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上海市徐汇区2014年高三第一学期学习能力诊断数学【理】试卷及答案.doc

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资源描述
2014学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷 高三年级数学学科(理科) 2015.1 一.填空题(本大题满分56分)本大题共有14题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得0分. 1.已知,则__ ___. 2.若实数满足,则的最小值为 . 3.设是虚数单位,复数满足,则 . 4.函数的反函数 . 5.若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合,则该抛物线的准线方程为 . 6.若正四棱柱的底面边长为,高为,则异面直线与所成角的大小是______________.(结果用反三角函数值表示) 7.设数列的前项和为,若,,则的通项公式为 . 8.若全集,不等式的解集为,则= . 9.已知圆,方向向量的直线过点,则圆上的点到直线的距离的最大值为 . 10.如图:在梯形中,且,与 相交于,设,,用表示,则= . 11.已知函数,将的图像向左平移()个单位后得到函数的图像.若的图像上各最高点到点的距离的最小值为,则的值为 . 12.已知函数,其中. 当时,的零点依次记作,则 . 13.在平面直角坐标系中,对于函数的图像上不重合的两点,若关于原点对称,则称点对是函数的一组“奇点对”(规定与是相同的“奇点对”).函数的“奇点对”的组数是 . 14.设集合,则集合A中满足条件“”的元素个数为 . 二.选择题(本大题满分20分)本大题共有4题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得0分. 15. “”是“实系数一元二次方程有虚数根”的( ) (A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件 16.已知和是两条不同的直线,和是两个不重合的平面,则下列给出的条件中一定能推出的是 ( ) (A)且 (B)且 (C)且 (D)且 17.某电商在“双十一”期间用电子支付系统进行商品买卖,全部商品共有类,分别编号为,买家共有名,分别编号为.若,则同时购买第1类和第2类商品的人数是( ) (A)(B) (C) (D) 18.对于方程为+=1的曲线给出以下三个命题: (1)曲线关于原点中心对称; (2)曲线既关于轴对称,也关于轴对称,且轴和轴是曲线仅有的两条对称轴; (3)若分别在第一、第二、第三、第四象限的点M,N,P,Q都在曲线上,则四边形MNPQ每一条边的边长都大于2. 其中正确的命题是( ) (A)(1)(2) (B)(1)(3) (C)(2)(3) (D)(1)(2)(3) 三.解答题(本大题满分74分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 19.(本题满分12分) 本题共有2个小题,第1小题满分4分,第2小题满分8分. 已知函数,且. (1)求的值; (2)若,,求. 20.(本题满分14分) 本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分. 已知函数. (1)若函数为奇函数,求的值; (2)若函数在上为减函数,求的取值范围. 21.(本题满分14分) 本题共有2个小题,第1小题满分8分,第2小题满分6分. 如图所示,某传动装置由两个陀螺组成,陀螺之间没有滑动.每个陀螺都由具有公共轴的圆锥和圆柱两个部分构成,每个圆柱的底面半径和高都是相应圆锥底面半径的,且的轴相互垂直,它们相接触的直线与的轴所成角.若陀螺中圆锥的底面半径为. (1)求陀螺的体积; (2)当陀螺转动一圈时,陀螺中圆锥底面圆周上一点转动到点,求与之间的距离. 22.(本题满分16分) 本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分. 已知椭圆(常数)的左顶点为,点,为坐标原点. (1)若是椭圆上任意一点,,求的值; (2)设是椭圆上任意一点,,求的取值范围; (3)设是椭圆上的两个动点,满足,试探究的面积是否为定值,说明理由. 23.(本题满分18分) 本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分. 已知有穷数列各项均不相等,将的项从大到小重新排序后相应的项数构成新数列,称为的“序数列”.例如数列:满足,则其序数列为. (1)写出公差为的等差数列的序数列; (2)若项数不少于5项的有穷数列、的通项公式分别是(),(),且的序数列与的序数列相同,求实数的取值范围; (3)若有穷数列满足,,且的序数列单调递减,的序数列单调递增,求数列的通项公式. 理科参考答案 一、 填空题:(每题4分) 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 二、 选择题:(每题5分) 15. B 16. C 17. C 18. B 三、 解答题 19、解:(1),……………………..2’ ; ……………………..4’ (2), ,……………………..6’ ,,……………………..8’ 又,, ……………………..10’ .……………………..12’ 20、解:(1)对一切的成立,……………………..4’ 所以……………………..6’ (2)若,则函数在单调递增(舍)……………………..8’ 当时,令,……………………..9’ 则函数在上单调递减……………………..10’ 所以,……………………..13’ 即……………………..14’ 21、解:(1)设陀螺圆锥的高为,则,即……………………..2’ 得陀螺圆柱的底面半径和高为……………………..3’ ……………………..5’ ……………………..7’ ……………………..8’ (2)设陀螺圆锥底面圆心为, 则,……………………..10’ 得……………………..12’ 在中,……………………..14’ 22、解:(1), 得……………………..2’ ,即……………………..4’ (2)设,则 ……………………..5’ ……………………..6’ 由,得……………………..7’ ∴ 当时,最大值为;……………………..8’ 当时,最小值为;……………………..9’ 即的取值范围为……………………..10’ (3)(解法一)由条件得,,……………………..11’ 平方得, 即……………………..12’ ……………………..13’ = ……………………..15’ 故的面积为定值……………………..16’ (解法二)①当直线的斜率不存在时,易得的面积为……………………..11’ ②当直线的斜率存在时,设直线的方程为 ……………………..12’ 由,可得, 又,可得……………………..13’ 因为,……………………..14’ 点到直线的距离……………………..15’ 综上:的面积为定值……………………..16’ 23、解:(1)当时,序数列为;……………………..2’ 当时,序数列为……………………..4’ (2)因为,……………………..5’ 当时,易得,当时,, 又因,,,, 即, 故数列的序数列为,……………………..8’ 所以对于数列有, 解得:……………………..10’ (3)由于的序数列单调递减,因此是递增数列,故,于是, 而,所以,从而, (1) ……………………..12’ 因为的序数列单调递增,所以是递减数列,同理可得,故 (2) ……………………..14’ 由(1)(2)得:……………………..15’ 于是 ……………………..16’ ……………………..17’ 即数列的通项公式为()……………………..18’
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