数字信号复习题 (2).doc

第二章 时域离散信号和系统的频域分析

2.1填空题
（1） 双边序列变换的收敛域形状为 。
解：圆环或空集
（2）对的Z变换为 ，其收敛域为 。
解：
（3）抽样序列的Z变换与离散傅里叶变换DFT的关系为 。
解：
（4）序列x(n)=(1，-2，0，3；n=0，1，2，3), 圆周左移2位得到的序列为 。
解：{0，3，1，-2; n=0,1,2,3}
（5）设LTI系统输入为x(n) ，系统单位序列响应为h(n)，则系统零状态输出y(n)= 。
解：
（6）因果序列x(n)，在Z→∞时，X(Z)= 。
解：x(0)
（7）FT[x(n)]存在的充分必要条件是 。
解：序列x(n)绝对可和（或）
（8）共轭对称序列的实部是 函数，虚部是 函数。
解：偶；奇
（9）设，那么= 。
解：
（10）设，，那么= 。
解：
（11）Z变换存在的条件是 。
解：
（12）单位圆上的Z变换就是序列的 。
解：傅里叶变换
（13）若系统函数H( z)的所有极点均在单位圆内，则该系统为 系统。
解：因果稳定
（14）若，则该滤波器为 。
解：全通滤波器
（15）已知x(n)=IDFT[X(K)],x(n)的隐含周期为 。
解：N
（16）设x(n)是长度为M()的有限长序列，y(n)为x(n)的循环移位，即
，X(k)=DFT[x(n)]，，则Y(k)=DFT[y(n)]= 。
解：
（17）如果，；，则y(n)= 。
解：

