高中抛物线经典练习题(中等偏难).doc

　 抛物线
一．选择题（共18小题）
1．（2014•武汉模拟）O为坐标原点，F为抛物线C：y2=4x的焦点，P为C上一点，若|PF|=4，则△POF的面积为（　　）

A．
2
B．
2
C．
2
D．
4

2．（2014•和平区模拟）在抛物线y=x2+ax﹣5（a≠0）上取横坐标为x1=﹣4，x2=2的两点，经过两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x2+5y2=36相切，则抛物线顶点的坐标为（　　）

A．
（﹣2，﹣9）
B．
（0，﹣5）
C．
（2，﹣9）
D．
（1，6）

3．（2014•南阳三模）动圆C经过点F（1，0），并且与直线x=﹣1相切，若动圆C与直线总有公共点，则圆C的面积（　　）

A．
有最大值8π
B．
有最小值2π
C．
有最小值3π
D．
有最小值4π

4．（2014•九江模拟）点P是抛物线y2=4x上一动点，则点P到点A（0，﹣1）的距离与到直线x=﹣1的距离和的最小值是（　　）

A．

B．

C．
2
D．

5．（2014•鄂尔多斯模拟）已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2=8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=（　　）

A．

B．

C．

D．

6．（2014•宜宾一模）已知抛物线y2=2px的焦点F到其准线的距离是6，抛物线的准线与x轴的交点为K，A在抛物线上，且，则△AFK的面积为（　　）

A．
18
B．
16
C．
9
D．
6

7．（2014•河南）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QF|=（　　）

A．

B．
3
C．

D．
2

8．（2014•甘肃二模）过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1）B（x2，y2）两点，如果x1+x2=6，那么|AB|=（　　）

A．
6
B．
8
C．
9
D．
10

9．（2014•宣城二模）已知抛物线方程为y2=4x，直线l的方程为x﹣y+4=0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，P到直线l的距离为d2，则d1+d2的最小值为（　　）

A．

B．

C．

D．

10．（2012•山东）已知双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，若抛物线C2：x2=2py（p＞0）的焦点到双曲线C1的涟近线的距离是2，则抛物线C2的方程是（　　）

A．

B．
x2=y
C．
x2=8y
D．
x2=16y

11．（2012•烟台一模）已知P为抛物线y2=4x上一个动点，Q为圆x2+（y﹣4）2=1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是（　　）

A．

B．

C．

D．

12．（2011•湖南模拟）设抛物线y2=4x上一点P到直线x=﹣3的距离为5，则点P到该抛物线焦点的距离是（　　）

A．
3
B．
4
C．
6
D．
8

13．（2011•黑龙江一模）已知抛物线y2=2px（p＞0），F为其焦点，l为其准线，过F任作一条直线交抛物线于A、B两点，A'、B'分别为A、B在l上的射影，M为A'B'的中点，给出下列命题：
①A'F⊥B'F；
②AM⊥BM；
③A'F∥BM；
④A'F与AM的交点在y轴上；
⑤AB'与A'B交于原点．
其中真命题的个数为（　　）

A．
2个
B．
3个
C．
4个
D．
5个

14．（2011•西城区二模）已知点A（﹣1，0），B（1，0）及抛物线y2=2x，若抛物线上点P满足|PA|=m|PB|，则m的最大值为（　　）

A．
3
B．
2
C．

D．

15．（2010•陕西）已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线与圆（x﹣3）2+y2=16相切，则p的值为（　　）

A．

B．
1
C．
2
D．
4

16．（2010•宁波二模）已知P是以F1，F2为焦点的椭圆=1（a＞b＞0）上的一点，若PF1⊥PF2，tan∠PF1F2=，则此椭圆的离心率为（　　）

A．

B．

C．

D．

17．（2009•天津）设抛物线y2=2x的焦点为F，过点M（，0）的直线与抛物线相交于A、B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|=2，则△BCF与△ACF的面积之比=（　　）

