圆周卷积与周期卷积、线性卷积的关系与计算.doc

写在前面：
本文主要讨论圆周卷积的一种特殊情况：圆周卷积的点数小于参与卷积的序列的长度的情况。这种情况在大多数《数字信号处理》教材和习题中都没有专门提及或涉及，所以在计算过程中给很多同学带来了困惑。结课后这两天终于能轻松一点，重新把这个问题思考了一下，整理成文，供大家学习讨论。
从信号与系统的角度来考虑，“圆周卷积的点数小于参与卷积的序列的长度的情况”不具有太多的实际意义，因为在这种情况下信号周期化的过程中存在混叠，运算前信号已经产生失真。但从理论的角度来看，作为圆周卷积的一种特殊情况还是值得讨论的，通过讨论可以更好的理解圆周卷积与周期卷积、线性卷积的关系及计算方法。
另外，本文与考试无关，仅希望通过本文让大家更好的理解三种卷积之间的关系。如有疑问，可继续讨论。

黄勇坚
2011年7月3日
圆周卷积与周期卷积、线性卷积的关系及计算
一、三者关系
设：N：圆周卷积的点数
n 圆周卷积是周期卷积的主值序列。
周期卷积： （1）
圆周卷积：
（2）
注意：
Ø （2）式直接使用的前提是圆周卷积的点数N应满足：
（一般题目均符合此种情况）
Ø 若时，则不能直接用（2）式计算，否则分别用（2）式中的两个公式计算，即在卷积顺序不同时，会出现计算结果不一致的问题。这种情况下应从圆周卷积与周期卷积的关系出发，将（2）式改为：

（3）
即在此种情况下，首先需对都进行周期为N的延拓，然后再取主值序列进行计算。
n 周期卷积是线性卷积的周期延拓。
线性卷积：
（4）
圆周卷积与线性卷积的关系： （5）
注意：上述关系式对任意长度的圆周卷积均适合。
二、举例说明
1、对于的情况，各教材例题很多，不再举例。
2、的情况：以教材P114 习题8为例。
习题8.已知序列, ，求：
（1）
（2）（5点圆周卷积）。
解：
（1）（过程略）
（2）（5点圆周卷积），N=5。下面分别用三个公式计算，最后对结果进行讨论：
*利用公式：计算*
a. 先将以5点进行周期性延拓，然后取其主值序列。

计算过程如下：
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
m
1
2
0
0
1
3

x(m+5)

1
2
0
0
1
3

x(m)

1
2
0
0
1
3
x(m-5)
4
2
0
0
1
4
2
0
0
1
4
2
0
0
1
4
x((m))5

主值区间

b. 再将也以5点进行周期性延拓并翻褶，然后取其主值序列。
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
m
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
1
y((m))5
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
y((-m))5

主值区间

c．最后移位、相乘并相加，这些运算只需考虑主值序列即可。
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
m
f(n)

4
2
0
0
1

x(m)

1
0
1
1
1

y(-m)
5

1
1
0
1
1

y(1-m)
7

1
1
1
0
1

y(2-m)
7

1
1
1
1
0

y(3-m)
6

0
1
1
1
1

y(4-m)
3

主值区间

所以：={5,7,7,6,3}
*利用公式：计算*
a. 先将以5点进行周期性延拓，然后取其主值序列。
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
m
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0

y((m))5

主值区间

b. 再将以5点进行周期性延拓并翻褶，然后取其主值序列。
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
m
4
2
0
0
1
4
2
0
0
1
4
2
0
0
1
4
x((m))5
4
1
0
0
2
4
1
0
0
2
4
1
0
0
2
4
x((-m))5

主值区间

c．最后移位、相乘并相加，这些运算只需考虑主值序列即可。
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
m
f(n)

1
1
1
1
0

y(m)

4
1
0
0
2

x(-m)
5

2
4
1
0
0

x(1-m)
7

0
2
4
1
0

x(2-m)
7

0
0
2
4
1

x(3-m)
6

1
0
0
2
4

x(4-m)
3

主值区间

所以：={5,7,7,6,3}
可见，结果与前一个公式的计算结果一致，与圆周卷积的顺序无关。
*利用圆周卷积与线性卷积的关系计算*

-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
n
1
3
3
3
3
4
4
4
3

z(n+5)

1
3
3
3
3
4
4
4
3

z(n)

1
3
3
3
3
4
z(n-5)

5
7
7
6
3

f(n)

主值区间

所以：={5,7,7,6,3}
可见，计算结果与前两个公式一致，而且这种方法计算过程比较简单，但前提是先计算出线性卷积的结果。
三、结论
n 圆周卷积的计算始终要记住一点：圆周卷积虽然是针对有限长序列的卷积运算，但它是由周期卷积推导而来的，故隐含了周期性。
n （2）式虽然是圆周卷积的定义式，但要正确理解，灵活应用。它是在满足的前提下由周期卷积推导而来的，其适用场合仅限于的情况。
n 对于的情况，要从圆周卷积与周期卷积的关系出发，利用（3）式进行计算。只有这样，才能保证各种计算公式结果的一致性。
*以上仅为个人观点，欢迎大家一起讨论*