资源描述
数学分析选讲
Topics on Mathematical Analysis
【课程编号】
【课程类别】考研选修课
【学分数】3分
【编写日期】2010.05.21
【学时数】60
【先修课程】数学分析、常微分方程
【适用专业】数学与应用数学
一、教学目的、任务
本课程是数学与应用数学专业考研学生的一门重要的选修课。主要任务是使学生系统深刻地理解和掌握数学分析中的基本思想、基本概念、重要定理及其解题的基本方法与技巧，为报考研究生的学生提供帮助。
二、课程教学的基本要求
通过本课程教学的主要环节（讲授、讨论与习题辅导课等），使学生对极限论、一元函数微积分（包括一阶微分方程的部分内容）、多元函数微积分（包括空间解析几何的部分内容）与级数论的思想方法有较全面地理解和掌握。从而有助于学生提高自己分析问题和解决问题的能力。
三、教学内容和学时分配
第一章 极限论 8学时（课堂讲授学时）
主要内容：
1.1 数列极限
1.1.1数列极限概念
1.1.2 数列极限性质
1.1.3 数列极限存在条件
1.2 一元函数极限
1.2.1 一元函数极限概念
1.2.2 函数极限的性质
1.2.3 函数极限存在条件
教学要求：
正确理解数列极限与函数极限的定义, 学会应用极限的唯一性、有界性与保号性等性质去解决一些实际问题；深刻理解和掌握数列极限与函数极限存在的若干充分必要条件；熟练掌握求各种类型数列极限与函数极限的方法与技巧。
其它教学环节（如实验、习题课、讨论课、其它实践活动）：无。
第二章 一元连续函数 4学时（课堂讲授学时）
2.1 一元函数的连续性
2.2 一元连续函数的局部性质
2.3 一元连续函数的整体性质
教学要求：
理解并掌握函数在某一点连续与间断的定义及间断点的分类；掌握一元连续函数的局部有界性、局部保号性、四则运算性质与复合函数的连续性等；深刻理解和掌握闭区间上连续函数的最大最小值性、有界性、介值性与一致连续性等。熟练地应用这些定义和性质去解决一些实际问题。
其它教学环节：无
第三章 一元函数微积分学 10学时（课堂讲授学时）
主要内容：
3.1 一元函数微分学
3.1.1 导数与微分
3.1.2 微分学基本定理与不定式极限
3.1.3 利用函数的导数研究函数的性质
3.2 一元函数积分学
3.2.1 不定积分与定积分基本概念
3.2.2 定积分性质
3.3.3 微积分学基本定理（N-L公式）
3.3.4 定积分的计算及其应用
教学要求：
正确理解和掌握函数的可导性、可微性与连续性的关系；深刻理解和掌握费马定理、罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒定理和不定式极限，并学会应用它们解实际问题；掌握用导数的方法判别函数的单调性、极值、凹凸性、拐点与渐近线等。正确理解和掌握函数定积分的定义、不定积分的定义、定积分的性质及定积分的第一、第二中值定理。深刻理解和掌握微积学分学基本定理与牛顿-莱布尼兹公式；熟练掌握牛顿-莱布尼兹公式、换元法、分部积分法及函数的奇偶性与周期性来计算定积分；学会应用定积分求平面图形面积、几何体体积、弧长、旋转曲面的面积和函数的平均值。
其它教学环节：无
第四章 广义积分 4学时（课堂讲授学时）
4.1 无穷限的广义积分
4.2 无界函数的广义积分
教学要求：
理解和掌握无穷限广义积分和无界函数广义积分的定义、柯西准则及广义积分与数项级数的关系；掌握广义积分收敛与绝对收敛的关系；能熟练应用M-判别法、狄利克雷判别法和阿贝判别法来判别这两类广义积分的收敛性。
其它教学环节：无
第五章 级数论 10学时（课堂讲授学时）
主要内容：
5.1 数项级数
5.1.1 级数的收敛及性质
5.1.2 正项级数与一般项级数
5.2 函数列和函数项级数
5.2.1 函数列与函数项级数的一致收敛性
5.2.2 极限函数（和函数）的性质·一致收敛判别法
5.3 幂级数和傅立叶级数
5.3.1 幂级数
5.3.2 傅里叶级数
教学要求：
