新开发商用飞机的价格预测模型[1].docx

一、问题重述

中国国产大飞机C919与同类机型相比具有非常明显的竞争优势，在燃油消耗方面将比目前所有机型减少12-15%。同时中国大飞机上市时定价将会非常便宜，低于5000万美元，这大大低于波音和空客同类产品的定价。
在放手开发研制一种新飞机时，除了注意技术细节外，还要考虑很多经济问题。其中最重要的是飞机制造商的原始投资是否能够收回来以及多久才能收回来。这就要预测一下飞机的上市价格和市场前景。而大飞机C919的上市价格即销售价格，绝不是各部零件价格之和。销售商在确定销售价格时除了考虑制造商的制造成本和航空公司的运营成本的影响外，还要考虑同类型飞机的市场前景、竞争格局等其它因素的影响。
试查找相关资料，完成以下三个问题：
（1）假如你是中国商用飞机公司销售经理，请你对比同类客机B737-800，以航空公司的角度，结合飞机运营成本，评估一下国产大飞机C919未来的市场潜力；
（2）假如你是飞机制造商，请你建立一合理的数学模型为将新开发的商用飞机预测一个较合理的价格，并结合你的模型对C919的价格进行预测；
（3）以你所建立的模型，结合相关数据，计算当前A380-800和B737-800两种商用飞机的价格，并说明所建价格预测模型的优缺点；

二、模型假设与符号说明

2.1 模型假设
1. 飞机制造公司总能满足航空公司对飞机的需求，且航空公司购买飞机的方式为订购，飞机制造完成后立即投入运营。
2. 固定型号系列飞机的市场潜力恒定，客机B737-800市场潜力已知。
3. 一系列飞机定价之后，价格将不再发生变化。
4. 题目中所给数据真实有效。
2.2 符号说明
Bi（i=1,2…5） 影响市场潜力的因素。
bi（i=1,2…5） 在第i个准则下不同方案层对准则层的成对比较矩阵。
w 特征向量。
wI 由成对比较阵bi计算出方案在目标中的组合权向量。
wJ 方案层在目标层中的组合权向量。
λmax 准则层判断矩阵A的最大特征根。
P 预测飞机价格。
xj(j=1,2…4） 影响飞机价格的技术指标。
yj (j=1,2…4） 不同技术指标影响下飞机平均价格。
aj(j=1,2…4） 飞机技术指标yj对飞机价格影响的权重系数。
vj(j=1,2） 不同飞机预测价格与实际价格的误差。

三、问题分析

3.1问题（1）的分析
根据市场潜力的定义，我们可以认为一系列飞机的市场潜力代表一段时间内其可以达到的最大销售量，可以达到的最大销售量越大，市场潜力就越大。做为中国商用飞机公司销售经理，在分析市场潜力（即最大市场销售量问题）时，应该考虑购买方航空公司的需求，分析影响航空公司购买飞机的因素及其权重。我们可以理解影响飞机公司最大销售量的是购买方航空公司的购买欲，航空公司的购买欲越大，中国商用飞机公司一段时间内可达到的最大销售量越大，市场就潜力越大。
根据飞机购买与销售的实际情况，我们分析影响航空公司购买欲的因素主要有：飞机寿命、飞机价格、飞机标准飞行速度、飞机最大航程、飞机运营成本、飞机座位数、飞机安全性、飞机环保性、飞机舒适性和飞机单/双通道等。其中根据题意，以航空公司的角度分析的飞机运营成本将是必不可少的一个因素。而考虑到在实际问题中一般采用分析重要因素，忽略次要因素的方法，我们可根据上述多个影响市场潜力因素的重要性差异，进一步将其简化归类为五个主要因素：飞机运营成本、飞机最大航程、飞机寿命、飞机价格和飞机其他性能（包括座位数、安全性、环保性、舒适性、单/双通道等）。
（1）题中要求将C919与B737-800的市场潜力进行比较，由于已上市的B737-800认为其市场潜力确定，我们可以通过层次分析法，对问题（1）构建层次分析模型进行分析。确定目标层为分析市场潜力，准则层为飞机运营成本、飞机最大航程、飞机寿命、飞机价格和飞机其他性能五大因素，方案层为C919和B737-800，可以求会出现出两型号飞机市场潜力的关系，从而分析出C919的市场潜力。
3.2问题(2)的分析
根据假设，飞机一旦上市价格就确定不变，因此可以根据已知的飞机价格预测出新开发飞机的价格。根据对飞机价格有影响的几项飞机特性指标，利用已知的几组飞机价格就可以拟合出各种因素与飞机价格的对应关系。
飞机的指标数据繁多，如果拟合时将所有因素全部考虑，势必会增加不必要的计算量。分析飞机的特性指标，飞机寿命、飞机标准飞行速度、飞机座位数、飞机安全性、飞机环保性、飞机舒适性和飞机单/双通道等因素所占权重较小，是可以忽略的。根据实际情况最终确定出用作为参数的飞机技术指标是：最大起飞重量、最大着陆重量、最大载油量、最大满载航程。
确定技术参数后，选择市面上已知技术指标与售价的飞机若干，查阅了解其四种技术指标，利用MATLAB拟合出四种技术指标对飞机售价的影响曲线。再利用层次分析法，计算出四个技术指标对价格影响的权重，从而得到四个技术指标综合影响下得预测飞机价格。
3.3问题(3)的分析
这一问是对（2）中所建立模型的验证分析，通过（2）中模型计算出A380-800飞机和B737-800飞机的市场售价。A380-800飞机和B737-800飞机的市场售价是已知的，因此也可以据此得到（2）中模型的误差率。