2.2 选择题
1．δ(n)的Z变换是 （ ）
A.1 B.δ(ω) C.2πδ(ω) D.2π
解：A
2． 序列x1（n）的长度为4，序列x2（n）的长度为3，则它们线性卷积的长度是 （ ）A. 3 B. 4 C. 6 D. 7
解：C
3．下面描述中最适合离散傅立叶变换DFT的是 （ ）
A.时域为离散序列，频域为连续信号
B.时域为离散周期序列，频域也为离散周期序列
C.时域为离散无限长序列，频域为连续周期信号
D.时域为离散有限长序列，频域也为离散有限长序列
解：D
4．一离散序列x(n)，若其Z变换X(z)存在，而且X(z)的收敛域为： ，则x(n)为 。
A．因果序列 B. 右边序列
C．左边序列 D. 双边序列
解：A
5．一个稳定的线性时不变因果系统的系统函数H（z）的收敛域为 。
A. B.
C. D.
解：A
6.下列关于因果稳定系统说法错误的是 ( )
A. 极点可以在单位圆外
B. 系统函数的z变换收敛区间包括单位圆
C. 因果稳定系统的单位抽样响应为因果序列
D. 系统函数的z变换收敛区间包括z=∞
解：A
7．一个线性移不变系统稳定的充分必要条件是其系统函数的收敛域包含( )。
A．单位圆 B．原点 C．实轴 D．虚轴
解A
8．以下是一些系统函数的收敛域，则其中稳定的是（　　　）
A．|z| > 2 B．|z| < 0.5　　　　C．0.5 < |z| < 2 　　　　D．|z| < 0.9
解：C
9．已知某序列Z变换的收敛域为∞>|z|>0，则该序列为( )
A.有限长序列 B.右边序列
C.左边序列 D.双边序列
解：A
11．线性移不变系统的系统函数的收敛域为|z|<2，则可以判断系统为( )
A.因果稳定系统 B.因果非稳定系统
C.非因果稳定系统 D.非因果非稳定系统
解：C
12. 离散傅里叶变换是（ ）的Z变换。
A．单位圆内等间隔采样 B. 单位圆外等间隔采样
C．单位圆上等间隔采样 D. 右半平面等间隔采样
解：C
13．设有限长序列为x(n)，N1≤n≤N2,当N1<0,N2>0，Z变换的收敛域为( )。
A. 0<|z|<∞ B. |z|>0
C. |z|<∞ D. |z|≤∞
解：A
14.下列序列中z变换收敛域包括|z|=∞的是( )
A.u(n+1)-u(n) B.u(n)-u(n-1)
C.u(n)-u(n+1) D.u(n)+u(n+1)
解：B
15.已知某序列Z变换的收敛域为3<|z|<5，则该序列为（ ）
A.有限长序列 B.右边序列
C.左边序列 D.双边序列
解：D
16．设有限长序列为x(n)，N1≤n≤N2,当N1<0，N2=0时，Z变换的收敛域为（ ）
A．0<|z|<∞ B．|z|>0
C．|z|<∞ D．|z|≤∞
解：C
17．已知x(n)的Z变换为X(z)，则x(n+n0)的Z变换为： 。
A． B. C. D.
解：B
18. 已知某序列x(n)的z变换为z+z2，则x(n-2)的z变换为 ( )
A. B.
C. D.
解：D
19．实序列的傅里叶变换必是（　　　）
A．共轭对称函数 B．共轭反对称函数
C．线性函数 D．双线性函数
解：A
20．序列共轭对称分量的傅里叶变换等于序列傅里叶变换的( )
A.共轭对称分量 B.共轭反对称分量
C.实部 D.虚部
解：C
21．下面说法中正确的是( )
A.连续非周期信号的频谱为非周期连续函数
B.连续周期信号的频谱为非周期连续函数
C.离散非周期信号的频谱为非周期连续函数
D.离散周期信号的频谱为非周期连续函数
解：A
22.下面说法中正确的是（ ）
A.连续非周期信号的频谱为非周期离散函数
B.连续周期信号的频谱为非周期离散函数
C.离散非周期信号的频谱为非周期离散函数
D.离散周期信号的频谱为非周期离散函数
解：B
23．下面描述中最适合离散傅立叶变换DFT的是（ ）
A．时域为离散序列，频域也为离散序列
B．时域为离散有限长序列，频域也为离散有限长序列
C．时域为离散无限长序列，频域为连续周期信号
D．时域为离散周期序列，频域也为离散周期序列
解：D
24．对于序列的傅立叶变换而言,其信号的特点是（ ）
A．时域连续非周期，频域连续非周期 B．时域离散周期，频域连续非周期
C．时域离散非周期，频域连续非周期 D．时域离散非周期，频域连续周期
解：D
25．以下说法中（ ）是不正确的。
A. 时域采样，频谱周期延拓
B. 频域采样，时域周期延拓
C. 序列有限长，则频谱有限宽
D. 序列的频谱有限宽，则序列无限长
解：C
26．全通网络是指 。
A. 对任意时间信号都能通过的系统
B. 对任意相位的信号都能通过的系统
C. 对信号的任意频率分量具有相同的幅度衰减的系统
D. 任意信号通过后都不失真的系统
解：C
27．系统的单位抽样响应为，其频率响应为（ ）
A． B．
C． D．
解：A
 28.已知因果序列x(n)的z变换X(z)=，则x(0)=( )
A.0.5 B.0.75
C.－0.5 D.－0.75
解：A
29. 对于x(n)=u(n)的Z变换，( )。
A. 零点为z=，极点为z=0 B. 零点为z=0，极点为z=
C. 零点为z=，极点为z=1 D. 零点为z=，极点为z=2
解：B
30. 设序列x(n)=2δ(n+1)+δ(n)-δ(n-1)，则的值为( )。
A. 1 B. 2
C. 4 D. 1/2
解：B
31．若x(n)为实序列，是其傅立叶变换，则（ ）
A．的幅度和幅角都是ω的偶函数
B．的幅度是ω的奇函数，幅角是ω的偶函数
C．的幅度是ω的偶函数，幅角是ω的奇函数
D．的幅度和幅角都是ω的奇函数
解：C

