高中数学随机变量及概率分布.doc

12.4 随机变量及概率分布

一、填空题
1.下列变量为离散型随机变量的是_______．
①掷10枚硬币出现的正面个数与负面个数之和
② 某机场每天正常情况下起飞的飞机数
③某公司办公室每天收到电话的次数
④ 高三（9）班某学生的身高
解析 ①、②、④ 中的随机变量结果无法按一定次序一一列出，故X不是离散型随机变量; ③中的随机变量的可能取的值都可以按一定次序一一列出，故它是离散型随机变量.
答案 ③ 
2. 袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，任意抽取2个球，设2个球号码之和为X，则X的所有可能取值个数为_______．
解析 X的可能取值为1＋2＝3，1＋3＝4,1＋4＝5＝2＋3,1＋5＝6＝4＋2,2＋5＝7＝3＋4，3＋5＝8,4＋5＝9，共7种．
答案 7
3.已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝ (k＝1,2,3)，则P(X＝2)等于_______．
解析 ∵++＝1，∴a＝3，P(X＝2)＝.
答案 
4．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X＝4)的值为________．
解析　用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量．
当X＝4时，说明取出的3个球有2个旧球，1个新球，∴P(X＝4)＝＝.
答案　
5．设随机变量X的概念分布P(X＝k)＝，k＝0、1、2、3，则c＝________.
解析　由P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝1得：＋＋＋＝1，
∴c＝.
答案　
6．设某项试验的成功率为失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)的值为________．
解析　设X的概率分布为：
X
0
1
P
p
2p
即“X＝0”表示试验失败，“X＝1”表示试验成功，设失败的概率为p，成功的概率为2p.由p＋2p＝1，则p＝.
答案　
7．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了X次球，则P(X＝12)等于________．
解析　“X＝12”表示第12次取到红球，前11次有9次取到红球，2次取到白球，因此P(X＝12)＝C92＝C102.
答案　C102
8．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数，则P(X≤1)等于________．
解析　P(X≤1)＝1－P(X＝2)＝1－＝.
答案　
9．连续向一目标射击，直至击中为止，已知一次射击命中目标的概率为，则射击次数为3的概率为________．
解析　“X＝3”表示“前两次未击中，且第三次击中”这一事件，
则P(X＝3)＝××＝.
答案　
10．设随机变量X的分布列为P(X＝i)＝，(i＝1,2,3,4)，则P＝________.
解析　P＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝.
答案　
11．如图所示，A、B两点5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2.现记从中任取三条线且在单位时间内通过的最大信息总量为X，则P(X≥8)＝________.

解析　法一　由已知，X的取值为7,8,9,10，
∵P(X＝7)＝＝，P(X＝8)＝＝，
P(X＝9)＝＝，P(X＝10)＝＝，
∴X的概率分布为
X
7
8
9
10
P

∴P(X≥8)＝P(X＝8)＋P(X＝9)＋P(X＝10)＝＋＋＝.
法二　P(X≥8)＝1－P(X＝7)＝1－＝.
答案　
12．甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得－1分)．若X是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X的所有可能取值是________．
解析　X＝－1，甲抢到一题但答错了．
X＝0，甲没抢到题，或甲抢到2题，但答时一对一错．
X＝1时，甲抢到1题且答对或甲抢到3题，且一错两对，
X＝2时，甲抢到2题均答对．
X＝3时，甲抢到3题均答对．
答案　－1,0,1,2,3
13．从三名男同学和n名女同学中任选三人参加一场辩论赛，已知三人中至少有1人是女生的概率是.则n＝________.
解析　三人中没有女生的概率为.
∴三人中至少有一人是女生的概率为：1－
由题意得：1－＝.解得n＝4.
答案　4
二、解答题
14.设离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.1
0.3
m
求：(1)2X＋1的分布列；
(2)|X－1|的分布列．
解析　由分布列的性质知：0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3.
首先列表为：
X
0
1
2
3
4
2X＋1
1
3
5
7
9
|X－1|
1
0
1
2
3
从而由上表得两个分布列．
(1)2X＋1的分布列：
2X＋1
1
3
5
7
9
P
0.2
0.1
0.1
0.3
0.3
(2)|X－1|的分布列：
|X－1|
0
1
2
3
P
0.1
0.3
0.3
0.3

15.某射手有5发子弹，射击一次命中概率为0.9.如果命中就停止射击，否则一直到子弹用尽，求耗用子弹数X的分布列．
解析 容易求出X取1,2,3,4时的概率分别为0.9,0.09,0.009,0.0009，当X＝5时，只要前四次射不中，都要射第5发子弹，不必考虑第5发子弹射中与否，所以P(X＝5)＝0.000 1，从而知耗用子弹数X的分布列为
X
1
2
3
4
5
P
0.9
0.09
0.009
0.000 9
0.000 1
16．在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从此10张奖券中任抽2张，求：
(1)该顾客中奖的概率；
(2)该顾客获得的奖品总价值X元的概率分布．
解析　(1)该顾客中奖，说明是从有奖的4张奖券中抽到了1张
或2张，由于是等可能地抽取，所以该顾客中奖的概率
P＝＝＝.

(2)依题意可知，X的所有可能取值为0,10,20,50,60(元)，且
P(X＝0)＝＝，P(X＝10)＝＝，
P(X＝20)＝＝，P(X＝50)＝＝，
P(X＝60)＝＝.
所以X的概率分布为：
X
0
10
20
50
60
P

17.甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．
(1)求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；
(2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；
(3)设随机变量X为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数，求X的概率分布．
解析　(1)记甲、乙两人同时参加A岗位服务为事件EA，那么P(EA)＝＝，
即甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是.
(2)记甲、乙两人同时参加同一个岗位服务为事件E，那么P(E)＝＝，
所以甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率
P()＝1－P(E)＝.
(3)随机变量X可能取的值为1,2，事件“X＝2”是指有两人同时参加A岗位服务，则P(X＝2)＝＝.
所以P(X＝1)＝1－P(X＝2)＝，X的概率分布是
X
1
2
P

18.某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，便可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止．如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6,0.7,0.8,0.9.求在一年内李明参加驾照考试次数X的概率分布，并求李明在一年内领到驾照的概率．
解析　X的取值分别为1,2,3,4.
X＝1，表明李明第一次参加驾照考试就通过了，
故P(X＝1)＝0.6.
X＝2，表明李明在第一次考试未通过，第二次通过了，
故P(X＝2)＝(1－0.6)×0.7＝0.28.
X＝3，表明李明在第一、二次考试未通过，第三次通过了，
故P(X＝3)＝(1－0.6)×(1－0.7)×0.8＝0.096.
X＝4，表明李明第一、二、三次考试都未通过，
故P(X＝4)＝(1－0.6)×(1－0.7)×(1－0.8)＝0.024.
∴李明实际参加考试次数X的概率分布为
X
1
2
3
4
P
0.6
0.28
0.096
0.024
李明在一年内领到驾照的概率为
1－(1－0.6)(1－0.7)(1－0.8)(1－0.9)＝0.997 6.