勾股定理教学设计一.doc

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勾股定理（一）

教学目的：1
．使学生掌握勾股定理及其证明.
．通过讲解我国古代学者发现及应用勾股定理的成就，对学生进行 2
受国主义教育、学习目的教育.
教学重点：勾股定理的证明和应用. 教学难点：勾股定理的证明.
教学过程：
新课引入：直角三角形三边之间有一种特别重要的关系，早在我国古代就引起
人们的兴趣。我国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，
斜边叫做弦。介绍商高答周公的勾三股四弦必五的故事。
中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的开头，记载着一段周公向商高请
教数学知识的对话：
周公问："我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可
以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地得到数据
呢？"
商高回答说："数的产生来源于对方和圆这些形体的认识。其中有一
条原理： 直角三角形'矩'得到的一条直角边'勾'等于3 另一条直角边'股'
当 ，
等于 4的时候，那么它的斜边'弦'就必定是 5 这个原理是大禹在治水的时候就 。
总结出来的呵。"
从上面所引的这段对话中，我们可以清楚地看到，我国古代的人民早
在几千年以前就已经发现并应用勾股定理这一重要懂得数学原理了.
人们还发现，在直角三角形中勾为 6 ，股为 8 ，弦必为 10勾为 5
； ，股为 12 ，
弦必为 13¼¼。而 3+4 2，6+8 2，5+12 2，¼¼即勾 2+ 2= 2。是否所
， 2 2=5 2 2=10 2 2=13 股弦
有直角三角形都有这种性质呢？
事实上，可以证明，对于所有的直角三角形的三边都有这种关系，此关系我国
把它称为"勾股定理"，现在我们就来学习这个定理。
人们还发现，在直角三角形中勾为 6 ，股为 8 ，弦必为 10勾为 5
； ，股为 12 ，
弦必为 13¼¼。而 3+4 2，6+8 2，5+12 2，¼¼即勾 2+ 2= 2。是否所
， 2 2=5 2 2=10 2 2=13 股弦
有直角三角形都有这种性质呢？
事实上，可以证明，对于所有的直角三角形的三边都有这种关系，此关系我国
把它称为"勾股定理"，现在我们就来学习这个定理。
讲解新课
勾股定理 直角三角形两直角边 a b的平方和等于斜边 c的平方. a+b 2.
、 即 2 2=c

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对于这个定理的证明可按教科书中所给的方法。根据教科书中的方法事先用硬
纸片拼好图形 1-104 。
（1 ）先让学生观察，拼成的两个正方形边长都是 a+b ，则面积相等。再看这两
个正方形又由哪些三角形和正方形拼成的。
（2 ）分别写出左、右两个正方形的面积：
在边正方形是四个全等直角三角形与两个正方形组成，其面积为

4 ´ 1 ab + a 2 + b2 。
2
右边的正方形是四个全等直角三角形与一个正方形组成， 其面积为 4 ´ 1 ab + c2 。
2
（3 ）左、右两个正方形面积相等，即
a + b + 4´
2 2 1 ab = c 2 + 4 ´ 1 ab
2 2，
∴ a2 + b2 = c2 。
（4 ）勾股定理的变形。今后在运用勾股定理时，根据需要可将其变形为：
a 2 = c 2 - b2 或 b 2 = c 2 - a 2 ，从而可知，在Rt △中已知两边可求出第三边。
向学生说明，这种证法是采用割补拼接（称拼图）的方法。在拼补过程中只要
没有重叠、没有空隙，而面积不会改变，利用计算也可以证明几何命题，而且是一
种常用的证明方法。
勾股定理的证明方法很多，以后还会用其它方法来证明。
我国发现勾股定理的时间比较早，在公元前一世纪《周髀算经》里记载着夏禹
（公元前 21 ）和商高（公元前 1120 发现了这个定理。春秋时代（公元前
世纪 年）
6 7世纪）陈子也对这个定理作出了很大贡献，所以也叫陈子定理。又由于古书中 、
记有"勾广三，股修四，径隅五"，因此这个定理就称为勾股定理。
在西方最早发现这个定理的相传是公元五百多年古希腊数学家毕达哥拉斯，所 以西方多称"毕达哥拉斯定理"，他们的发现比我国晚了好几百年。我们的祖先是
勤劳智慧的！
勾股定理是平面几何中一个十分重要的定理，它反映了直角三角形中三条边之
间 的数量关系，在理论和实践中应用很广。
课堂提问
在 RtABC ∠C=Rt
△ 中， ∠，
（1 ）已知 a=6 ，求 c ，b=8 ；
（2 ）已知 a=40 ，求 b ，c=41 ；
（3 ）已知∠A=30a=2 b c °， ，求 、 ；
（4 A=45c=4 a b
） °， ，求 、 。
例题精选
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例 1已知：如图，等边D ABC 的边长是 6cm.
A

(1) 查表求高 AD 的长；

(2)SABC 求D.
解 (1)ABC
∵D 是等边三角形，AD 是高，

∴

BD= 1 BC=3.
2


B


D


C

在 RtABD AB=6 ，根据勾股定理，
D 中， ，BD=3
AD 2－BD
2=AB 2.

∴ AD= 9 = 27 =5.196. 36 -

(2)S 1 BCAD= 65.196=15.588(cm

=
D ABC 2
•
1´ ´
2
2).

例 2已知：如图，在 RtABC ÐC=90、E分别为 BCAC
D 中， °，D 、 的中点，AD=5 ，
BE=2，求 AB .
10 的长 B
分析 先求 BCAC ， ，再由勾股定理求 AB.
解 设 AC=b, BC=a,AB=c,
∵ AD 是中线 、BE

∴ CE= CD=

b，
2
a，
2
D

又∵ ÐC=90 °
∴ 在 RtACD CD 2=AD
D 中， 2+AC 2
C E A
在 RtBCE BC =BE
D 中， +CE
2 2 2

∵ AD=5 10 ， ，BE=2

ìæ a ö2
ïç 2 ÷ + b2 = 52

∴ ïè ø
í

ïa2 + æ b ö2 = (2 10)2

ï
î
èø ç2÷

两式相加得， 5 (a 2)=65
2+b
4
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