2.3 问答题
1.何谓最小相位系统？最小相位系统的系统函数有何特点？
解：一个有理系统函数，如果它的零点和极点都位于单位圆内，则称之为最小相位系统。其特点如下：
（1） 任何一个非最小相位系统的系统函数H(z)均可由一个最小相位系统和一个全
通系统级联而成。
（2） 在幅频响应特性相同的所有因果稳定系统集中，最小相位系统的相位延迟（负
的相位值）最小。
（3）最小相位系统保证其逆系统存在。
2.何谓全通系统？全通系统的系统函数有何特点？
解： 一个稳定的因果全通系统，其系统函数对应的傅里叶变换幅值，该单位幅值的约束条件要求一个有理系统函数方程式的零极点必须呈共轭倒数对出现，即
。
因而，如果在处有一个极点，则在其共轭倒数点处必须有一个零点。

2.4 计算题
1. 线性时不变系统的频率响应(传输函数)如果单位脉冲响应为实序列，试证明输入的稳态响应为
。
解：假设输入信号，系统单位脉冲相应为h(n)，系统输出为

上式说明，当输入信号为复指数序列时，输出序列仍是复指数序列，且频率相同，但幅度和相位决定于网络传输函数，利用该性质解此题。

上式中是w的偶函数，相位函数是w的奇函数，

2. 设将以4为周期进行周期延拓，形成周期序列，画出和的波形，求出的离散傅里叶级数和傅里叶变换。
解：图形略。根据离散傅里叶级数的定义可得

以4为周期，或者
,
以4为周期，所以

3. 求的傅里叶变换。
解：根据傅里叶变换的概念可得：

当N=5时，即可得到所需的
4.试确定下列信号的最低采样频率及奈奎斯特抽样间隔T（最大采样间隔）。
（1） (2) (3)
(4) (5) (6)
解：根据抽样定理，只需求出信号的最高角频率，其两倍就是最低抽样频率，其倒数为最大抽样间隔。为求出信号的最高频率成分，先求其傅里叶变换。
① 因，所以
令，则
即
其频谱如图2-4（a）所示。
②令，
，
因为 ，则有

其卷积结果如图2-4（c）所示。
两个不同宽度的矩形信号的卷积结果为梯形信号，下底宽度为两个矩形信号宽度之和，上底为两个矩形信号宽度之差，高为两个矩形高度和最小宽度三者的乘积。图中梯形的高度为

② 当时，

其频谱图如图2-4（b）所示。
两个宽度相同的信号的卷积结果为三角形，卷积后的频宽为两者频宽之和。
时间信号与其频谱的对应关系如图2-4（a）（b）（c）所示：

图2-4
由此可知：
（1） 信号的最高频率为100 rad/s，则最低抽样频率为200 rad/s，最大抽样间隔
（2） 信号的最高频率为200 rad/s，则，
（3） 信号的最高频率为100 rad/s，则，
（4） 信号的最高频率为120 rad/s，则，
（5） 信号的最高频率为150 rad/s，则，
（6） 信号的最高频率为rad/s，则，
5. 设为带限信号，其频谱如图2-5(a)所示
（1） 分别求出、的奈奎斯特抽样频率、及奈奎斯特间隔T；
（2）用周期冲激串对信号、、分别进行抽样；画出抽样信号、、的频谱。
解：（1），其频谱图如图2-5（b）所示。
频带宽度为，奈奎斯特频率rad/s
，奈奎斯特间隔
，其频谱图如图2-5（c）所示。
频带宽度为，，，
（2），
其频谱为，其频谱图如图2-5（d）所示。
的抽样信号的频谱为
的抽样信号的频谱为
其频谱图如图2-5（e）（f）所示。

图2-5
6. 图2-6（a）示出了一个系统，在该系统中抽样信号是一个正负号交替的冲
激串，如图2-6（c）所示，输入信号的傅里叶变换如图2-6（b）所示。
（1） 对，画出和的傅里叶变换；
（2） 对，确定能够从恢复的系统；
（3） 对，确定能够从恢复的系统。
（4） 为了使既能从又能从恢复出来，对来说，的最大
值应为多少？

图2-6
解：（1）
由及时移性质，有

频谱如图2-6所示，由于，即，满足抽样定理，频谱无重叠。
，如图2-6（g）所示。
（2）要从中恢复，需诚意调制信号，进行左右搬移，恢复到频谱的样子；周期性可经过带宽为的低通滤波器即可恢复，该系统如图2-6(h)所示。

