谈直线恒过定点的破解之道.doc

谈直线恒过定点的破解之道
    在近几年各类的模拟考试中，直线恒过定点的问题频频出现，本文通过对一道题目的多种解法，阐释直线恒过定点问题的破解之道。
    求证：直线恒过某一定点P，并求该定点的坐标。
　　破解之道之一：特殊引路法
　　　分析：因直线随m取不同的值而变化，但是由题意分析可知应该是围绕某一定点在旋转，
　　　　　　而这一定点我们只需两条相交直线即可求得，但是需要我们将点代入原直线方程来证明该点永远在直线上，
　　　　　　这样就使得解法更为完备。
　　　证明：直线，
　　　　　　取，
　　　　　　此时直线方程为。①
　　　　　　取，此时方程为②
　　　　　　联立①②解得点P（3，1）。
　　　　　　将点P（3，1）代入直线方程。
　　　　　　故直线恒过定点P（3，1）。
　　　破解之道之二：换元法
　　　　分析：众所周知，直线方程中的点斜式可以表明直线过点P（，），
　　　　因此我们可以将直线的一般式通过换元法转化为直线方程的点斜式，
　　　　从而证明该直线恒过定点，并且可直接求得该定点。
　　　　证明：，当时，
　　　　　　。
　　　　令。
　　　　由此可得。
　　　　即原直线方程可化为。
　　　　由直线的点斜式方程可知该直线过点P（3，1）。
　　　　当即时，原直线可化为，此时点（3，1）仍然在直线上。
　　　　综上，直线恒过定点P（3，1）。
　　　破解之道之三：参数分离法
　　　　分析：对于直线方程来说，如果我们将其中的m看作参数，
　　　　并将其分离得0，此时我们令，，
　　　　则这两条直线的交点P（，）一定满足直线方程0，
　　　　即P（，）在直线上，这样就将直线恒过定点转化为两条直线的交点了。
　　　　　证明：。
　　　　　　令，=0，解方程组得
　　　　　　令点P为（3，1），因点P（3，1）满足。
　　　　　　所以也满足。
　　　　　　进一步得点P（3，1）满足。
　　　　　　故直线恒过定点P（3，1）。