四、模型建立与求解

4.1问题（1）的模型建立与求解
4.1.1 建立层次分析结构
问题要求对比评估C919和B737-800的市场潜力，由问题分析知，可建立对市场潜力的层次分析模型解决。
设A表示市场潜力，Bi（i=1,2,3,4,5）分别表示影响市场潜力的五个因素，Cj（j=1,2）表示C919和B737-800两个系列飞机。图4.2-1给出了问题（1）的层次分析结构。

目标层
分析市场潜力A

其他特性B5
运营费用B3
最大航程B4
飞机价格B2
飞机寿命B1

准则层

方案层
B737 （C1）
C919（C2）

图4.1-1 市场潜力的层次分析模型
4.1.2计算准则层权重系数[2]P67
建立市场潜力层次分析结构后，还需要计算出准则层各因素的权重系数，因此建立准则层的比较判断矩阵A，设准则层共有n个因素，则矩阵A为一个n阶正互反矩阵（数据见表4.2-2）。
1 3 1/4 1/3 4
1/3 1 1/5 1/3 2
A= 4 5 1 2 7
3 3 1/2 1 5
1/4 1/2 1/7 1/5 1
利用MATLAB求得矩阵A的最大特征根 λmax= 5.1657，可进一步算出该矩阵的一致性指标
CI=（λmax-n）/（n-1）=0.037<0.1
矩阵A通过一致性验证。
然后使用MATLAB软件，计算出 λmax所对应的特征向量为
w=（0.2932 0.1426 0.8258 0.4521 0.0859）
对其进行 归一化处理后
w=（0.1504 0.0782 0.4493 0.2750 0.0470）T
也就代表了飞机运营成本、飞机最大航程、飞机寿命、飞机价格和飞机其他性能5个准则对分析市场潜力这个目标的权重分别是0.1504、0.0782、0.4493、0.2750、0.0470。

表4.1-2 准则层的判断分析表

A
B1
B2
B3
B4
B5
B1
1
3
1/4
1/3
4
B2
1/3
1
1/5
1/3
2
B3
4
5
1
2
7
B4
3
3
1/2
1
5
B5
1/4
1/2
1/7
1/5
1

4.1.3计算组合权向量

得到准则层对目标层的权重后，继续计算方案层对目标层的权重向量，即组合权向量。在5个准则下可以得到5个不同的方案层对准则层的成对比较矩阵（数据见表4.2-3）:
1 1/2 1 1/2 1 1/3 1 4 1 1
b1= b2= b3= b4= b5=
2 1 2 1 3 1 1/4 1 1 1
由成对比较阵bi计算出方案在目标中的组合权向量

0.3333 0.3333 0.2500 0.8000 0.5000
wI=
0.6667 0.6667 0.7500 0.2000 0.5000

而方案层在目标层中的组合权向量(其数据分析见表4.2-4)

wJ=wI*w=(0.4321 0.5679)T

根据计算出的组合权向量wJ可以得出，C919的市场潜力大于B737，为B737市场潜力的131.42%。虽然C919在最大航程上略逊于B737，但其有价格、运营费用和使用寿命上的优势，对比已知的737市场潜力，综合分析得出结论：国产C919飞机具有大于B737飞机的较好未来市场潜力。

表4.1-3 方案层的判断分析表

B1
B2
B3
B4
B5
C1
C2
C1
C2
C1
C2
C1
C2
C1
C2
C1
1
1/2
1
1/2
1
1/3
1
4
1
1
C2
2
1
2
1
3
1
1/4
1
1
1

表4.1-4 层次总排序结果

准则
B1
B2
B3
B4
B5
总排序
准则层权值
0.1504
0.0782
0.4493
0.2750
0.0470
方案层单排序权值
C1
0.3333
0.3333
0.2500
0.8000
0.5000
0.4321
C2
0.6667
0.6667
0.7500
0.2000
0.5000
0.5679