A．

B．

C．

D．

18．（2006•江西）设O为坐标原点，F为抛物线y2=4x的焦点，A是抛物线上一点，若=﹣4则点A的坐标是（　　）

A．
（2，±2）
B．
（1，±2）
C．
（1，2）
D．
（2，2）

二．填空题（共4小题）
19．（2014•宜春模拟）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线l，过M（1，0）且斜率为的直线与l相交于A，与C的一个交点为B，若，则p=　_________　．

20．（2012•重庆）过抛物线y2=2x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若，则|AF|=　_________　．

21．（2010•重庆）已知以F为焦点的抛物线y2=4x上的两点A、B满足=3，则弦AB的中点到准线的距离为　_________　．

22．（2004•陕西）设P是曲线y2=4（x﹣1）上的一个动点，则点P到点（0，1）的距离与点P到y轴的距离之和的最小值是
　_________　．

三．解答题（共5小题）
23．（2013•广东）已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x﹣y﹣2=0的距离为，设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．
（1）求抛物线C的方程；
（2）当点P（x0，y0）为直线l上的定点时，求直线AB的方程；
（3）当点P在直线l上移动时，求|AF|•|BF|的最小值．
24．（2014•包头一模）设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，l与x轴交于点R，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点．
（1）若∠BFD=120°，△ABD的面积为8，求p的值及圆F的方程；
（2）在（1）的条件下，若A，B，F三点在同一直线上，FD与抛物线C交于点E，求△EDA的面积．

25．（2012•湛江模拟）已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4、且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5．过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M．
（1）求抛物线方程；
（2）过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标；
（3）以M为圆心，MB为半径作圆M，当K（m，0）是x轴上一动点时，讨论直线AK与圆M的位置关系．

26．（2011•浙江模拟）在平面直角坐标系中，已知点P（1，﹣1），过点P作抛物线T0：y=x2的切线，其切点分别为M（x1，y1）、N（x2，y2）（其中x1＜x2）．
（Ⅰ）求x1与x2的值；
（Ⅱ）若以点P为圆心的圆E与直线MN相切，求圆E的面积；
（Ⅲ）过原点O（0，0）作圆E的两条互相垂直的弦AC，BD，求四边形ABCD面积的最大值．

27．（2014•长春三模）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M，N两点，且|MN|=8．
（1）求抛物线C的方程；
（2）设直线l为抛物线C的切线，且l∥MN，P为l上一点，求的最小值．

参考答案与试题解析

一．选择题（共18小题）
1．（2014•武汉模拟）O为坐标原点，F为抛物线C：y2=4x的焦点，P为C上一点，若|PF|=4，则△POF的面积为（　　）

A．
2
B．
2
C．
2
D．
4

考点：
抛物线的简单性质．菁优网版权所有
专题：
计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：
根据抛物线方程，算出焦点F坐标为（）．设P（m，n），由抛物线的定义结合|PF|=4，算出m=3，从而得到n=，得到△POF的边OF上的高等于2，最后根据三角形面积公式即可算出△POF的面积．
解答：
解：∵抛物线C的方程为y2=4x
∴2p=4，可得=，得焦点F（）
设P（m，n）
根据抛物线的定义，得|PF|=m+=4，
即m+=4，解得m=3
∵点P在抛物线C上，得n2=4×3=24
∴n==
∵|OF|=
∴△POF的面积为S=|OF|×|n|==2
故选：C

点评：
本题给出抛物线C：y2=4x上与焦点F的距离为4的点P，求△POF的面积．着重考查了三角形的面积公式、抛物线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．

2．（2014•和平区模拟）在抛物线y=x2+ax﹣5（a≠0）上取横坐标为x1=﹣4，x2=2的两点，经过两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x2+5y2=36相切，则抛物线顶点的坐标为（　　）

