直线的方程TCT.doc

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精锐教育学科教师辅导讲义
学员编号： 年 级： 课 时 数： 3
学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师：
授课类型
T直线的倾斜角和斜率
C直线的方程
T直线方程的综合运用
授课日期及时段

教学内容

课堂导入
问题情景1、如何确定一条直线的位置？

问题情景2、用一个很小等腰直角的三角板，能不能画出一个很大的正方形的对角线，怎么画？

问题情景3、我们用什么样的几何量来刻画直线的方向？你想怎么样定义？

知识梳理
1.直线方程的概念：以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线
在平面直角坐标系中研究直线时，就是利用直线与方程的这种关系，建立直线的方程的概念，并通过方程来研究直线的有关问题.为此，我们先研究直线的倾斜角和斜率
2.直线的倾斜角与斜率：在平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，那么就叫做直线的倾斜角.
当直线和轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0° 因此，根据定义，我们可以得到倾斜角的取值范围是0°≤＜180°
倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用表示. 倾斜角是的直线没有斜率
3．概念辨析：为使大家巩固倾斜角和斜率的概念，我们来看下面的题.
关于直线的倾斜角和斜率，下列哪些说法是正确的：
A.任一条直线都有倾斜角，也都有斜率；
B.直线的倾斜角越大，它的斜率就越大；
C.平行于轴的直线的倾斜角是0或π；
D.两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等.
E.直线斜率的范围是(－∞，＋∞).
辨析：上述说法中，E正确，其余均错误，原因是：A.与x轴垂直的直线倾斜角为，但斜率不存在；B.举反例说明，120°＞30°，但；C.平行于轴的直线的倾斜角为0；D.如果两直线的倾斜角都是，但斜率不存在，也就谈不上相等.
说明：①当直线和轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0°；②直线倾斜角的取值范围是；③倾斜角是90°的直线没有斜率.
4.已知直线的倾斜角的取值范围，利用正切函数的性质，讨论直线斜率及其绝对值的变化情况：
(1)
作出在区间内的函数图象；由图象观察可知：当∈，＞0，并且随着的增大，不断增大， 也不断增大.
所以，当∈时，随着倾斜角的不断增大，直线斜率不断增大，直线斜率的绝对值也不断增大.
(2)
作出在区间内的函数图象，由图象观察可知：当∈，＜0，并且随着的增大，不断增大，不断减小.
所以当∈时，随着倾斜角的不断增大，直线的斜率不断增大，但直线斜率的绝对值不断减小.
针对以上结论，虽然有当∈，随着增大直线斜率不断增大；当∈，随着增大直线斜率不断增大. 但是当∈∪时，随着的增大直线斜率不断增大却是一错误结论. 原因在于正切函数在区间内为单调增函数，在区间内也是单调增函数，但在∪区间内，却不具有单调性

典例精讲
例1如图，直线的倾斜角＝30°，直线⊥，求、的斜率.

【答案】由题意可得、的倾斜角等于30°+90°=120°，90°-30°=60°从而得到、的斜率为tan60°、tan120°，运算求得结果．

【小结】本题主要考查直线的倾斜角和斜率的关系，体现了数形结合的数学思想，属于基础题．

变式练习：已知直线的斜率的绝对值等于，则直线的倾斜角为或.

【答案】设直线的倾斜角为，则，再根据的范围求出的大小.
∵直线的斜率的绝对值等于，设直线的倾斜角为，则，
又，故或
【小结】本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，已知三角函数值求角的大小.
例2、若经过点P（1－a，1＋a）和Q（3，2a）的直线的倾斜角为钝角，求实数a的取值范围。
解：∵k=且直线的倾斜角为钝角，
∴ 解得
【小结】本题考查过两点直线倾斜角范围求参数。运用解分式不等式解决问题。
变式练习：已知点M（2，2）和N（5，－2），点P在x轴上，且∠MPN为直角，求点P的坐标。
解：设点P的坐标为（x，0）
，
∴为直角 ，
∵ 解得x=1或x=6
∴ 点P的坐标为（1，0）或（6，0）

例3、△ABC为正三角形，顶点A在x轴上，A在边BC的右侧，∠BAC的平分线在x轴上，
求边AB与AC所在直线的斜率。
解：如右图，由题意知∠BAO=∠OAC=30°
∴直线AB的倾斜角为180°－30°=150°，直线AC的倾斜角为30°，
∴
【小结】利用角平分线性质求出角的数量关系，根据三角函数解题。
变式练习：已知A（1，－1），B（2，2），C（3，0）三点，求点D，使直线CD⊥AB，且CB∥AD。
解：设，则，
∵，
∴ ∴

巩固练习：
1．若直线向上的方向与轴正方向成30°角，则的倾斜角为 60° 、的斜率为 。
2．已知等边三角形ABC，若直线AB平行于轴，则∠C的平分线所在的直线的倾斜角为 0° ，
斜率为 0 ，另两边AC、BC所在的直线的倾斜角为 120°、60°，斜率为 （ －、 ） 。
3．当且仅当m为何值时，经过两点A（m，3）、B（-m，2m-1）的直线的倾斜角为60°？

回顾总结

导入
据说科学家伽利略为向亚里士多德宣战，曾手拿一大一小两个铁球，站在高高的比萨斜塔上，将一大一小两个铁球同时扔下，结果人们发现，两个铁球同时落地，于是亚里士多德的那个“物体下落速度与其重量成正比”的论断立刻被推翻了.
一个铁球可以看作是一个质点，那么铁球运动所形成的轨迹可以看做是满足某种运动规律的点的集合。我们将之推广在平面直角坐标系中，这样的点的集合被称为直线，直线的位置既可以由两个点来惟一确定，也可以由一个点和一个方向来确定.

