正弦稳态电路的分析.doc

第九章 正弦稳态电路的分析
第一节 用相量法分析R、L、C串联电路 — 阻抗
一、R、L、C串联电路中电流与电压的大小、相位关系：
电路如图9-1-1。设
则电路中各元件的电压及总电压均为与电流同频率的正弦量。由KVL，
用相量表示：

其中：

z称为阻抗的模，称为阻抗的幅角，由于阻抗本身不是正弦量，是一个纯复数，因此不用“.” 表示。又称为阻抗角。
复阻抗与元件的参数和激励的角频率有关，而与电压、电流相量无关，阻抗角是由于储能元件L、C造成的。
当电压超前电流一个角度,电路为感性；
当电压滞后电流一个角度,电路为容性。
当则电压、电流同相，电路发生串联谐振。
由以上关系：
总电压
即
二、R、L、C串联电路的相量图。
为了方便，以感性电路（>0）为例，如图9-1-2。
在相量上，表明各个相量之间的相位关系非常重要，在指定电流的初相角的情况下，可按给定的初相角画出其相量，若在题目中只给定了电流的有效值，而没有给定初相角的情况下，可设电流为参考正弦量，令其初相角为0，其它相量可根据与参考正弦量的关系得到。在串联电路中，以电流I为参考正弦量较方便。如图9-1-3，9-1-4。
由以上分析可以看出：三个电压的有效值之间形成直角三角形的关系—电压三角形，故若将电压三角形三边分除以I，得到阻抗三角形。如图9-1-5。
从电压三角形可以看出：

【实例9-1】一个实际的电感线圈具有电阻R=30Ω，L=127mh，与电容器C=40μF串联后接至电压 的电源上。如图例9-1。
求：①复阻抗，电流的有效值、相量、瞬时值。②电容和线圈上电压的瞬时值。③作电压、电流相量图。

【解】

相量图如9-1-6。

第二节 用相量法分析R、L、C并联电路 — 导纳
一、R、L、C并联电路中电流与电压的大小、相位关系：
电路如图9-1-7。设

则电路中各元件的电流及总电流均为与电压同频率的正弦量。由KCL，

当B>0时，电路为容性，B<0时，电路为感性，B=0电路发生并联谐振。
二、相量图：
如图9-2-2为一般情况下，感性电路各电压、电流之间的关系。图9-2-3是以电压为参考正弦量时，感性电路、容性电路的相量图。

由相量图可见：
三、复阻抗与复导纳的等值转换：
任意无源一端口网络可以用一等值阻抗或等值导纳来描述。如图9-1-10。

因此复阻抗与复导纳之间等效转换的关系为：

【实例9-2】电路如图例9-2。

第三节 正弦交流电路的计算

直流电路中以KCL、KVL为基础的方法和定理完全适用于正弦交流电路，不同的是电压、电流为相量，电阻变为阻抗，在复杂电路中还可以借助于相量图进行分析，特别在定性分析中尤为重要。
一、 阻抗串联：
1、 复阻抗的计算：Z=Z1+Z2+…+Zn
2、 分压公式：
二、 阻抗（导纳）并联：
1、 复导纳的计算：Y=Y1+Y2+…+Yn
2、 分流公式：
三、 复杂连接：通过例题介绍。
【实例9-3】已知：R1=5Ω，XC1=5Ω，XC2=10Ω，XL2=20Ω，XL3=10Ω。
求：电路的总阻抗Zab，并说明电路的性质。

【解】根据阻抗的串、并联计算公式：

【实例9-4】如图例9-4。
【解】利用结点电压法，方程及结果如下。

【实例9-5】图例9-5是一个RC移相电路，要使输出电压与输入电压之间产生180度的相位移。求：电源信号的角频率与电路参数之间的关系，并求在此频率下电路的电压传输系数。
【解】本题可有多种解题方法，但基本的是回路电流法，选择回路电流为独立变量，如图例9-4。

【实例9-6】为测量某电感线圈的参数R、L，可用一只安培表和一个已知电阻R1，组成电路图9-6。设R1=1K，I=0.04A，I1=0.035A,I2=0.01A，若电源为工频，求：线圈的参数R，L。

这就是三电流表法测未知阻抗的原理。
第四节 正弦交流电路的功率
在正弦交流电路中，由于电阻、电感、电容的存在，使得功率的计算比直流电路复杂
得多，既有能量的消耗，又有能量的往返交换。
一、 瞬时功率：如图9-4-1（以感性电路为例）。
当p>0时，此二端网络吸收功率，p<0时发出功率。

二、平均功率（有功功率）和功率因数：-
根据数学中平均值的定义，
三、无功功率和无功因数：
无功功率是这样定义的。根据瞬时功率的表达式
四、 视在功率：
视在功率定义为S=UI。计量单位为“伏-安”、“千伏-安“（VA、KVA）。一般用来表示发电设备的容量。在数值上等于最大的有功功率。
五、S、P、Q之间的关系：
【实例9-7】三表法测未知参数的电路如图例9-7。