A．
（﹣2，﹣9）
B．
（0，﹣5）
C．
（2，﹣9）
D．
（1，6）

考点：
抛物线的应用．菁优网版权所有
专题：
计算题；压轴题．
分析：
求出两个点的坐标，利用两点连线的斜率公式求出割线的斜率；利用导数在切点处的值为切线的斜率求出切点坐标；利用直线方程的点斜式求出直线方程；利用直线与圆相切的条件求出a，求出抛物线的顶点坐标．
解答：
解：两点坐标为（﹣4，11﹣4a）；（2，2a﹣1）
两点连线的斜率k=
对于y=x2+ax﹣5
y′=2x+a
∴2x+a=a﹣2解得x=﹣1
在抛物线上的切点为（﹣1，﹣a﹣4）
切线方程为（a﹣2）x﹣y﹣6=0
直线与圆相切，圆心（0，0）到直线的距离=圆半径

解得a=4或0（0舍去）
抛物线方程为y=x2+4x﹣5顶点坐标为（﹣2，﹣9）
故选A．
点评：
本题考查两点连线的斜率公式、考查导数在切点处的值为切线的斜率、考查直线与圆相切的充要条件是圆心到直线的距离等于半径．

3．（2014•南阳三模）动圆C经过点F（1，0），并且与直线x=﹣1相切，若动圆C与直线总有公共点，则圆C的面积（　　）

A．
有最大值8π
B．
有最小值2π
C．
有最小值3π
D．
有最小值4π

考点：
抛物线的定义；点到直线的距离公式；圆的标准方程．菁优网版权所有
专题：
直线与圆．
分析：
由题意可得动圆圆心C（a，b）的方程为y2=4x．即b2=4a．由于动圆C与直线总有公共点，利用点到直线的距离公式和直线与圆的位置关系可得圆心C到此直线的距离d≤r=|a+1|=a+1．据此可得出b或a满足的条件，进而得出圆C的面积的最小值．
解答：
解：由题意可得：动圆圆心C（a，b）的方程为y2=4x．即b2=4a．
∵动圆C与直线总有公共点，∴圆心C到此直线的距离d≤r=|a+1|=a+1．
∴≤a+1，
又，上式化为，化为
解得b≥2或．
当b=2时，a取得最小值1，此时圆C由最小面积π×（1+1）2=4π．
故选：D．
点评：
本题综合考查了抛物线的定义、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式、一元二次不等式及其圆的面积等基础知识，考查了推理能力和计算能力．

4．（2014•九江模拟）点P是抛物线y2=4x上一动点，则点P到点A（0，﹣1）的距离与到直线x=﹣1的距离和的最小值是（　　）

A．

B．

C．
2
D．

考点：
抛物线的简单性质．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
由抛物线的性质，我们可得P点到直线x=﹣1的距离等于P点到抛物线y2=4x焦点F的距离，根据平面上两点之间的距离线段最短，即可得到点P到点A（0，﹣1）的距离与到直线x=﹣1的距离和的最小值．
解答：
解：∵P点到直线x=﹣1的距离等于P点到抛物线y2=4x焦点F的距离
故当P点位于AF上时，点P到点A（0，﹣1）的距离与到直线x=﹣1的距离和最小
此时|PA|+|PF|=|AF|=
故选D
点评：
本题考查的知识点是抛物线的简单性质，其中根据抛物线的性质，将点P到点A（0，﹣1）的距离与到直线x=﹣1的距离和，转化为P点到A，F两点的距离和，是解答本题的关键．

5．（2014•鄂尔多斯模拟）已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2=8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：
抛物线的简单性质．菁优网版权所有
专题：
计算题；压轴题．
分析：
根据直线方程可知直线恒过定点，如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，根据|FA|=2|FB|，推断出|AM|=2|BN|，点B为AP的中点、连接OB，进而可知，进而推断出|OB|=|BF|，进而求得点B的横坐标，则点B的坐标可得，最后利用直线上的两点求得直线的斜率．
解答：
解：设抛物线C：y2=8x的准线为l：x=﹣2
直线y=k（x+2）（k＞0）恒过定点P（﹣2，0）
如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，
由|FA|=2|FB|，则|AM|=2|BN|，
点B为AP的中点、连接OB，
则，
∴|OB|=|BF|，点B的横坐标为1，
故点B的坐标为，
故选D

