生物统计学答案第九章 两因素及多因素方差分析.doc

第九章 两因素及多因素方差分析
9.1 双菊饮具有很好的治疗上呼吸道感染的功效，为便于饮用，制成泡袋剂。研究不同浸泡时间和不同的浸泡温度对浸泡效果的影响，设计了一个两因素交叉分组实验，实验结果(浸出率)见下表[52]：
浸泡温度
/℃
浸泡时间/min
10
15
20
60
23.72
25.42
23.58
80
24.84
28.32
29.55
95
30.64
31.58
32.21
对以上结果做方差分析及Duncan检验。该设计已经能充分说明问题了吗？是否还有更能说明问题的设计方案？
答：无重复二因素方差分析程序及结果如下：
options linesize=76 nodate;
data hermed;
do temp=1 to 3;
do time=1 to 3;
input effect @@;
output;
end;
end;
cards;
23.72 25.42 23.58
24.84 28.32 29.55
30.64 31.58 32.21
;
run;
proc anova;
class temp time;
model effect=temp time;
means temp time/duncan alpha=0.05;
run;

The SAS System

Analysis of Variance Procedure
Class Level Information

Class Levels Values

TEMP 3 1 2 3

TIME 3 1 2 3

Number of observations in data set = 9

The SAS System

Analysis of Variance Procedure

Dependent Variable: EFFECT
Sum of Mean
Source DF Squares Square F Value Pr > F

Model 4 87.0707778 21.7676944 12.56 0.0155

Error 4 6.9321778 1.7330444

Corrected Total 8 94.0029556

R-Square C.V. Root MSE EFFECT Mean

0.926256 4.741881 1.31645 27.7622

Source DF Anova SS Mean Square F Value Pr > F

TEMP 2 78.7202889 39.3601444 22.71 0.0066
TIME 2 8.3504889 4.1752444 2.41 0.2058

The SAS System

Analysis of Variance Procedure

Duncan's Multiple Range Test for variable: EFFECT

NOTE: This test controls the type I comparisonwise error rate, not
the experimentwise error rate

Alpha= 0.05 df= 4 MSE= 1.733044

Number of Means 2 3
Critical Range 2.984 3.050

Means with the same letter are not significantly different.

Duncan Grouping Mean N TEMP

A 31.477 3 3

B 27.570 3 2

C 24.240 3 1

The SAS System

Analysis of Variance Procedure

Duncan's Multiple Range Test for variable: EFFECT

NOTE: This test controls the type I comparisonwise error rate, not
the experimentwise error rate

Alpha= 0.05 df= 4 MSE= 1.733044

Number of Means 2 3
Critical Range 2.984 3.050

Means with the same letter are not significantly different.

Duncan Grouping Mean N TIME

A 28.447 3 3
A
A 28.440 3 2
A
A 26.400 3 1

从方差分析结果可以得知，温度是极显著的影响因素，时间是不显著因素。在Duncan检验中，温度的三个水平之间差异是显著的。时间的三个水平间差异不显著。
本实验是二因素固定模型设计，如果设置重复，会得到两个因素之间的交互作用（如果存在的话），其结果能更好地说明问题。
以上方差分析的结果可以归纳成下表：
变差来源
平方和
自由度
均方
F
P
温度(temp)
78.720 288 9
2
39.360 144 4
22.71
0.006 6
时间(time)
8.350 488 9
2
4.175 244 4
2.41
0.205 8
误差
6.932 177 8
4
1.733 044 4

总和
94.002 955 6
8

9.2 研究浙江蜡梅大苗移栽技术，处理方式包括移栽后的不同覆盖方式和做床方法，统计每100株移栽苗的成活率，结果见下表[53]：

做床方法

精细作床
仅挖穴

覆盖方法
遮 阴

93％
85％
未遮阴

90％
81％

根据以往经验在覆盖方法与作床方法之间不存在交互作用，对上述结果做方差分析。请注意，这里的结果是百分数。
答：本例需对数据做反正弦变换，程序和结果如下：
options linesize=76 nodate;
data plum;
do cover=1 to 2;
do seedbed=1 to 2;
input y @@;
surrate=arsin(sqrt(y/100))*180/3.14159265;
output;
end;
end;
cards;
93 85
90 81
;
run;
proc anova;
class cover seedbed;
model surrate=cover seedbed;
run;