知识梳理
一、直线的点斜式方程(以提问的方式检查学生所学)
1、直线的点斜式方程：直线经过点，且斜率为

注意：当直线的斜率为0°时，，直线的方程是。
当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都等于，所以它的方程是。
2、直线的斜截式方程：已知直线的斜率为，且与轴的交点为

二、直线的两点式方程
1、直线的两点式方程：已知两点其中

2、 直线的截距式方程：已知直线与轴的交点为A，与轴的交点为B，其中

三、 直线的一般式方程
1、直线的一般式方程：关于的二元一次方程（A，B不同时为0）
2、各种直线方程之间的互化。【引导学生归纳总结各种形式的互化，识记】
直线的方程最终都可以转化为一般式，反过来，直线的一般式方程也可以向其他形式转化，但对它的参数要有限制。
（1） 若,则直线垂直于轴，它不能转化为其余的四种形式；
（2） 若，，则直线垂直于轴，它只能转化为点斜式和斜截式；
（3） 若，，则直线的方程可转化为点斜式、斜截式和两点式，不能用截距式方程方式；
（4） 若，则直线的方程可转化为任何形式。
注意：各式的适用范围
特殊的方程如：
平行于x轴的直线：（b为常数）； 平行于y轴的直线：（a为常数）；

典例精讲
【已知斜率时，可设斜截式】
例1、求斜率为，且与坐标轴围成的三角形周长是12的直线L的方程。
解：设直线L的方程为
令得；令得。
∴，∴,∴直线L的方程为。
【在斜率已知的情况下，直线方程的斜截式有点类似于一次函数的形式，其中的b表示直线在y轴上的截距】
【已知直线过一点时，可设点斜式】
例2、直线L过点P（2，3），且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点。当|PA|•|PB|最小时，求直线L的方程
思路1：引进斜率，设L方程为y-3=k(x-2) (k<0)，则，。因此|PA|•|PB|=，所以当时|PA|•|PB|取最小值12，此时直线L的方程为。
思路2：设L倾斜角为α（α为钝角），将其补角记为θ（θ为锐角）。则|PA|=，|PB|=，∴|PA|•|PB|=，因此当θ=450，即斜率时|PA|•|PB|取最小值12，此时直线L的方程为。
【设了点斜式后，常常需要求出直线在轴和轴上的截距，然后解题】
【与截距相关问题，可设截距式】
例3、直线L过点P（4，3），且在轴、轴上的截距之比为1：2，求直线L的方程。
解：设直线L方程为：，
将点P（4，3）代入直线方程得，，
∴直线L的方程为：。
【截距式与直线在x轴和y轴上的截距相关，结合不等式知识解题。】
【适时应用“两点确定一条直线”】
例4、若,,则经过两点、的直线方程为_______。
【由条件知，点A、B都在直线上，而两点确定一条直线，故可得直线AB的方程即为。本题可看作直线方程“两点式”的变式】
例5、过点M（0，1）作直线L，使它被两条已知直线：和:所截得的线段AB被点M平分。求直线L的方程。
解：设点A（a,b）在L1上，由题设知，点B（-a,2-b）必在L2上，
∴∴即A（-4，2）、B（4，0）
根据两点式可得，直线AB方程为：。
【小结：用设点法借助直线方程的两点式而获得了简解】
【巩固练习】
1、三角形的顶点是A(－5，0)、B(3，－3)、C(0，2)，求这个三角形三边所在的直线方程.
解：【用两点式求AB所在直线的方程】
直线AB经过点A(－5，0)、B(3，－3)，由两点式得，整理得.
【用斜截式求BC所在直线方程】
因为B(3，－3)、C(0，2)，所以，截距b=2，由斜截式得，
整理得，这就是直线BC的方程.
【用截距式求AC所在直线的方程】
因为A(－5，0)、C(0，2)，所以直线在x，一轴上的截距分别是－5与2，有截距式得，整理 得，这就是直线AC的方程。
2、一条直线经过点A（－2，2），并且与两坐标轴围成的三角形面积为1，求这直线的方程。
解法一：设直线方程为 ，则有：
解得， 或 ，
∴直线方程为 或
解法二：令
从得
从得
∴
得或

