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第三章 直线与方程
课堂接力小专题13 倾斜角PK斜率
直线的倾斜角和斜率是联系非常紧密的两个概念，每一条直线都有倾斜角，但不是每一条直线都有斜率。当直线的倾斜角为90°时斜率不存在。还有当直线的倾斜角在某个范围内变化时，斜率的变化情况如何，是同学们最容易出错的地方。本小节通过定义的辨析和示例的解读，来突破这个问题。
（一）问题剖析
1忽视斜率的存在：认为所有直线都有斜率。
如果倾斜角为90°时,直线的斜率就不存在，但这时并不是直线不存在,而是直线垂直于x轴， 因为定义直线斜率时先排除了倾斜角是90°。
2不明确直线倾斜角和斜率之间的变化关系。
从可以看出，当斜率大于0时，即倾斜角的正切值大于0时，倾斜角，当斜率小于0时，即倾斜角的正切值小于0时，倾斜角。
（二）示例解读
类型一 直线倾斜角和斜率的关系
例1．关于直线的倾斜角和斜率，下列说法是正确的是（ ）
A.任一条直线都有倾斜角，也都有斜率；
B.直线的倾斜角越大，它的斜率就越大；
C.两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等.
D.直线斜率的范围是(－∞，＋∞).
【思路】从定义入手，并注意易错点。
【错解】B
【正解】D正确，其余均错误，原因如下：A.与x轴垂直的直线倾斜角为，但斜率不存在；B 由斜率和倾斜角的函数图象易知。C..如果两直线的倾斜角都是，但斜率不存在，也就谈不上相等.
【易错评析】忽视斜率存在的条件及直线倾斜角和斜率之间的关系。因此把握好关键点是学好知识的前提。
类型二 忽视斜率的存在
例2．已知M(2, －3), N(－3,－2)，直线l过点P(1, 1)，且与线段MN相交，则直线l的斜率k的取值范围是 .
【思路】先求出直线PM和PN的斜率，注意倾斜角和斜率的变化关系。
【错解】 算出两直线PM和PN的斜率，然后直接写出。
【正解】,
当直线l绕着点P由PM旋转到与轴平行的位置时，它的斜率变化范围是当直线l绕着P点由与轴平行的位置旋转到PM位置时它的斜率变化范围是。
∴要使直线l与线段MN相交，则有k≥或k≤－4
【易错评析】主要还是忽视的倾斜角为90°时,直线的斜率就不存在情况，以及对倾斜角和斜率的变化关系把握不准。
【自我检评】
1．下列命题中，正确的命题是 （ ）
A.直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tanα
B.直线的斜率为tanα，则此直线的倾斜角为α
C.任何一条直线都有倾斜角，但不是每一条直线都存在斜率
D.直线的斜率为0，则此直线的倾斜角为0或π
2．若直线k的斜率满足－<k<，则该直线的倾斜角α的范围是 .
3已知点，若直线过点与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．．
【答案】1.C【解析】倾斜角为90°时，斜率不存在，所以A,B错. 直线的斜率为0，则此直线的倾斜角为0，D错.
2. 【解析】 当斜率k由时，；当斜率k由时，。
3.C 【解析】

课堂接力小专题14 直线的点斜式和斜截式
本节共有两个知识点：直线的点斜式方程问题，直线的斜截式方程问题.在求直线方程时，待定系数法是非常重要的方法，但要考虑到点斜式方程的局限性，最好先考虑直线斜率不存在时是否满足题意。另外同学们要了解本节中的斜截式方程和一次函数的关系，并对其中截距要充分的理解：截距是坐标，它可能是正数，也可能是负数，还可能是0，千万不可把截距当成距离。
（一）类型剖析
1.直线过定点问题
点斜式方程可以看成过定点的直线系(不含)，这样可以通过对某些直线方程变形转化为点斜式方程的形式，就可以知道这条直线通过某一定点了。如由可知方程表示的直线过点(3,-2)。
2.利用截距的几何意义解题
斜截式方程是点斜式方程的特殊形式，其方程中和具有明显的几何意义，是直线的斜率，是直线在轴上的截距，在点斜式方程中令x＝0，可得直线在y轴上的截距。
（二）示例解读
类型一 直线过定点问题
例1.已知直线l：.