4.2问题（2）的模型建立与求解
4.2.1 根据四组技术参数拟合飞机价格曲线
分析各种型号飞机的基本参数，得到影响飞机价格权重较大的的四个技术参数参数：最大起飞重量x1、最大着陆重量x2、最大载油量x3、满载最大航程x4。
首先利用MATLAB根据四组技术参数（参数见附录1）拟合飞机价格曲线（曲线见附录3）。通过曲线拟合算出各种量和价格之间的关系:

A．最大起飞重量x1和价格y1之间的关系
　 y1=-2.74×10e-9 x1×x1+0.0015478x1-19.365

B．最大着陆重量x2和价格y2之间的关系
y2=-2.74×10e-9 x2×x2+0.0015478x2-19.365

C．最大载油量x3和价格y3之间的关系
y3=-1.6832×10e-8 x3×x3+0.0035688x3+11.207

D．最大满载航程x4和价格y4之间的关系
y4=-2.8672×10e-6 x4×x4+0.057804x4-96.77

4.2.2 利用层次分析法确定价格模型
确定层次分析的结构（见图4.2-1），用层次分析法，确定出各技术指标对目标层价格的权重。

最大燃油量
最大着陆重量
最大起飞重量
最大航程
飞机价格A

图4.2-1 影响飞机价格的层次分析结构

我们根据四个参数对目标函数的影响力和标度的含义的正互反矩阵位：

1 1 1/3 1/5
1 1 1/3 1/5
A= 3 3 1 1/2
5 5 2 1

具体计算方法同(1)，用MATLAB编程可以得到出各参量对间隔的权重
w=（0.0989 0.0989 0.2839 0.5183）T
得到价格与四个技术参数之间的关系模型为：
y=0.0989*y1+0.0989*y2+0.2839*y3+0.5183*y4………………式（4.2-1）
4.2.3带入具体数据预测价格
提取附件中C919相关技术参数数据，带入式（4.2-1）。经过计算，预测C1919的上市价格为4998万美元。

4.3问题（3）的求解
利用问题（2）所建模型，带入A380-800和B737-800的基本技术参数（见附录2），可得：

y(A380-000)=340 万美元
y（B737-800）=78 万美元

另外还可以粗略计算该模型与实际的误差率，A380-800的误差v1=(340-327 .4)/327.4×100%=3.8%
B737-800的误差
v2=(78-76. 8）/76. 8×100%==1.5%

五、模型评价

5.1模型优缺点
5.1.1模型优点
1. 模型（1）综合考虑影响国产新型大飞机市场潜力的主要因素，使评估更符合实际。
2. 模型（1）采用分层模型，结合不同因素所占权重不同对市场潜力进行对比评估，使评估系统化、简单化。
3. 模型（2）采用数据拟合的方法，选取的数据具有一般性，层次全面，使模型具有很好地转移性。
5.1.2模型缺点
1.层次分析法分析市场潜力时无法准确定量。
2.进行数据拟合时，选取的技术参数较少，结果存在较大偏差。
3.模型（2）未考虑不同航空公司不同地区对飞机价格的影响，与实际存在一定误差。
5.2 模型改进
对于模型（2）使用的数据拟合方法时，选取更多的影响飞机销售价格的技术参数，细化已知飞机的分层，每层按比例抽取多个样本，使其更加符合实际情况。

【参考文献】
[1]韩中庚，宋明武，邵广纪，数学建模竞赛——获奖论文精选与点评，科学出版社，2007
[2]郭大伟，数学建模，安徽教育出版社，2009
[3]377种飞机机型大全 ，www.china-，2010.5.2
[4]张志涌，杨祖樱，MATLAB教程，北京航空航天大学出版社，2006

【附录】
附录1 七种型号飞机技术指标与价格比较表

最大起飞重量（kg）

最大着陆重量(kg)

最大载油量(kg)

满载最大航程（km）

平均价格
(Million$)
B737-800
70553
65310
22000
3565
77.5
B767-800ER
184612
145149
71177
7478
155
B777-200A
229517
201848
91400
9300
210
B747-400COMBI
385887
285776
160036
12964
168
A 319
64000
61000
18611
3518
70.3
A 330-200
230000
210000
139090
11850
180.9
A330-300
230000
205000
97530
10400
200.8

附录2 A380-800与B737-800四项基本技术参数

机型
X1
X2
X3
X4
A380-800
560000

310000

B737-800
70553
65310
28200
3565

附录3模型（2）中MATLAB拟合四种技术指标对价格曲线
图F-1 最大航程对价格影响曲线

图F-2最大著陆重量对价格影响曲线

图F-3最大起飞重量对价格影响曲线
图F-4最大载油量对价格影响曲线