分布的随机变量，证明是平稳过程。
证明：＝
＝

＝
＝

可见，是宽平稳过程。
例2，设，，式中是随机变量，讨论、的平稳性。
解：是平稳过程，因为：

不是平稳过程，因为：

例3　设随机过程，是在上均匀分布的随机变量，只能取整数，证明是平稳过程。
证明：＝
＝＝0

＝
＝
2．2　遍历性过程
引言：在实用中，如何求的数字特征？以为自变量，是一曲线族。对的测量（考查）时，严格意义上讲，无法同时得到多条曲线。
问题：只获得一条曲线时，能否准确得到的数字特征？
2..2.1　遍历性过程定义
一、随机过程的时间均值、时间自相关函数
的含义是：当固定时，是随机变量的均值。当变动时，相对于时间的均值如何求？
在时间，以为时间间隔，等间距的抽取个点（），得，，……，其平均值为

在随机过程沿整个时间轴的两种时间平均

分别称为时间均值和时间自相关函数。
与都是随机变量。
二、 遍历性过程定义
设是平稳过程，若满足：
（1）以概率1成立，则称的均值具有各态遍历性。
（2）以概率1成立，则称的自相关函数具有各态遍历性。
（3）当时，以概率1成立，则称的均方值具有各态遍历性。
如果的时间均值、时间自相关函数、时间均方值都具有遍历性，则称是遍历过程。
2..2.2　计算举例
例4　设随机过程，与为常数，为在上均匀分布的随机变量，讨论的遍历性。
解：是遍历过程，因为：
　　　　　　＝
例5　，是随机变量，讨论的遍历性。
解，不是遍历过程，因为：
　，而是随机变量，所以。
原因分析：的取值与时间无关，当时间变动时，可能取某个随机值而变动。
2..2.3、随机过程具备遍历性的条件
一、遍历过程必须是平稳的。（平稳过程不一定是遍历的）。
二、平稳过程的均值具备遍历性的充要条件是：

三、 平稳过程的自相关函数具备遍历性的充要条件是：

式中　
四、 对于正态平稳过程，若均值为0，自相关函数连续，此过程具备遍历性的一个充要条件是：。

2．3　随机过程统计特征的实验研究方法
引言：遍历过程的有一个很实际的意义：用时间均值来代替随机变量的均值，即用一个历程（一次样本函数）来获取数学期望、自相关、均方值等数字特征。
在具体的工程应用中，需要等间距离散采样，获取的是离散随机数据，具体如下：以单位时间为时间间隔，等间距的抽取个点，得个随机变量，，……，或记为，，……。在工程应用中，得到的是一组样本值，，…, .
利用，，…, 来计算随机过程的统计特征，是工程中常用的方法。
2.3.1、均值估计
具有遍历性，，用时间均值来估计：

是的无偏估计，也是极大似然估计。

2.3.2、方差估计
具有遍历性，已知
方差的估计为：

此估计是极大似然估计，是无偏估计。
未知，方差的估计为：

此估计是渐近无偏估计。
2.3.2、自相关估计
按定义，。

是的渐近无偏估计。

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