The SAS System

Analysis of Variance Procedure
Class Level Information

Class Levels Values

COVER 2 1 2

SEEDBED 2 1 2

Number of observations in data set = 4

The SAS System

Analysis of Variance Procedure

Dependent Variable: SURRATE
Sum of Mean
Source DF Squares Square F Value Pr > F

Model 2 64.5953445 32.2976722 90390.15 0.0024

Error 1 0.0003573 0.0003573

Corrected Total 3 64.5957018

R-Square C.V. Root MSE SURRATE Mean

0.999994 0.027238 0.01890 69.3987

Source DF Anova SS Mean Square F Value Pr > F

COVER 1 9.4515512 9.4515512 26451.66 0.0039
SEEDBED 1 55.1437933 55.1437933 99999.99 0.0001
从结果可以看出，覆盖方式和做床方式都是极显著因素。以上结果可以归纳成下表：
变差来源
平方和
自由度
均方
F
P
覆盖方法(cover)
9.451 551 2
1
9.451 551 2
26 451.66
0.003 9
做床方法(seedbed)
55.143 793 3
1
55.143 793 3
99 999.99
0.000 1
误 差
0.000 357 3
1
0.000 357 3

总 和
64.595 701 8
3

9.3 为了研究不同NaCl质量浓度对小麦愈伤组织生长的影响。 配制质量浓度分别为0、0.1％、0.3％和0.5％的NaCl MS培养基，接种15天后，测定每块愈伤组织平均增重百分率，结果见下表[54]：

材料名称
NaCl质量浓度 /％/
H8706－34/%
G8901/%
极早熟/%
中国春/%

0
103.80
63.70
67.32
67.10
0.1
99.31
56.27
52.24
52.30
0.3
52.26
45.01
24.17
34.30
0.5
18.38
15.37
20.40
13.22

对上述结果进行方差分析。作者已经给出四种实验材料都是盐敏感型小麦，但是不同的小麦品种必定对盐的抗性不同。也就是说，品种与盐浓度之间存在交互作用，更完善的实验应当怎样设计？
答：这是一个固定模型设计，程序不再给出，结果如下。
The SAS System

Analysis of Variance Procedure
Class Level Information

Class Levels Values

CONCEN 4 1 2 3 4

MATERIAL 4 1 2 3 4

Number of observations in data set = 16

The SAS System

Analysis of Variance Procedure

Dependent Variable: INCREASE
Sum of Mean
Source DF Squares Square F Value Pr > F

Model 6 10411.9081 1735.3180 14.18 0.0004

Error 9 1101.6046 122.4005

Corrected Total 15 11513.5126

R-Square C.V. Root MSE INCREASE Mean

0.904321 22.54545 11.0635 49.0719

Source DF Anova SS Mean Square F Value Pr > F

CONCEN 3 8374.15867 2791.38622 22.81 0.0002
MATERIAL 3 2037.74942 679.24981 5.55 0.0196
方差分析结果指出，盐浓度是极显著的影响因素，不同基因型的愈伤组织是显著影响因素。根据以往的研究工作的经验，盐浓度与基因型之间可能存在交互作用，最理想的设计应当设置重复，从总平方和中分离出交互作用平方和，问题可以说明得更确切。以上结果可以归纳成下表。
变差来源
平方和
自由度
均方
F
P
浓度间
8 374.158 7
3
2 791.386 2
22.81
0.000 2
品系间
2 037.749 4
3
679.249 8
5.55
0.019 6
误 差
1 101.604 6
9
122.400 5