点评：
本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了对抛物线的基础知识的灵活运用．

6．（2014•宜宾一模）已知抛物线y2=2px的焦点F到其准线的距离是6，抛物线的准线与x轴的交点为K，A在抛物线上，且，则△AFK的面积为（　　）

A．
18
B．
16
C．
9
D．
6

考点：
抛物线的简单性质．菁优网版权所有
专题：
圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：
由抛物线的性质可求p，进而可求抛物线的方程，设A（x，y），K（﹣4，0），F（4，0），由，及点A在抛物线上，利用两点间的距离公式可得关于x，y的方程，解方程可求A 的坐标，进而可求△AFK的面积．
解答：
解：由题意可得，p=6
∴抛物线的方程为y2=12x
设A（x，y），K（﹣3，0），F（3，0）
∵，
∴=整理可得，x2+y2﹣18x+9=0
∵y2=12x
∴x2﹣6x+9=0
∴x=3，|y|=6
=×6×6=18
故选：A．
点评：
本题主要考查了抛物线的性质的简单应用及基本的运算能力，属于中档题．

7．（2014•河南）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QF|=（　　）

A．

B．
3
C．

D．
2

考点：
抛物线的简单性质．菁优网版权所有
专题：
计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：
求得直线PF的方程，与y2=8x联立可得x=1，利用|QF|=d可求．
解答：
解：设Q到l的距离为d，则|QF|=d，
∵=4，
∴|PQ|=3d，
∴直线PF的斜率为﹣2，
∵F（2，0），
∴直线PF的方程为y=﹣2（x﹣2），
与y2=8x联立可得x=1，
∴|QF|=d=1+2=3，
故选：B．
点评：
本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线的位置关系，属于基础题．

8．（2014•甘肃二模）过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1）B（x2，y2）两点，如果x1+x2=6，那么|AB|=（　　）

A．
6
B．
8
C．
9
D．
10

考点：
抛物线的简单性质．菁优网版权所有
专题：
综合题；转化思想；综合法．
分析：
抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1）B（x2，y2）两点，故|AB|=x1+x2+2，由此易得弦长值．
解答：
解：由题意，p=2，故抛物线的准线方程是x=﹣1，
∵抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1）B（x2，y2）两点
∴|AB|=x1+x2+2，
又x1+x2=6
∴∴|AB|=x1+x2+2=8
故选B．
点评：
本题考查抛物线的简单性质，解题的关键是理解到焦点的距离与到准线的距离相等，由此关系将求弦长的问题转化为求点到线的距离问题，大大降低了解题难度．

9．（2014•宣城二模）已知抛物线方程为y2=4x，直线l的方程为x﹣y+4=0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，P到直线l的距离为d2，则d1+d2的最小值为（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：
抛物线的简单性质．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
如图点P到y轴的距离等于点P到焦点F的距离减1，过焦点F作直线x﹣y+4=0的垂线，此时d1+d2最小，根据抛物线方程求得F，进而利用点到直线的距离公式求得d1+d2的最小值．
解答：
解：如图点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离，
从而P到y轴的距离等于点P到焦点F的距离减1．
过焦点F作直线x﹣y+4=0的垂线，此时d1+d2=|PF|+d2﹣1最小，
∵F（1，0），则|PF|+d2==，
则d1+d2的最小值为．
故选D．

点评：
本题主要考查了抛物线的简单性质，两点距离公式的应用．解此列题设和先画出图象，进而利用数形结合的思想解决问题．

10．（2012•山东）已知双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，若抛物线C2：x2=2py（p＞0）的焦点到双曲线C1的涟近线的距离是2，则抛物线C2的方程是（　　）

A．

B．
x2=y
C．
x2=8y
D．
x2=16y

考点：
抛物线的简单性质；点到直线的距离公式；双曲线的简单性质．菁优网版权所有
专题：
计算题；压轴题．
分析：
利用双曲线的离心率推出a，b的关系，求出抛物线的焦点坐标，通过点到直线的距离求出p，即可得到抛物线的方程．
解答：
解：双曲线C1：的离心率为2．
所以，即：=4，所以；双曲线的渐近线方程为：
抛物线的焦点（0，）到双曲线C1的渐近线的距离为2，
所以2=，因为，所以p=8．
抛物线C2的方程为x2=16y．
故选D．
点评：
本题考查抛物线的简单性质，点到直线的距离公式，双曲线的简单性质，考查计算能力．