(1)求证：不论取何值，直线l总过定点；
(2)若直线l不过第二象限，求的取值范围.
【思路】（1）可通过把直线方程化成点斜式，得出定点坐标；(2)可化成斜截式方程利用数形结合的方法处理。
【解析】因为直线l：。
所以直线l的方程可变为，
因表示过点，斜率为的直线。
所以不论取何值，直线l恒过定点。
(2) 因为直线l：.
所以直线l的斜截式方程为，因为直线l恒过
定点M 且不过第二象限.所以,即.
所以直线l不过第二象限时，的取值范围为.
【方法评析】把点斜式方程看成过定点斜率变化的直线系，据此可以简化一些运算或用待定系数法设过定点的直线方程.这一思想在后面的学习中还会有更广泛的应用。
类型二 利用截距的几何意义解题
例2.已知直线过点P(2,1)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，O为坐标原点，则三角形OAB面积的最小值为________．
【思路】求面积只需知道三角形的底边和它的高，结合图形可知三角形的底边和它的高恰好是直线在x轴、y轴的正半轴的截距的绝对值。
【解析】设直线l的方程为y－1＝k(x－2)(k<0)，令y＝0，得x＝，
令x＝0，得y＝1－2k，
∴A、B两点坐标分别为A(，0)，B(0,1－2k)．
S＝·OA·OB＝··(1－2k)，整理得4k2＋2(S－2)k＋1＝0，
∵k<0，∴Δ＝4(S－2)2－4×4×1≥0(S>0)且－<0，解得S≥4.
∴△AOB面积的最小值为4.
【方法评析】1.对直线l的大致位置分析，界定了斜率存在性及其范围，指明了解题方向，这种分析是避免解题盲目性的重要技能，应学会掌握.
2.设参，用参，消参是解析几何解决问题的基本思路，特别要注意对参数范围的界定。
【自我检评】
1.直线与连结A(2,3)，B(－3,2)的线段相交，则的取值范围是________．
2.直线l的斜率为，l与坐标轴围成的三角形周长是12，则l的方程_______
3.直线过定点A(-2,3),且与两轴围成的三角形面积为4,求直线l的方程.
【答案】1.{a| a≤－2或a≥1}【解析】直线ax＋y＋1＝0过定点
C(0，－1)，当直线处在AC与BC之间时，必与线段AB相交，应满足
－a≥或－a≤，即a≤－2或a≥1.
2. 3x－4y＋12＝0 【解析】 l：y＝x＋b，∴|b|＋|b|＋|b|＝12，
∴|b|＝3， ∴ l：3x－4y＋12＝0
3. 【解析】依题意可知, l不与两坐标轴垂直,设直线的方程为:,则l在x轴、y轴上的截距分别为，根据题意，得，即当时，解之得；
当时，解之得所以所求的直线l的方程为：

课堂接力小专题15 直线的截距式方程
直线的截距式方程以其结构优美和几何意义明显而应用广泛。用直线的截距式来画直线、判断直线经过的象限，求直线与坐标轴围成的三角形面积或周长时较为方便。但结构优美的同时要求也较高，它只能表示两截距都不为零的情况，而直线经过原点或与坐标轴垂直时，就没有截距式方程了。
（一）类型剖析
1.忽视直线截距式的适用范围
直线经过原点时，直线的方程就不能用截距式表示了，如直线在两坐标轴上截距相等就包括截距都是0的情况，它不能用截距式表示。
2.忽视截距的意义
直线在x轴上的截距是直线与x轴交点的横坐标，直线在y轴上的截距是直线与y轴交点的纵坐标，而不是交点到原点的距离，因此截距a , b可能为正或0，也可能为负.
（二）示例解读
类型一 忽视直线截距式的适用范围
例1.求过点，并且在两轴上的截距相等的直线方程.
【思路】因其直接提到截距，可直接用待定系数法设出截距式方程，但要注意在两坐标轴上截距为0时也是截距相等。
【错解】设所求直线，则，解得.
∴ 所求直线方程为，即.
【正解】当在两轴上的截距，设所求直线，点代入得，解得. ∴ 所求直线为
当在两轴上的截距，设所求直线，则，
解得.∴ 所求直线方程为，即.
