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矩阵对角化方法

姓名：唐巧文 学号：200725020431 指导老师：刘俊同

摘要：本文给出了一种不同于传统方法的矩阵对角化方法，利用矩阵的初等变换，先求出矩阵的特征根与特征向量，接着再判断矩阵是否可对角化。
关键词：矩阵 特征根 特征向量 对角化
The Methods of the Diagonalization of the Matrix

Name: Tang Qiaowen Student Number: 200725020431
Advisor: Liu Juntong
Abstract: In this paper, the method of the diagonalization of the matrix is given, which is different from the traditional methods. According to using the elementary transformation of the matrix, first of all, The author obtains the characteristic roots and the characteristic vectors, then judge the diagonalization of the matrix.
Key words: Matrix; Characteristic roots; Characteristic vectors; Diagonalization
1、引言
对角化后的矩阵在计算和应用等方面比一般矩阵更具优越性，而矩阵对角化方法有很多，如对于对称矩阵可以将其看成二次型所对应的矩阵，通过配方法将其化为标准形从而实现矩阵的对角化，再如通过求解特征根和特征向量方法，首先求解得特征根，然后对每一个，解方程组得特征向量，即寻找一个可逆矩阵，使得,其中为对角阵，于是可得，从而, 在这个对角化过程中，中的元素即为矩阵的特征根，中每个列向量即为矩阵的属于每个特征根的特征向量。本文主要介绍一种异于传统方法的矩阵对角化方法，即将矩阵的特征矩阵经过一系列初等变换将其化为上三角形矩阵或对角形矩阵从而得到矩阵的特征根与特征向量，同时判断矩阵是否可对角化。
2、讨论对于有个特征单根的阶方阵
基本原理
引理：设是秩为的阶矩阵，且
其中是秩为的行满秩矩阵，则齐次线性方程组的一个基础解系即为矩阵所含的个行向量。
证明：对矩阵左乘一个阶可逆矩阵得

将代入得，

即有两边同时取转置得，则的行向量是方程组的解，证毕。
引理：矩阵的特征矩阵经过一系列行初等变换可化为上三角形的－矩阵,且的主对角线上元素乘积的多项式的解为矩阵的全部特征根。
证明：
显然
先看的第一列，假设不全为零，任取其中一个，记为，经过行初等变换，可化为：
若,则本身即具有这种形式
再看的第一列，假设不全为零（若全为零，则）,选择的幂最低的元素，记作,对施行行变换，使该列全部元素的幂都少于,选择幂最小的元素，记作,如此施行一系列行变换，一直循环下去，最终可化为
接着再对施行上述变换，最后可将化成

由此可知：和等价，可知结论成立，证毕。
引理：对于数域上的阶方阵，若的特征多项式在内有个单根，则由特征向量构成的阶可逆矩阵，使得
定理：若数域上的阶方阵的特征多项式在内有个单根，则可通过如下方法对角化：
设
为上三角形矩阵，则有方阵的特征根即为中主对角线上各个元素乘积的解；
对于方阵的每一个特征根，总有中零行向量所对应的中的行向量与之对应。
证明：由上述引理可知此定理结论成立。
举例说明
例：设，问方阵是否可以化为对角形，若可以，求出其对角化后的方阵。
解： =
由题意知=0,, ,此时方阵有个特征单根，故方阵可以化为对角形;
将代入中知的第三行为零，由定理知的第三行向量即为属于的特征向量，同理可知分别为属于的特征向量。
于是可得使得
3、讨论对于有特征重根的阶方阵
对于有特征重根的方阵，可以通过上述方法将其化为上三角形矩阵，接着再对上三角形矩阵施行一系列初等变换将其化为对角形矩阵，这样就避免了上三角形矩阵中非零行向量可能不构成行满秩的情形。
基本定理
定理：设,则且为对角形矩阵，则有
对于的每个特征根，中与的零行对应的行向量即为属于的特征向量；
设为的所有不同的特征根，重数分别为,则可以化成对角形中的零行数目等于的重数。
证明：因为和的秩为,总有可逆的－矩阵使得，其中为对角形矩阵。我们有

因为
所以
于是有，设中有个零行，对应着个对角元素，,选取中的列向量，则有
因为可逆 ，所以
又因为可逆 ，所以由知是属于的个线性无关的特征向量,由知，中个非零行是行满秩的, 故属于的线性无关的特征向量即为中零行所对应的中的行向量。
可对角化,又由证明知：
故可对角化，即,，证毕。
由此我们不难得到对于有特征重根的方阵化为对角形方阵的简单步骤如下：
作
其中,则的特征根恰为的根；
若的特征根全在内，且每个有中零行数目等于的重数，则可以化为对角形方阵，否则不可以化为对角形方阵；
对于每个特征根，在中取出与中零行对应的行向量得属于的特征向量且都是线性无关的。
举例说明
例：
问方阵和是否可以化为对角形，若可以，试求出其对角化后的方阵。
解：

由题意知，，因为中零行数目的重数，故不可以化为对角形方阵。

由题意知，，此时中零行数等于的重数，故可以化为对角形方阵;
将代人中知的第一行和第三行为零，由定理知的第一行向量和第三行向量即为属于的特征向量，同理可知为属于的特征向量。
由此可知使得
4. 结语
上述方法与传统方法相比显然更具优越性，传统的求矩阵的特征根与特征向量，判断是否可对角化以及当可对角化时，求出相应的可逆矩阵，使为对角形矩阵，对于求得的每个特征根都要逐一求出它的特征向量，矩阵的阶数越高求起来就越困难。而上述方法只须通过对矩阵的特征矩阵进行适当的初等变换就可同时求出矩阵的特征根与特征向量。
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