六、复数功率：
为了计算方便引入复数功率，定义为：
实部为有功功率，虚部为无功功率，模为视在功率。复数功率还可以表示为：
对任意复杂的正弦交流电路，总有功功率等于各部分有功功率的和；总无功功率等于各部分无功功率的代数和；但一般情况下，总视在功率不等于各部分视在功率的和。
七、功率因数的提高：
1、 功率因数低的原因：感性负载的存在。目前工厂企业中广泛使用的异步电动机均为感性负载，且功率因数较低，一般在0.7—0.9。
2、 功率因数低的后果：发电设备的容量不能充分利用；线路的电流大，造成线路压降、功率损失增大。
3、 方法：在负载两端并联静电电容或过激同步补偿电动机。电路及相量图如图9-4-2。
4、说明：负载并联电容后没有改变负载的工作状态；提高功率因数指的是系统的功率因数，而不是负载功率因数；串联电容不可以作为提高功率因数的方法；不必将功率因数提高到1。
【实例9-8】图示例9-8电路中，三组负载并联接在有效值220V的正弦交流电源上，已知负载A消耗功率10KW，功率因数CosφA=0.6(感性), 负载B消耗功率8KW，功率因数CosφB=0.8(感性),如果整个电路的功率因数为Cosφ=0.9(感性),求:R之值；可以使用并联电阻的办法提高功率因数吗？

【解】本题可以借助于相量图进行计算。
可见，电阻很小，通过电流很大，消耗较多的功率，因此不能作为提高功率因数的方法。
八、由给定交流电源向负载传输最大功率的条件：
本类问题可以归结为图9-4-3电路。图中：Zin=Rin+jXin为电源内阻抗，ZL=RL+JxL为负载阻抗。负载吸收的功率P=I2 RL即：
【实例9-9】如图例9-9（a），为使负载获得最大有功功率，求ZL之值。

【解】根据最大功率传输的条件，当负载阻抗等于电压源内阻抗的共轭复数时，可以获得最大功率。将图（a）中独立电源移去，再将负载断路，加电压源us，如图（b）。
第五节 正弦交流电路中的串联谐振
一、串联谐振电路的谐振条件：电路如图9-1-1。
可以看出，电路的谐振频率是由电路本身的参数决定的，称为固有频率。当电路的固有频率等于电源的频率时，电路发生谐振。当电源的频率一定的情况下，可以通过调节电路参数L、C使电路达到谐振；当参数一定的情况下，可调节电源频率使电路谐振。
二、串联谐振的特点：
1、 阻抗：
Z=R最小。阻抗角等于0。
2、 电流：

3、 谐振时各元件电压：

若品质因数Q>>1，则电感、电容会出现超出电源电压的情况。故又成为电压谐振。
4、功率与能量：
谐振时电路的无功功率Q=UISinφ=0即电源与负载之间没有无功功率的交换。QL+QC=0，表明电感中的无功功率与电容中的无功功率完全补偿。即在电容和电感之间进行着电场能量和磁场能量之间不断相互转换的周期震荡过程。可以证明，在震荡过程中，能量的总合为一常量。
三、串联谐振电路的谐振曲线和选择性：
串联谐振电路应具有两个良好的性能：
（1） 选择信号的能力—称作串联谐振电路的选择性。选择性的好坏与品质因数有关。
（2） 不失真的传送信号的能力—通过电路的通频带来衡量，而通频带的宽窄与品质因数有关。
1、 阻抗的频率特性：如图9-5-1。

2、电流的频率特性：如图9-5-2
由此可见，电路只有在谐振频率附近的一段频率内，电流才有较大的数值，在谐振频率点出现峰值。当ω偏离谐振频率后，由于|X|的增加，电流就从峰值降下来（称为失谐）。表明电路逐渐增强对其它频率电流的抑制能力，因此串联谐振电路具有选择接近于谐振频率信号的能力，在无线电技术中称为选择性。谐振电路选择性的好坏与品质因数有关，证明如下：

可见 ,品质因数越大,选择性越好。
2、 关于通频带：
关于不失真的传送信号，一般规定，以电流的通用谐振曲线上
可见，通频带（频带宽度）与Q成反比。
在无线电技术中，要合理的选择Q，以保证选择性和通频带。
3、 电压的频率特性：可以推得：
第六节 并联谐振
一、 应用条件：串联谐振电路一般应用于信号源内阻较小情况。如果信号源为电流源，由于内阻较大，使品质因数降低，致使选择性差，这种情况下采用并联谐振电路。
二、 简单的并联谐振电路：如图9-6-1。

谐振条件及主要特点：
三、 工程上常用的并联谐振电路：如图9-6-2。
1、谐振的条件：
并联电路的复数导纳：

2、相量如图9-6-3。

【实例9-10】图例9-10。求：（1）当A2中电流为0时，A4中电流表的读数。（2）电源送入网络的有功、无功、视在功率。（3）作出电压、电流相量图。
【解】当电路中A2电流为0时，C3、L4发生并联谐振，并联部分阻抗∞。则

整个电路发生串联谐振，电源与负载之间没有无功功率的交换。Q=0
相量图如例9-10（右）。
本章必做习题：9-7，9-10，9-11，9-13，9-15，9-17，9-18，9-20，9-21，9-22，9-249-31，9-32，9-35，9-37，9-38，9-39，9-40，9-41，9-42，9-43。

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