（3）从y(t)中恢复，经过与（2）相同的系统即可完成，如图2-6(i)所示。
（4）要保证或都能恢复，必须保证和不发生混叠，由频谱图可看出，当时，不会发生混叠，则。
7.已知x(n)，确定其离散时间傅里叶级数系数。
（1） ，周期为4；
（2）
（3）
（4）
解：（1）

（2）
若取，则有
，，，，其余，以21为周期。
（3） x(n)是一个周期为2，频率的周期信号，用欧拉公式

与计算频谱系数的公式相对照，有
，，是一个周期等于2的周期信号。
（4） 由信号的表达式可知，该信号的频率，周期N=16。由
欧拉公式可得

将此展开式和计算频谱系数的公式相对照，并设定k值的取值范围从k=-7到k=8，从而可求得在一个周期内的频谱系数为

具有周期性，周期为16。
8.关于某一序列给出如下条件，试求。
（1）是周期的，周期为6； （2）；
（3）； （4）具有每个周期内最小的功率。
解：将的傅里叶级数系数记作。由条件（2）可知，；
因，由条件（3）可知，；
由帕斯瓦尔定理，的平均功率
因为每一个非零系数都在P中提供一个正的量，又因为和的值都已经确定，要使P最小，就只有选，则

9.求下列序列的离散时间傅里叶变换：
（1）
（2）
（3）
（4）
解：（1）

（2）
方法一：有定义可得

方法二：令

，由频移性质

（3）

由频域卷积定理得

如图2-9所示

（4）方法一：

方法二：

方法三：
令，则
因为，所以
10.在图2-10所示的信号中，对下列条件中的每一个条件，有哪些信号能够满足？
（1）；（2）；（3）
（4）； （5）

图2-10
解：（1），说明该序列的偶分量为0，故x(n)是一个奇函数，由图可知满足此条件。
（2）说明该序列的奇分量为0。故x(n)是一个偶函数，由图可知满足此条件。
（3）说明x(0)=0，
因为，因此和均满足此条件。
（4）说明该序列的求和结果或平均值为0，因为

故，因此满足此条件。
（5）说明该序列的偶分量只是一个单位冲击序列，故满足此条件。
11. 若的离散时间傅里叶变换为，试确定满足以下4个条件的序列：
（a）；
（b）在n=0点的值大于0，即；
（c）；
（d）
解：由条件（a）知，为因果序列。
由条件（c）可得，

即

由条件（d），
可得
12. 已知如图2-12所示离散时间函数x(n)
（1） 求x(n)的离散时间傅里叶变换；
（2） 以周期N=10，把x(2n)拓展为一个周期性信号：
① 画出周期信号的波形图；
② 把展开为离散傅里叶级数，并画出频谱图。

图2-12
解：（1）由图可得

（2）由离散信号尺度变换抽取的特点，得
①，其波形如图2-12（b）所示，以N=10为周期拓展为周期序列，如图2-12（c）所示。
②令，其中
为矩形脉冲序列，宽度为5，其傅里叶变换为
由得

当k=2,4,6,8时，=0
k=0，；k=1， ；k=3，；
k=5， ；k=7，；k=9，；
是以10为周期的周期函数，其其中一个周期的图形如图2-12(d)所示。
13． 求以下序列的Z变换及收敛域：
（1）
（2）；
（2）
（3）
（4）
解：（1）
（2）
（3）

（4）由Z变换对，可得
，
所以，

14． 若x(n)为因果序列，其Z变换为X(z)，试求下列序列的Z变换：
（1）； （2）
解：（1）x(n)为因果序列，由卷积的性质可得

由Z变换的卷积性质和Z域尺度变换得

（2）由卷积性质的
因
所以
15． 已知X(z)，求x(n)。
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
解：因为，所以x(n)为右边序列。