11．（2012•烟台一模）已知P为抛物线y2=4x上一个动点，Q为圆x2+（y﹣4）2=1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：
抛物线的应用．菁优网版权所有
专题：
计算题；压轴题．
分析：
先根据抛物线方程求得焦点坐标，根据圆的方程求得圆心坐标，根据抛物线的定义可知P到准线的距离等于点P到焦点的距离，进而问题转化为求点P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小值，根据图象可知当P，Q，F三点共线时P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小，为圆心到焦点F的距离减去圆的半径．
解答：
解：抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），圆x2+（y﹣4）2=1的圆心为C（0，4），
根据抛物线的定义可知点P到准线的距离等于点P到焦点的距离，
进而推断出当P，Q，F三点共线时P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小为：，
故选C．
点评：
本题主要考查了抛物线的应用．考查了学生转化和化归，数形结合等数学思想．

12．（2011•湖南模拟）设抛物线y2=4x上一点P到直线x=﹣3的距离为5，则点P到该抛物线焦点的距离是（　　）

A．
3
B．
4
C．
6
D．
8

考点：
抛物线的定义．菁优网版权所有
专题：
计算题；压轴题．
分析：
先根据抛物线的方程求得抛物线的准线方程，根据点P到直线x=﹣3的距离求得点到准线的距离，进而利用抛物线的定义可知点到准线的距离与点到焦点的距离相等，从而求得答案．
解答：
解：抛物线y2=4x的准线为x=﹣1，
∵点P到直线x=﹣3的距离为5，
∴点p到准线x=﹣1的距离是5﹣2=3，
根据抛物线的定义可知，点P到该抛物线焦点的距离是3，
故选A．
点评：
本题主要考查了抛物线的定义．充分利用了抛物线上的点到准线的距离与点到焦点的距离相等这一特性．

13．（2011•黑龙江一模）已知抛物线y2=2px（p＞0），F为其焦点，l为其准线，过F任作一条直线交抛物线于A、B两点，A'、B'分别为A、B在l上的射影，M为A'B'的中点，给出下列命题：
①A'F⊥B'F；
②AM⊥BM；
③A'F∥BM；
④A'F与AM的交点在y轴上；
⑤AB'与A'B交于原点．
其中真命题的个数为（　　）

A．
2个
B．
3个
C．
4个
D．
5个

考点：
抛物线的简单性质．菁优网版权所有
专题：
计算题；压轴题．
分析：
①由于A，B在抛物线上，根据抛物线的定义可知A'F=AF，B'F=BF，从而由相等的角，由此可判断A'F⊥B'F；
②取AB中点C，利用中位线即抛物线的定义可得CM=，从而AM⊥BM；
③由②知，AM平分∠A′AF，从而可得A′F⊥AM，根据AM⊥BM，利用垂直于同一直线的两条直线平行，可得结论；
④取AB⊥x轴，则四边形AFMA'为矩形，则可得结论；
⑤取AB⊥x轴，则四边形ABB'A'为矩形，则可得结论．
解答：
解：①由于A，B在抛物线上，根据抛物线的定义可知A'F=AF，B'F=BF，因为A′、B′分别为A、B在l上的射影，所以A'F⊥B'F；
②取AB中点C，则CM=，∴AM⊥BM；
③由②知，AM平分∠A′AF，∴A′F⊥AM，∵AM⊥BM，∴A'F∥BM；
④取AB⊥x轴，则四边形AFMA′为矩形，则可知A'F与AM的交点在y轴上；
⑤取AB⊥x轴，则四边形ABB'A'为矩形，则可知AB'与A'B交于原点
故选D．

