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第十五章 多元函数的极限与连续性
§1 平面点集
1．设是平面点列，是平面上的点. 证明的充要条件是，且.
2． 设平面点列收敛，证明有界.
3． 判别下列平面点集哪些是开集、闭集、有界集和区域，并分别指出它们的聚点：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)；
(7)；
6．设是平面点集. 证明是的聚点的充要条件是中存在点列，满足
且.
9．设是平面点集，如果集合的任一覆盖都有有限子覆盖，则称是紧集. 证明紧集是有界闭集.
10．设是平面上的有界闭集，是的直径，即
.
求证：存在 ，使得.
§2 多元函数的极限与连续性
1．叙述下列定义：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) .
2．求下列极限（包括非正常极限）：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ；
(6) ；
(7) ；
(8) ；
(9) ；
(10) ；
(11) ；
(12) ；
(13) ；
(14) .
3．讨论下列函数在点的全面极限和两个累次极限：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ；
(6) ；
(7) ；
(8) .
4．叙述并证明二元函数极限的局部有界性定理和局部保号性定理.
5．叙述并证明存在的柯西收敛准则.
6．试作出函数，使当时，
(1) 全面极限和两个累次极限都不存在；
(2) 全面极限不存在，两个累次极限存在但不相等；
(3) 全面极限和两个累次极限都存在.
7．讨论下列函数的连续范围：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5)
(6)
(7) ；
(8)
(9) .
8．若在某区域内对变量连续，对变量满足利普希茨条件，即对任意
和，有
，
其中为常数，求证在内连续.
9．证明有界闭集上二元连续函数的最值定理和一致连续性定理.
10．设二元函数在全平面上连续，，求证：
(1) 在全平面有界；
(2) 在全平面一致连续.
11．证明：若分别对每一变量和是连续的，并且对其中的一个是单调的，则是二元连续函数.
12．证明：若是有界闭域，是上的连续函数，则是闭区间.