矩阵函数的求法.doc

二、利用零化多项式求解矩阵函数.
利用Jordan标准型求解矩阵函数的方法比较复杂，它需要求J
和P。下面我们介绍根据零化多项式求解矩阵函数的一种方法。
定律：n阶方阵A的最小多项式等于它的特征矩阵的第n个（也就是最后一个）不变因子。（可参见张远达《线性代数原理》P215）
设n阶方阵A的不变因子反向依次为，由它们给出的初等因子分别为
；；，
由于，故
1必定出现在中；
2若则
根据上述定理，A的最小多项式

即
令，则可见可以由线性表示，从而亦可由线性表示。所以，矩阵函数f(A)若存在，也必定可由线性表示。
因此，我们定义一个系数待定的(m-1)次多项式，根据以上论述，适当选择系数，就可以使f(A)=g(A)
又，假设J、P分别为A的Jordan标准形及相应变换矩阵：
则 ， f(J)=g(J)

由于g(A)为待定系数的多项式，上面就成为关于的线性方程组。且方程的个数为等于未知数个数，正好可以确定
由此给出根据最小多项式求矩阵函数的一般方法。
1 求出最小多项式
；
（或者特征多项式）
2 形式上写出待定多项式

（或者）
3求解关于的线性方程组

（或者）
4求出g(A)，即可得f(A)=g(A).
从推导的过程看，似乎不仅最小多项式可用于矩阵函数的计算，一般零化多项式也可以，其中以特征多项式最为方便。（但的根据仍需充分作证）
例2、采用新方法计算的函数 。（）
[解] 1 ；
2
3方程组为

4
，

与Jordan标准形方法完全一致。