点评：
本题以抛物线为载体，考查抛物线的性质，解题的关键是合理运用抛物线的定义．

14．（2011•西城区二模）已知点A（﹣1，0），B（1，0）及抛物线y2=2x，若抛物线上点P满足|PA|=m|PB|，则m的最大值为（　　）

A．
3
B．
2
C．

D．

考点：
抛物线的简单性质．菁优网版权所有
专题：
计算题；压轴题．
分析：
由题意可得 m2====1+≤3，可得 m≤．
解答：
解：设P（，y），由题意可得 m2====1+
≤1+=3，∴m≤，当且仅当 y2=2时，等号成立，
故选 C．
点评：
本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质，基本不等式的应用，运用基本不等式求出m2≤3，是解题的关键．

15．（2010•陕西）已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线与圆（x﹣3）2+y2=16相切，则p的值为（　　）

A．

B．
1
C．
2
D．
4

考点：
抛物线的简单性质．菁优网版权所有
专题：
计算题；压轴题．
分析：
根据抛物线的标准方程可知准线方程为，根据抛物线的准线与圆相切可知求得p．
解答：
解：抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为，
因为抛物线y2=2px（p＞0）的准线与圆（x﹣3）2+y2=16相切，
所以；
故选C．
点评：
本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系．

16．（2010•宁波二模）已知P是以F1，F2为焦点的椭圆=1（a＞b＞0）上的一点，若PF1⊥PF2，tan∠PF1F2=，则此椭圆的离心率为（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：
抛物线的简单性质．菁优网版权所有
专题：
计算题；压轴题．
分析：
设|PF1|=m，根据△PF1F2为直角三角形和tan∠PF1F2=，可分别表示出|PF2|和|F1F2|，进而表示出a和c，最后根据e=求得答案．
解答：
解：由题得△PF1F2为直角三角形，设|PF1|=m，
则tan∠PF1F2=
∴|PF2|=，|F1F2|=m，
∴e==
故选D．
点评：
本题考查椭圆离心率的求法．属基础题．

17．（2009•天津）设抛物线y2=2x的焦点为F，过点M（，0）的直线与抛物线相交于A、B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|=2，则△BCF与△ACF的面积之比=（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：
抛物线的应用；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题．菁优网版权所有
专题：
计算题；压轴题；数形结合．
分析：
根据F到直线AB的距离为定值．推断出=，进而根据两三角形相似，推断出=，根据抛物线的定义求得
=，根据|BF|的值求得B的坐标，进而利用两点式求得直线的方程，把x=代入，即可求得A的坐标，进而求得
的值，则三角形的面积之比可得．
解答：
解：如图过B作准线l：x=﹣的垂线，垂足分别为A1，B1，
由于F到直线AB的距离为定值．
∴=．
又∵△B1BC∽△A1AC、
∴=，
由拋物线定义==．
由|BF|=|BB1|=2知xB=，yB=﹣，
∴AB：y﹣0=（x﹣）．
把x=代入上式，求得yA=2，xA=2，
∴|AF|=|AA1|=．
故===．
故选A

点评：
本题主要考查了抛物线的应用，抛物线的简单性质．考查了学生基础知识的综合运用和综合分析问题的能力．

18．（2006•江西）设O为坐标原点，F为抛物线y2=4x的焦点，A是抛物线上一点，若=﹣4则点A的坐标是（　　）

A．
（2，±2）
B．
（1，±2）
C．
（1，2）
D．
（2，2）

考点：
抛物线的标准方程．菁优网版权所有
专题：
计算题；压轴题．
分析：
先求出抛物线的焦点F（1，0），根据抛物线的方程设A（，y0），然后构成向量、，再由=﹣4可求得y0的值，最后可得答案．
解答：
解：F（1，0）设A（，y0）
则=（，y0），=（1﹣，﹣y0），
由•=﹣4∴y0=±2，∴A（1，±2）
故选B．
点评：
本题主要考查抛物线的标准方程．抛物线的标准方程是高考的考点，是圆锥曲线的重要的一部分，要重视复习．

二．填空题（共4小题）
19．（2014•宜春模拟）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线l，过M（1，0）且斜率为的直线与l相交于A，与C的一个交点为B，若，则p=　2　．