设

则
所以
（2）设，则有

同理有 B=2，C=-1，D=1。
所以
上式的前两项收敛于满足，故属于因果序列的象函数，第三第四项收敛域满足，故属于反因果序列的象函数，即
，
则有
所以
（3）因，所以X(n)是假分式，故先长除得
令，则
故
则
由于收敛域，则对应序列为反因果序列，由此可得

（4）利用Z域微分性质可得
，

由，
则
（5）利用Z域微分性质可得
，

又，则原序列为左边序列，即
所以
则

16． 某系统的差分方程为，根据该系统的零极点图确
定三种可能的单位抽样响应形式，并说明其分别对应的系统特性。

图2-16
解：对差分方程两边取Z变换，并令初始状态为零，有

由系统函数定义得
其零极点图如图2-16所示。如图可知，系统有三种可能的收敛域，分别对应三种不同的单位抽样响应，由于

当，收敛域在两极点外侧，且包含，则系统是因果的，但其不包含单位圆，所以系统是非稳定的。h(n)为因果序列

当，收敛域为环形，不包含，则系统是因果的，但其包含单位圆，所以
系统是稳定的。h(n)为双边序列。

当，系统为非因果不稳定系统，h(n)为左边序列。

17． 已知一离散LTI系统，用下列差分方程描述

（1）若系统稳定，求系统对的响应；
（2）若系统的系统函数H(z)的收敛域包含，系统的输入信号如图2-17所示，求n=2时的输出响应y(n)。
解：对差分方程取Z变换，并设起始状态为零。

得系统函数
系统函数的两个极点为：
（1）因为系统稳定，所以H(z)的收敛域一定包含z平面的单位圆，可知收敛域为，说明此时系统是非因果系统。

响应信号的Z变换为

Y(z)的收敛域为X(z)，H(z)收敛域的公共部分为。

（2）由于H(z)的收敛域已含，故系统为因果系统，而非稳定的，其收敛域为，单位脉冲响应为

用卷积和公式得

18．已知某离散系统由下面的差分方程描述

若给定及y(0)=1、y(1)=2，试求y(n)。
解：差分方程又可写为

两边取Z变换，得
由于，故，x(0)=x(1)=1，将它们和y(0)=1、y(1)=2，代入上
式，经过整理可得

19．一线性时不变因果离散时间系统的差分方程描述为

已知，y(-1)=2、y(-2)=-3，由Z域求解：
（1）零输入响应，零状态响应，完全响应y(n)。
（2）系统函数H(z)，单位脉冲响应h(k)。
（3）若x(n)=u(n)-u(n-5)，重求（1）、（2）。
解：（1）对差分方程两边进行Z变换，得

整理后得
则零输入响应的Z域表达式为

所以零输入响应为
零状态响应的Z域表达式为

所以系统的零状态响应为

系统的完全响应为

（2）根据系统函数的定义，可得

进行逆变换可得

（3）若x(n)=u(n)-u(n-5)，则系统的零输入响应、单位脉冲响应h(k)和系统函数H(z)均不变，根据时不变特性，可得系统零状态响应为

完全响应为

20．描述某离散系统的差分方程为。已知
，，
试用Z变换分析法求响应y(n)，并求出零输入响应和零状态响应
解：差分方程又可写为

两边取Z变换，得

由于，故，将，代入上式，经过整理可得

所以

得

由于得，
则全响应为

21．已知某离散时间系统的差分方程为

系统初始状态为，，系统激励为，
试求：（1）系统函数，系统频率响应。
（2）系统的零输入响应、零状态响应和全响应。
解：（1）系统函数为

系统频率响应为

解法一：（2）对差分方程两端同时作z变换得

即
上式中，第一项为零输入响应的z域表示式，第二项为零状态响应的z域表示式，
将初始状态及激励的z变换代入，得零输入响应、零状态响应的z域表示式分别为

将展开成部分分式之和，得

即
对上两式分别取z反变换，得零输入响应、零状态响应分别为

故系统全响应为

解法二、（2）系统特征方程为，特征根为：，；
故系统零输入响应形式为
将初始条件，带入上式得

解之得 ，，
故系统零输入响应为：
系统零状态响应为

即
对上式取z反变换，得零状态响应为

故系统全响应为