总 和
11 513.512 7
15

9.4 为了研究植物的光合作用，设计了一个实验。将烟草的两个变种种植在田间，利用CO2-depletion技术检测单位叶面积捕获CO2的比率。实验共涉及两个因素：一个是变种，选用了两个变种；另一个是抽样时期，在整个生长季共进行40次田间抽样。这是一个无重复两因素实验设计，方差分析表如下[55]：
变差来源
平方和
自由度
均方
F
抽样时期
3.356
39
0.060 4
33.25*
变 种
0.015 7
1
0.015 7
8.66*
误 差
0.071 1
39
0.001 82

总 和
2.443
79

注：*P <0.01。
根据实验设计，该设计是一种什么模型？实验所涉及的两个因素属于哪一种类型的因素？为什么？
答：这是一个混合模型实验。变种是固定因素，抽样时期是随机因素。因为实验没有设置重复，在无重复的情况下，三种模型的检验统计量是一样的，不知作者为什么不考虑设置重复。两个变种是人为选定的，是固定因素。田间抽样是随机抽取的，是随机因素。

9.5 野生型C57BL/6及STAT－1-/-型小鼠胰岛，在移入四氧嘧啶糖尿病的BALB/c小鼠中之后的存活天数见下表[56]：
实验材料
养 生 处 理
未 处 理
IL－1ra*
IL－1ra+CsA
野生型C57BL/6
6 11 11 11 12 12
13 13 13 14 14 14
15 15 17
10 14
12 14 14 15
15 16 21
STAT-1–/–型
11 12 13 13 13
10 14
10 12 14 17
17 23
注：*IL-1ra：interleukin－1 receptor antagonist（白介素－1受体拮抗物）。
**CsA：cyclosporine A（环孢菌素A）。
对上述结果进行方差分析，判断两种类型小鼠的胰岛存活天数差异是否显著？不同养生处理对移植的胰岛存活天数的影响是否显著？不同养生处理与不同型小鼠之间是否存在交互作用？
答：这是一个重复数不等的两因素固定模型实验，所用程序及计算结果如下。
options linesize=76 nodate;
data mouse;
infile 'e:\data\exr9-5e.dat';
do treat=1 to 3;
do type=1 to 2;
input n @@;
do repetit=1 to n;
input days @@;
output;
end;
end;
end;
run;
proc glm;
class treat type;
model days=treat type treat*type ;
run;

The SAS System

General Linear Models Procedure
Class Level Information

Class Levels Values

TREAT 3 1 2 3

TYPE 2 1 2

Number of observations in data set = 37

The SAS System

General Linear Models Procedure

Dependent Variable: DAYS
Sum of Mean
Source DF Squares Square F Value Pr > F

Model 5 70.1272844 14.0254569 1.67 0.1724

Error 31 261.0619048 8.4213518

Corrected Total 36 331.1891892

R-Square C.V. Root MSE DAYS Mean

0.211744 21.43162 2.90196 13.5405

Source DF Type I SS Mean Square F Value Pr > F

TREAT 2 26.5151696 13.2575848 1.57 0.2233
TYPE 1 3.2191227 3.2191227 0.38 0.5409
TREAT*TYPE 2 40.3929921 20.1964961 2.40 0.1075

Source DF Type III SS Mean Square F Value Pr > F

TREAT 2 10.5603197 5.2801598 0.63 0.5408
TYPE 1 0.0089915 0.0089915 0.00 0.9741
TREAT*TYPE 2 40.3929921 20.1964961 2.40 0.1075
在方差分析表中我们选用I型可估函数，从F的显著性概率可以得出，不论是养生处理、小鼠类型还是两者的交互作用都是不显著因素。上述结果可以归纳成下表：
变差来源
平方和
自由度
均方
F
P
处理间
26.515 169 6
2
13.257 584 8
1.57
0.223 3
类型间
3.219 122 7
1
3.219 122 7
0.38
0.540 9
处理×类型
40.392 992 1
2
20.196 496 1
2.40
0.107 5
误 差
261.061 904 8
31
8.421 351 8

