牛顿法上机实验.doc

设计性实验报告
课程名称: 最优化 实验名称: 牛顿法
实验地点: 指导老师:
实验时间:
提交时间: 班级:
姓 名: 座号:

一、实验目的和要求
[1] 掌握非线性方程的极小点基本求解算法；
[2] 通过实例掌握用MATLAB或C语言求非线性方程的极小点方法；
[3] 编程实现2种或以上算法并进行比较掌握牛顿法原理，并能够用
程序实现

二、实验环境、内容和方法
1．写出非线性方程的极小点基本求解算法的程序框架
2.用C语言或matlab编写实现所设计算法
3. 构造一个非线性方程，用所设计的程序实现，比较各个算法的迭代速度，求解的精度，运行的时间。另改变初值，分析初值对解的影响。
4. 可采用二分法，Newton迭代，黄金分割法。

编制程序，用牛顿迭代法、二分法、黄金分割法三种不同的方法求解函数 的最优解。 求解区间为 [-8,8]

解法一：二分法
在C++ 软件中输入如下程序：

#include<iostream>
using namespace std;
double f(double x)
{
return x*x*x*x-4*x*x*x-6*x*x-16*x+4;
};
int main()
{
double left=-8;
double right=8;
double mid;
while((right-left)>0.005)
{
mid=(left+right)/2;
if(f(mid)==0)
break;
if((f(mid)*f(left))>0)
left=mid;
else
right=mid;
};
cout<<mid<<endl;
system("pause");
return 0;
}

运行程序的结果为：

我们知道，在极小点处，并且当时，函数时递减的，即；而当时，函数递增，即。如果找到一个区间，具有性质，，则在之间必有的极小点，并且。
为了找到，我们取，若，则在区间中有极小点。这时以作为新的区间；若，则在中有极小点，因此以作为新的区间。继续这个过程，逐步将区间换小，当区间充分小时，即可取到极小点的近似。

解法二：牛顿迭代法
在C++ 软件中输入如下程序：
#include<iostream.h>
#include <math.h>
#define eps 0.01
double fun(double x)
{
return x*x*x*x-4*x*x*x-6*x*x-16*x+4;
}
double diff_fun(double x)
{
return 4*x*x*x-12*x*x-12*x-16;
}
double diff_2_fun(double x)
{
return 12*x*x-24*x-12;
}
double diff_3_fun(double x)
{
return 24*x-24;
}
double newton(double a,double b)
{
double result = (a+b)/2;
double t = 0.0;
while(true)
{
t = result - (diff_fun(result)/diff_2_fun(result));
if(fabs((t-result)) < eps)
{
return result;
}
else
{
result =t;
}
}
}
int main()
{
double a =0.0;
double b =6.0;
double x= newton(a,b);
cout<<"求解的结果是 x = "<<x<<endl;
cout<<"此时f(x) = "<<fun(x)<<endl;
return 0;
}

输出程序得到方程的最优解为：

当输入初值为,当=-156时，求出此时方程的根为=4.00066。我们知道输入不同的初值，在不同的迭代次数得到方程的解是不一样的。由于牛顿法是一种函数逼近法，它的基本思想是，在迭代点附近用二阶泰勒多项式近似目标函数，进而求出极小点的估计值。在一定条件下，这个点列收敛于最优解且具有二阶收敛速度。
运用牛顿法时，初值点的选择显得十分重要。如果初始点靠近极小点，则收敛可能很快；如果收敛点原理极小点，则迭代产生的点列还有可能不收敛于极小点。

解法三：黄金分割法
在C++软件中输入如下程序：
#include <iostream.h>
#include <math.h>
double f(double x);//函数声明
//主函数
void main()
{
double a=-8,b=8,e=0.01;
double x1=0,x2=0,x3=0,f1=0,f2=0,f3=0;
x1=a+0.382*(b-a);
x2=a+0.618*(b-a);
f1=f(x1); //调用f函数
f2=f(x2); //调用f函数
//在没有达到误差限情况下就循环
while(fabs(a-b)>=e)
{
if(fabs(f1-0)<fabs(f2-0))
{
b=x2;
x2=x1;
f2=f1;
x1=a+0.382*(b-a);
f1=x1*x1*x1*x1-4*x1*x1*x1-6*x1*x1-16*x1+4;
}
else
{
a=x1;
x1=x2;
f1=f2;
x2=a+0.618*(b-a);
f2=x2*x2*x2*x2-4*x2*x2*x2-6*x2*x2-16*x2+4;
}
x3=(a+b)/2;
f3=f(x3);
}
cout<<"方程为："<<"f(x)=x*x*x*x-4*x*x*x-6*x*x-16*x+4"<<endl;
cout<<endl;
cout<<"误差限为：e=0.01"<<endl;
cout<<endl;
cout<<"方程的根为: x="<<x3<<endl;
cout<<endl;
cout<<"方程的值为：f="<<f3<<endl;
cout<<endl;
}
//定义函数
double f(double x)
{
double y;
y=x*x*x*x-4*x*x*x-6*x*x-16*x+4;
return y;
}

结果如下图所示：

0.618法适用于单峰函数，即在所论区间[a,b]上，函数只有一个极小值点 在极小值得左边，函数单调下降；在极小值得右边，函数单调上升。但在实际问题中，目标函数在其定义域内不一定是单峰的，因此需要先确定单峰区间，然后再使用0.618法的计算公式。在现有的0.168法的程序中，一般具有的这种功能。

四、心得体会
通过此次的设计性实验，让我通过运用牛顿迭代法、二分法以及黄金分割法解决非线性方程。
让我明白了三种方法的区别和联系，根据不同题目我们可以采用不同的方法。
同时，我也更深刻地了解 三种方法。在以后的解题中，更灵活地

五、教师评语

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