【综合考虑、全局出发】
例6、经过点P（1，2）作直线L，使它到点A（-1，-1）的距离为2，求L的方程。
错解：设L的方程为，即
利用点到直线距离公式解得k=，故L的方程为。
剖析：由作图可得有两条直线符合要求。为什么会少解呢？原来直线方程的“点斜式”只有在直线斜率存在时才适用，还有一条斜率不存在时的直线x=1它也符合条件：到A点的距离为2。因此L的方程有两解：和。
点评：在直线方程的几种形式中，点斜式和斜截式必须在斜率存在的情况下使用，截距式必须在截距不为0且不与坐标轴平行时使用，两点式表示的直线必须不与坐标轴平行。

【巩固练习】
1、过点（3，-2）且在两坐标轴上截距相等的直线共有几条？
错解：设直线截距式方程为：，将（3，-2）代入得a=1，
∴直线方程为：。
剖析：以上错解忽略了截距式使用的条件——截距不为0，因而出现了少解。事实上，当直线过原点时，其在两轴上截距均为0，也相等，这时设直线方程为，易得，此时直线方程是。因此共有两条直线符合要求。

回顾总结
直线形式
直线方程
局限性
选择条件
点斜式

不能表示与x轴垂直的直线
已知一个定点和斜率k
已知一点，可设点斜式方程
斜截式

不能表示与x轴垂直的直线

已知在y轴上的截距
已知斜率，可设斜截式方程
两点式

不能表示与x轴、y轴垂直的直线
已知两个定点
已知两个截距
截距式

不能表示与x轴垂直、与y 轴垂直、过原点的的直线

已知两个截距
已知直线与坐标轴围成三角形的面积问题可设截距式方程
一般式

能表示所有的直线
求直线方程的最后结果均可以化为一般式方程

知识梳理
一、直线方程的五种形式

二、过的直线方程：

在确定直线的斜率、倾斜角时，首先要注意斜率存在的条件，其次是倾斜角的范围．每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率．所以在研究直线的有关问题时，应考虑到斜率存在与不存在的情况，避免出现漏解的情形．同时，斜率又是由倾斜角唯一确定的．
1．要正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值范围，熟记斜率公式：k＝，该公式与两点顺序无关，已知两点坐标(x1≠x2)时，根据该公式可求出经过两点的直线的斜率．当x1＝x2，y1≠y2时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°.
2．求斜率可用k＝tan α(α≠90°)，其中α为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分割，牢记：“斜率变化分两段，90°是分界，遇到斜率要谨记，存与否需讨论”．
3．求直线方程中一种重要的方法就是先设直线方程，再求直线方程中的系数，这种方法叫待定系数法．
典例精讲
【边讲边练】
例1、　在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD，AB＝2，BC＝1，AB、AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合．将矩形折叠，使A点落在线段DC上．若折痕所在直线的斜率为k，试写出折痕所在直线的方程．
(1)题目已告诉直线斜率为k，即斜率存在．(2)从题意上看，斜率k可以为0，也可以不为0，所以要分类讨论．
解　(1)当k＝0时，此时A点与D点重合，折痕所在的直线方程为y＝.
(2)当k≠0时，将矩形折叠后A点落在线段CD上的点为G(a,1)，所以A与G关于折痕所在的直线对称，有kAG·k＝－1，k＝－1⇒a＝－k.
故G点坐标为G(－k,1)，从而折痕所在的直线与AG的交点坐标(线段AG的中点)为M.
折痕所在的直线方程为y－＝k，
即y＝kx＋＋. ∴k＝0时，y＝；k≠0时，y＝kx＋＋.
(1)求直线方程时，要考虑对斜率是否存在、截距相等时是否为零以及相关位置关系进行分类讨论．
(2)本题对斜率k为0和不为0进行分类讨论．易错点是忽略k＝0的情况．
【直击高考】
例3、已知直线 y=0.5x 和两定点 A(1, 1), B(2, 2)
在此直线上取一点 P,使 | PA | 2 + | PB | 2 最小,求点 P 的坐标.
解：因为点P在直线 y=0.5x上，
∴ |PA|2+|PB|2 = (2t-1)2+(t-1)2 +(2t-2)2+(t-2)2

最小时，
例4、已知平面上两点A ( 4, 1 ) 和B ( 0, 4 ) 在直线l：3x-y-1 = 0 上求一点 M, 使| | MA |-| MB | | 的值最大.
先求B关于l 的对称点B1 连接AB1并延长交l于M,M就是所求的点.

∴M( 2, 5 )

巩固练习
例4.已知平面上两点A ( 4,1 ) 和B ( 0,4 ) ，在直线 l：3x －y －1 = 0 上求一点 M,
(1) 使 | MA | + | MB | 为最小.
解:由图知:A,M,B 三点共线且 M 在线段AB上时, | MA | + | MB | 最小.
∵ | M1A | + | M1B | ≥ | AB |,

(2) 使| | MA | －| MB | | 为最大.
解：先求B关于 l 的对称点B1 ,
由图知:A, B1 ,M三点共线,且 M 在线段AB1的延长线上 时,
| MA | －| MB | | 最大.

∴M( 2, 5 )
课时小结
1．求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率．
2．根据斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围；二是要考虑正切函数的单调性．

每一天都是全新的一天，每一天都是进步的一天。
从今天起步，在明天收获！

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