总 和
331.189 189 2
36

9.6 野生型C57BL/6及STAT-1-/-型小鼠胰岛，在移入自发糖尿病的NOD#小鼠中之后的存活天数见下表[56]：
实验材料
养生处理
未处理
IL－1ra*
CsA**
IL－1ra+CsA
野生型C57BL/6
0 0 2 5 5
11 11 12 13
13 15 17
0 5 8
12 12 15
8 8 8
10 10 11
18
5 10 11 11
12 16 20
STAT-1–/–型
6 10 10 13
10 12
5 13 14
10 11 11 12
12 13
注：# NOD：nonobese diabetic（非肥胖糖尿病）。
* IL-1ra：interleukin－1 receptor antagonist（白介素－1受体拮抗物）。
** CsA：cyclosporine A（环孢菌素 A）。
对上述结果进行方差分析，判断两种类型小鼠的胰岛存活天数差异是否显著？不同养生处理对移植的胰岛存活天数的影响是否显著？不同养生处理与不同型小鼠之间是否存在交互作用？
答：本题与第5题的程序基本一样，下面只给出计算的结果。
The SAS System

General Linear Models Procedure

Dependent Variable: DAYS
Sum of Mean
Source DF Squares Square F Value Pr > F

Model 7 81.7459473 11.6779925 0.55 0.7939

Error 39 833.4880952 21.3714896

Corrected Total 46 915.2340426

R-Square C.V. Root MSE DAYS Mean

0.089317 45.64659 4.62293 10.1277

Source DF Type I SS Mean Square F Value Pr > F

TREAT 3 67.9880108 22.6626703 1.06 0.3770
TYPE 1 8.0410256 8.0410256 0.38 0.5432
TREAT*TYPE 3 5.7169109 1.9056370 0.09 0.9656

Source DF Type III SS Mean Square F Value Pr > F

TREAT 3 60.4851648 20.1617216 0.94 0.4290
TYPE 1 8.0762698 8.0762698 0.38 0.5423
TREAT*TYPE 3 5.7169109 1.9056370 0.09 0.9656
本题的两个主效应和它们的交互作用都是不显著因素。以上结果可以归纳成下表：
变差来源
平方和
自由度
均方
F
P
处理间
67.988 010 8
3
22.662 670 3
1.06
0.337 0
类型间
8.041 025 6
1
8.041 025 6
0.38
0.543 2
处理×类型
5.716 910 9
3
1.905 637 0
0.09
0.965 6
误 差
833.488 095 2
39
21.371 489 6

总 和
915.234 042 6
46

9.7 一项音乐心理学研究，实验是这样设计的：为了避免熟悉的音乐环境，实验安排在两种非典型的音乐练习和演出环境中进行。一种环境是在剧场底层敞开的大厅中（环境A），另一种是在办公室中（环境B）。要求实验参与者学习并回忆所学习的练习曲。学习和回忆包括在相同环境中（AA，BB）和不同环境中（AB，BA），评判学习和回忆的得分，从而判断得分与环境之间的关系[57]。该实验是一个典型的两因素交叉分组实验设计，方差分析表如下：
变差来源
平方和
自由度
均方
F
P
学习环境
180.267
1
180.267
1.441
0.275
回忆环境
640.267
1
640.267
5.120
0.064
学习环境×回忆环境
1 008.600
1
1 008.600
8.065
0.030
误差
750.333
6
125.056

总和
2 579.467
9

问：（1）本实验共有几次重复？为什么？
（2）本实验属于哪一种模型？为什么？
（3）本实验的两个因素中哪些因素是显著因素？在本实验中显著因素的意义是什么？你可以得到什么结论？
答：(1) 因为本实验共有4种条件组合，df误差＝(组合1重复数－1)＋(组合2重复数－1)＋( 组合3重复数－1)＋( 组合4重复数－1)＝重复数－4＝6。因此，重复数＝6＋4＝10。
(2) 属固定模型。因为：①根据作者所用的检验统计量，②由①推断，环境的水平是人为选定的。
(3) 只有交互作用是显著的。说明音乐的学习是与环境的两种特定水平有关的。结论：音乐的学习属本例的两种特定环境依赖型记忆。
作者的结论是：音乐的学习属环境依赖型记忆。这样的叙述不够严格，只有随机模型才能够得到这样的结论，固定模型只能说“音乐的学习属本例的两种特定环境依赖型记忆”。