正确理解数项级数收敛与发散定义、柯西准则、级数收敛的必要条件及两个重要级数（几何级数与p-级数）；熟练掌握正项级数的敛散性判别法；正确理解与掌握一般项级数绝对收敛和条件收敛的定义、它们之间的关系及绝对收敛的性质。学会应用莱布尼兹判别法、阿贝尔判别法、狄利克雷判别法判别一般项级数的收敛性。深刻理解与掌握函数列、函数项级数的逐点收敛与一致收敛的定义及一致收敛的判别法（柯西准则与M-判别法）；熟练掌握极限函数与和函数的连续性、可积性和可微性。熟练掌握幂级数的收敛半径与收敛域的求法、和函数的性质及常见的初等函数的幂级数展开。正确理解与掌握傅里叶级数的定义、收敛性定理、奇偶函数的傅里叶级数及贝塞尔不等式与黎曼-勒贝格定理。
其它教学环节：无
第六章 多元函数的极限、连续与微分 6学时（课堂讲授学时）
主要内容：
6.1 多元函数的极限
6.2 二元函数的连续性
6.3 多元函数微分
教学要求：
理解和掌握二重极限的定义、存在性定理（包括归结原则与柯西准则）；会求解二重极限；弄清楚二重极限与累次极限的关系； 正确理解和掌握二元函数在某一点连续的定义、在一点连续的局部性质；正确理解二元函数在某一点关于x和y分别连续的定义、总体连续与分别连续的关系及二元函数在有界闭域上连续的性质。理解与掌握偏导数的定义、可微与全微分的定义；弄清楚二元函数的连续、偏导、可微及偏导函数连续之间的关系；掌握复合函数微分法（链锁规则）、方向导数与梯度的定义及在几何上的应用；熟练掌握二元函数无条件极值与条件极值的判定方法。
其它教学环节：无
第七章 含参量积分 4学时（课堂讲授学时）
主要内容：
7.1 含参量正常积分
7.2 含参量非正常积分
7.3 欧拉积分
教学要求：
深刻理解和掌握含参量正常积分的定义、连续性、可积性与可微性；掌握含参量非正常积分的定义、一致收敛性定义、柯西准则及含参量非正常积分与函数项级数的关系；理解和掌握含参量非正常积分一致收敛的M-判别法、阿贝尔判别法和狄利克雷判别法；掌握含参量非正常积分的连续性、可积性和可微性；理解和掌握欧拉积分的定义与性质，学会应用欧拉积分公式进行计算积分。
其它教学环节：无
第八章 重积分 6学时（课堂讲授学时）
主要内容：
8.1 二重积分的计算
8.2 二重积分的应用
8.3 三重积分
教学要求：
熟练掌握化重积分为不同顺序的累次积分与二重积分的变量代换的方法；会应用二重积分计算平面图形的面积、空间立体体积、空间曲面的面积、薄片的质量、薄片的重心和薄片对坐标轴的转惯量。熟练掌握三重积分积分顺序的变更及在直角坐标系下、柱坐标系下与球坐标系下三重积分的计算。
其它教学环节：无
第九章 曲线积分与曲面积分 8学时（课堂讲授学时）
主要内容：
9.1第一型曲线积分
9.2第二型曲线积分
9.3第一型曲面积分
9.4第二型曲面积分
9.5 场论初步
教学要求：
掌握第一型曲线积分（对弧长）的定义、基本性质及计算方法；使学生熟练掌握第二型曲线积分的定义、性质及两种曲线积分之间的联系和区别；正确理解和掌握格林公式及平面曲线积分与路径无关的各种等价性； 会用多种方法计算二型线积分。掌握第一型曲面积分的定义、性质及计算方法；正确理解和掌握第二型曲面积分的定义、性质及两类曲面积分的关系；熟练掌握高斯公式、斯托克斯公式及空间曲线积分与路径无关的等价条件；会用多种方法计算二型曲面积分。理解和掌握数量场与向量场、梯度、散度与旋度等基本概念。
其它教学环节：无
四、教学重点、难点及教学方法
使学生掌握三个基本：第一，基本概念（定义、性质、相关定理）的理解与掌握；第二，基本计算公式、法则的记忆；第三，基本解题思路、方法、技巧的运用。通过对学生进行大量综合性、具有典型技巧的习题的训练，提高学生综合运用知识解决问题的能力和创新能力。
五、考核方式及成绩评定方式：
闭卷。
六、教材及参考书目
1、推荐教材：
欧阳光中，姚允龙，周渊．数学分析（上下）. 上海：复旦大学出版社，2006年07月。
2、参考书：：
[1] 陈纪修，於崇华，金路. 数学分析（上下）. 北京：高等教育出版社，2004年06月。
[2] 刘玉琏，杨奎元，刘 伟，吕凤. 数学分析讲义学习辅导书，高等教育出版社，2003年8月。
[3] 刘玉琏等，数学分析讲义练习题选解，高等教育出版社，2005年平03月。
修（制）订人： 蓝师义 审核人：刘晓冀
2010年 12 月7 日
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