考点：
抛物线的简单性质．菁优网版权所有
专题：
计算题；压轴题．
分析：
设直线AB的方程与抛物线方程联立消去y得3x2+（﹣6﹣2p）x+3=0，进而根据，可知M为A、B的中点，
可得p的关系式，解方程即可求得p．
解答：
解：设直线AB：，代入y2=2px得3x2+（﹣6﹣2p）x+3=0，
又∵，即M为A、B的中点，
∴xB+（﹣）=2，即xB=2+，
得p2+4P﹣12=0，
解得p=2，p=﹣6（舍去）
故答案为：2
点评：
本题考查了抛物线的几何性质．属基础题．

20．（2012•重庆）过抛物线y2=2x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若，则|AF|=　　．

考点：
抛物线的简单性质．菁优网版权所有
专题：
计算题；压轴题．
分析：
设出点的坐标与直线的方程，利用抛物线的定义表示出|AF|、|BF|再联立直线与抛物线的方程利用根与系数的关系解决问题，即可得到答案．
解答：
解：由题意可得：F（，0），设A（x1，y1），B（x2，y2）．
因为过抛物线y2=2x的焦点F作直线l交抛物线于A、B两点，
所以|AF|=+x1，|BF|=+x2．
因为，所以x1+x2=
设直线l的方程为y=k（x﹣），
联立直线与抛物线的方程可得：k2x2﹣（k2+2）x+=0，
所以x1+x2=．
∴
∴k2=24
∴24x2﹣26x+6=0，
∴，
∴|AF|=+x1=
故答案为：
点评：
解决此类问题的关键是熟练掌握抛物线的定义，以及掌握直线与抛物线位置关系，并且结合准确的运算也是解决此类问题的一个重要方面

21．（2010•重庆）已知以F为焦点的抛物线y2=4x上的两点A、B满足=3，则弦AB的中点到准线的距离为　　．

考点：
抛物线的简单性质；点到直线的距离公式；抛物线的定义．菁优网版权所有
专题：
计算题；压轴题．
分析：
设BF=m，由抛物线的定义知AA1和BB1，进而可推断出AC和AB，及直线AB的斜率，则直线AB的方程可得，与抛物线方程联立消去y，进而跟韦达定理求得x1+x2的值，则根据抛物线的定义求得弦AB的中点到准线的距离．
解答：
解：设BF=m，由抛物线的定义知
AA1=3m，BB1=m
∴△ABC中，AC=2m，AB=4m，
直线AB方程为
与抛物线方程联立消y得3x2﹣10x+3=0
所以AB中点到准线距离为
故答案为

点评：
本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了直线与抛物线的关系及焦点弦的问题．常需要利用抛物线的定义来解决．

22．（2004•陕西）设P是曲线y2=4（x﹣1）上的一个动点，则点P到点（0，1）的距离与点P到y轴的距离之和的最小值是
　　．

考点：
抛物线的应用．菁优网版权所有
专题：
计算题；压轴题．
分析：
先根据抛物线方程求出其准线与焦点坐标，在与抛物线的性质可得到当点P为（0，1）点与（2，0）点的连线与抛物线的交点时，距离和最小，最后根据两点间的距离公式得到答案．
解答：
解：y2=4（x﹣1）的图象是以y轴为准线，（2，0）为焦点的抛物线，∴当点P为（0，1）点与（2，0）点的连线与抛物线的交点时，距离和最小，
最小值为：=．
故答案为：．
点评：
本题主要考查抛物线的基本性质和两点间的距离公式的应用．抛物线的简单性质是高考的重点，考题一般不难，但是灵活性要求比较高．

三．解答题（共5小题）
23．（2013•广东）已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x﹣y﹣2=0的距离为，设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．
（1）求抛物线C的方程；
（2）当点P（x0，y0）为直线l上的定点时，求直线AB的方程；
（3）当点P在直线l上移动时，求|AF|•|BF|的最小值．