9.8 与上一实验类似，这次是记忆一段16小节的钢琴曲。在同一房间中放置两台钢琴，一台是平台式大钢琴（环境A），一台是播音室钢琴（环境B）。参与者在一台钢琴上学习这段曲谱之后，在同一台钢琴上（AA，BB）或不同钢琴上（AB，BA），回忆这段曲子。根据回忆的正确性获得评分[57]。
变差来源
平方和
自由度
均方
F
P
学习环境
22.791
1
22.798
0.652
0.426
回忆环境
0.283
1
0.283
0.008
0.929
学习环境×回忆环境
1 188.159
1
1 188.159
33.968
0.000
误差
979.396
28
34.978

总和
2 190.637
31

问：（1）本实验共有几次重复？为什么？
（2）本实验与上一实验比较有什么不同，可以改变结论的性质吗？
答：(1) 总的重复数为32次。
(2) 结论与上一实验结果类似，只能说不同钢琴的这一环境所产生的交互作用更显著。同样不能把这一结论推广到水平总体。

9.9 研究3~18岁健康个体尿中Adrenarche标记物的值。其中两性24小时尿样中DHEA*的平均含量**如下[58]：
年龄/a
性 别
男孩/（mg ·d-1）
女孩/（mg ·d-1）

3~4
0.91
0.90
5~6
0.90
0.99
7~8
1.08
1.02
9~10
1.53
1.47
11~12
1.90
1.57
13~14
2.27
1.86
15~16
2.09
2.16
17~18
2.55
2.31

注：* DHEA：Dehydroepiandrosterone（脱氢表雄酮），是合成人体雌激素，雄激素，以及其他一些人体激素的最基本物质。
**该值已经过对数变换。
用两因素方差分析判断不同年龄组和不同性别的DHEA差异是否显著？
答：结果如下表：
The SAS System

Analysis of Variance Procedure
Class Level Information

Class Levels Values

AGE 8 1 2 3 4 5 6 7 8

SEX 2 1 2

Number of observations in data set = 16

The SAS System

Analysis of Variance Procedure

Dependent Variable: DHEA
Sum of Mean
Source DF Squares Square F Value Pr > F

Model 8 4.90295000 0.61286875 35.44 0.0001

Error 7 0.12104375 0.01729196

Corrected Total 15 5.02399375

R-Square C.V. Root MSE DHEA Mean

0.975907 8.247678 0.13150 1.59438

Source DF Anova SS Mean Square F Value Pr > F

AGE 7 4.84654375 0.69236339 40.04 0.0001
SEX 1 0.05640625 0.05640625 3.26 0.1139
从计算结果可以得知，年龄是极显著因素，性别是不显著因素。以上结果可以归纳成下表。
变差来源
平方和
自由度
均方
F
P
年龄间
4.846 543 75
7
0.692 363 39
40.04
0.000 1
性别间
0.056 406 25
1
0.056 406 25
3.26
0.113 9
误 差
0.121 043 75
7
0.017 291 96

总 和
5.023 993 75
15

9.10 嗜乳酸杆菌在体内处于一种酸性环境，一项关于嗜乳酸杆菌(Lactobacillus acidophilus) Ind－I在体外模拟环境中，在不同pH和不同时间的活菌数（活菌数/mL）变化情况如下表[59]：
时间/ h

pH

4.5

3.5

2.5

1.5

2

2.40×109
1.34×109

1.68×108
1.08×108

1.18×108
1.02×108

4.58×104
3.24×104

4

7.00×109
4.14×108

2.24×109
1.48×109

4.60×107
3.98×107

5.96×103
2.36×103

6

2.10×1010
2.38×109

6.80×108
4.88×109

1.32×107
1.30×107

2.10×103
1.92×103

对表中的数据进行方差分析，数据是服从泊松分布的。
答：对于服从泊松分布的数据，应进行平方根变换。程序与结果如下：
options linesize=76 nodate;
data lacto;
infile 'E:\data\exr9-10e.dat';
do time=1 to 3;
do pH=1 to 4;
do n=1 to 2;
input y @@;
number=sqrt(y);
output;
end;
end;
end;
run;
proc anova;
class time pH;
model number=time pH time*pH;
run;

