图形中最短问题的解题策略(学生练习).doc

南通市初中数学基地活动课堂教学设计(学习单) 如皋市外国语学校 汤炳祥 2013.10.31
图形中一类“最短问题” 的解题策略初探
【学习目标】
1．进一步感悟几何基本事实在解决图形中最短问题的应用；
2．通过对具体问题的研究，学会用对称等变换将问题进行转化的解题策略；
3．体会转化思想、数形结合思想、分类讨论思想等在数学解题中的应用策略．
【重点、难点】
重点：数学解题的策略； 难点：数学思想在解题中的应用．
【学习过程】
一、研究问题，感悟几何基本事实
1.解答以下一组问题：

（图1） （图2） （图3）
（1）如图1，已知A和B两点，请在平面内求作一点P，使PA+PB最短.
（说说你是怎样作的，为什么？）
（2）如图2，已知A和B两点和直线l，请在直线l上求作一点P，使PA+PB最短.
（你是怎样思考的，为什么？）
（3）如图3，已知A和B两点和直线l，请在直线l上求作一点P，使PA+PB最短.
（思考本题与第2题有何不同？你的解题方法是什么？是否有何解题策略？）
在以上各题中，体现了怎样的几何基本事实？________________________________.
2.几何基本事实的应用
（1）如图4，已知点A是∠MON内一点.
①在∠MON的两边上分别求作点B、C，使△ABC的周长最短；
②在上题中，若∠MON=30°，OA=2，则△ABC的最短周长是多少？

（图4）
请思考以下问题，并在小组内交流你的观点，倾听别人的见解.
你是怎样解决此类问题的？在此过程中运用了怎样的方法？有怎样的解题策略与别人分享.

二、研究新问题，再次感悟几何基本事实
1.（1）如图5，已知点A和直线l，在直线l上求作一点P，使线段AP最短.
体现的几何基本事实是________________________.

（图5） （图6）

（2）如图6，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点P是斜边AB上一动点，则线段PC的最小值为___________．
2. 几何基本事实的应用
如图7，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上一动点，PB切⊙O于点B，则PB的最小值是_______________.

（图7）
小组交流：
你是怎样解决此类问题的？在此过程中运用了怎样的方法？有怎样的解题策略与别人分享.

三、综合运用，深化数学思想，感悟解题策略
如图8，在菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P、Q、K
分别在线段BC、CD、BD上，则PK+QK的最小值为_______.

（图8）
解答以上各题后，谈谈你的解题体会：

三、课堂小结

四、课堂练习
1.如图9，在五边形ABCDE中，∠BAE=120°，∠B=∠E=90°，在BC、DE上分别作一点M、N，使得△AMN的周长最小，此时∠AMN+∠ANM=________.

（图9）
2.如图10，在△ABC中，AB=10，AC=6，BC=8，经过点C且与边AB相切的动圆O与CA，CB分别相交于点P，Q，则线段PQ长度的最小值是___________．

（图10）