考点：
抛物线的标准方程；利用导数研究曲线上某点切线方程；抛物线的简单性质．菁优网版权所有
专题：
压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：
（1）利用焦点到直线l：x﹣y﹣2=0的距离建立关于变量c的方程，即可解得c，从而得出抛物线C的方程；
（2）先设，，由（1）得到抛物线C的方程求导数，得到切线PA，PB的斜率，最后利用直线AB的斜率的不同表示形式，即可得出直线AB的方程；
（3）根据抛物线的定义，有，，从而表示出|AF|•|BF|，再由（2）得x1+x2=2x0，x1x2=4y0，x0=y0+2，将它表示成关于y0的二次函数的形式，从而即可求出|AF|•|BF|的最小值．
解答：
解：（1）焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x﹣y﹣2=0的距离，解得c=1
所以抛物线C的方程为x2=4y
（2）设，
由（1）得抛物线C的方程为，，所以切线PA，PB的斜率分别为，
所以PA：①PB：②
联立①②可得点P的坐标为，即，
又因为切线PA的斜率为，整理得
直线AB的斜率
所以直线AB的方程为
整理得，即
因为点P（x0，y0）为直线l：x﹣y﹣2=0上的点，所以x0﹣y0﹣2=0，即y0=x0﹣2
所以直线AB的方程为
（3）根据抛物线的定义，有，
所以=
由（2）得x1+x2=2x0，x1x2=4y0，x0=y0+2
所以=
所以当时，|AF|•|BF|的最小值为
点评：
本题以抛物线为载体，考查抛物线的标准方程，考查利用导数研究曲线的切线方程，考查计算能力，有一定的综合性．

24．（2014•包头一模）设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，l与x轴交于点R，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点．
（1）若∠BFD=120°，△ABD的面积为8，求p的值及圆F的方程；
（2）在（1）的条件下，若A，B，F三点在同一直线上，FD与抛物线C交于点E，求△EDA的面积．

考点：
抛物线的简单性质．菁优网版权所有
专题：
圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：
（1）根据∠BFD，|BF|=|FD|，推断出∠FBD=∠FBD=30°，进而表示出|FR|，|BF|，|BR|，|DF|，|DR|，进而表示出|BD|及圆的半径，进而利用抛物线的定义求得A到直线l的距离，利用三角形的面积，求得p，进而求得F的坐标和圆的方．
（2）根据A，B，F三点一线，推断出AB为圆F的直径，求得∠ADB=90°，利用抛物线的定义求得|AD|=|AB|，求得∠ABD，进而求得直线DF的斜率及直线的方程，与抛物线方程联立，求得交点的坐标即E点坐标，进而求得点E到直线AD的距离，最后利用三角形面积公式求得△EDA的面积．
解答：
解：（1）∵∠BFD=120°，|BF|=|FD|，
∴∠FBD=∠FBD=30°，
∵在Rt△BFR中，|FR|=p，
∴|BF|=2p，|BR|=p，
同理有|DF|=2p，|DR|=p，
∴|BD|=|BR|+|RD|=P，
圆F的半径|FA|=|FB|=2p，
由抛物线的定义可知A到l的距离d=|FA|=2p，
∵△ABD的面积为8，
∴|BD|•d=，即•2p•2p=8，解的p=2或p=﹣2（舍去），
∴F（1，0），圆F的方程为（x﹣1）2+y2=16．
（2）∵A，B，F三点在同一直线上，
∴AB为圆F的直径，∠ADB=90°，
由抛物线定义知|AD|=|FA|=|AB|，
∴∠ABD=30°，
直线DF的斜率k=tan60°=，
∴直线DF的方程为y=（x﹣1），
解方程组，求得（舍去）或，
∴点E（，﹣），到DA的距离d′=|DR|﹣|yB|=2﹣=，
∴S=|DA|•d′=×4×=．

点评：
本题主要考查了抛物线的基本性质，圆锥曲线的位置关系，圆的方程等问题．综合性强，计算量大，考查了学生分析推理和运算的能力．

25．（2012•湛江模拟）已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4、且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5．过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M．
（1）求抛物线方程；