The SAS System

Analysis of Variance Procedure
Class Level Information

Class Levels Values

TIME 3 1 2 3

PH 4 1 2 3 4

Number of observations in data set = 24

The SAS System

Analysis of Variance Procedure

Dependent Variable: NUMBER
Sum of Mean
Source DF Squares Square F Value Pr > F

Model 11 2.0166E+10 1.8333E+09 2.86 0.0424

Error 12 7.7030E+09 6.4191E+08

Corrected Total 23 2.7869E+10

R-Square C.V. Root MSE NUMBER Mean

0.723601 96.47277 25336.0 26262.3

Source DF Anova SS Mean Square F Value Pr > F

TIME 2 1.7452E+09 8.7262E+08 1.36 0.2937
PH 3 1.5229E+10 5.0763E+09 7.91 0.0036
TIME*PH 6 3.1921E+09 5.3201E+08 0.83 0.5696
只有“pH”是极显著因素，“时间”和“时间×pH”都是不显著因素。以上结果可以归纳成下表。
变差来源
平方和
自由度
均方
F
P
时 间
1.7452X109
2
8.7262X108
1.36
0.2937
pH
1.5229X109
3
5.0763X109
7.91
0.0036
时间×pH
3.1921X109
6
5.3201X108
0.83
0.5696
误 差
7.7030X109
12
6.4191X108

总 和
2.7869X1010
23

9.11 布氏轮藻（Chara braunii Gm.）的托叶长度与生态环境的状况有密切关系。实验选择4种药物（A：Cd2+，B：Hg2+，C：Cr6+，D：敌枯双 ），每种药物（因素）选择4个水平，两次重复。加药培养5个月后，托叶的长度（mm）如下[60]：
因 素

水 平

1
2
3
4

A

624
260
300
1 207

637
702
1 300
722

B

190
400
780
1 092

250
500
858
2 210

C

650
600
410
1 040

1 040
480
910
1 300

D

780
947
650
300

832
1 248
1 820
1 300

这是一个有重复的两因素交叉分组实验设计，对上述数据进行分析，并解释为什么会得到这样的结果？
答：结果如下：
The SAS System

Analysis of Variance Procedure
Class Level Information

Class Levels Values

DRUG 4 1 2 3 4

LEVEL 4 1 2 3 4

Number of observations in data set = 32

The SAS System

Analysis of Variance Procedure

Dependent Variable: LENGTH
Sum of Mean
Source DF Squares Square F Value Pr > F

Model 15 3672745.22 244849.68 1.39 0.2613

Error 16 2823335.50 176458.47

Corrected Total 31 6496080.72

R-Square C.V. Root MSE LENGTH Mean

0.565379 51.03545 420.070 823.094

Source DF Anova SS Mean Square F Value Pr > F

DRUG 3 310025.34 103341.78 0.59 0.6331
LEVEL 3 1435384.09 478461.36 2.71 0.0796
DRUG*LEVEL 9 1927335.78 214148.42 1.21 0.3519
根据以往的经验，重金属和农药对植物的生长应当有影响。然而，实验结果却是药物、水平及药物×水平三个因素都是不显著因素。造成这种结果的原因是实验的误差平方和过大。我们知道，误差平方和是重复间的平方和。在原始数据中，有些重复的数据相差甚大，例如，A3和D4的两次重复间竟然相差4倍有余，相差2~3倍的也有不少。重复间存在如此之大的偏差，说明实验材料、实验环境（条件）或实验操作存在不一致性。重复间过大的偏差，造成过大的误差均方，使本来存在的效应被误差掩盖，而不能被检验出来。在设计实验时，除所研究的因素外，一定要保证各方面的均一性。这一点在设计实验和完成实验的过程中是至关重要的，一定要特别注意。人们在接受误差很大的背景下所得到的结论时，会持保留态度的。以上数据可以归纳成下表：
变差来源
平方和
自由度
均方
F