综上，所求直线方程为或.
【易错评析】直线在两轴上截距相等，直接考虑截距式方程. 解题时特别要注意直线在两坐标轴上截距相等、截距互为相反数、在x轴上截距是在y轴上的截距的2倍这些情况，他们都包含截距是0，这时要分类讨论，先把截距为0的解决掉，可选用函数.
类型二 忽视截距的意义
例2．已知直线过点，且与两坐标轴构成单位面积的三角形，求直线的方程．
【思路】涉及面积和长度可考虑用截距式，但要注意截距的意义。
【错解】设方程为由已知有
解方程组, 得故所求方程为,　即
【正解】设方程为．由已知，有,解方程组, 得,　而方程组无解.
故所求方程为,　即
【易错评析】错解中结果虽然和正解的结果相同，但没有考虑截距的意义，误认为截距就是距离，这是错误的。在平时的学习过程中也特别注意这些易错点。
【自我检评】
1.求经过点A（-5，2）且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线方程；
2.直线l经过点P（3，2）且与x，y轴的正半轴分别交于A、B两点，△OAB的面积为12，求直线l的方程.
3.过点p（2，1）的直线l交轴x、y轴正半轴于A、B两点，求使：
△AOB面积最小时l的方程；
【答案】1. x+2y+1=0或2x+5y=0【解析】①当直线l在x、y轴上的截距都为零时，
直线方程为y=-x,即2x+5y=0.
②当横截距、纵截距都不是零时，设所求直线方程为=1，
将（-5，2）代入所设方程，解得a=-，此时，直线方程为
x+2y+1=0.综上所述，所求直线方程为x+2y+1=0或2x+5y=0.
2. 【解析】设直线l的方程为（a＞0,b＞0）,
∴A(a,0),B(0,b), ∴ 解得
∴所求的直线方程为=1,即
3. x+2y-4=0. 【解析】设直线的方程为(a＞2,b＞1),
由已知可得.∵2≤=1，∴ab≥8.
∴S△AOB=ab≥4.当且仅当==,即a=4,b=2时，
S△AOB取最小值4，此时直线l的方程为=1,即x+2y-4=0.

课堂接力小专题16 判定两直线位置关系妙招
平行和垂直是两直线的位置关系中最重要的两种关系，解决此类题目的方法多种多样，但同学们掌握的却不是很好，主要还是对各种方法的应用范围模棱两可。如教材中给的判定直线平行与垂直前提是两条直线的斜率都存在。可是在涉及的方程中有参数需讨论时，使用时就不方便了，这时可以通过直线方程的“系数关系”来判断直线的位置关系。
（一）类型剖析
已知直线的方程分别是：（不同时为0），（不同时为0），则两条直线的位置关系可以通过方程组的系数来确定.
1.,特别的如果时，则；如 ,
由于，故两直线平行。
2. 两条直线垂直，，
显然两条直线垂直而由也可判定.
上述方法优点视避免了考虑斜率不存在的情形，大大降低了难度，应学会应用。
（二）示例解读
类型一 判定两直线平行
例1.直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，
则m的值为________．
【思路】一种是化为斜截式方程，比较斜率和截距，较烦.另一种方案是直接根据系数的关系判断.
【解析】法一：∵l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0，l2：mx＋3y－2＝0，
当m＝0时，显然l1不平行于l2；当m≠0时，若l1∥l2需＝≠
由上式有m2＋m－6＝0，解得m＝2，或m＝－3.
经检验m＝2，或m＝－3满足题意．
法二：若l1∥l2，则A1B2－A2B1＝2×3－m(m＋1)＝0，
A1C2－A2C1＝2×(－2)－m·4＝－4－4m≠0. ∴m＝－3或2.
【方法评析】方法一和方法二都采用系数判断，但法二避免了斜率不存在的讨论，降低了难度，应细心体会。
类型二 判断两直线垂直
例2. 已知直线：，：，问m为何值时.
【思路】如用斜截式判断，还得分类讨论，采用系数关系，简洁明快。
【解析】时，，则，解得m＝0.
【方法评析】用系数关系避免了斜率不存在的讨论，形式简单明了.
【自我检评】
1.已知直线l1: x+(1+m)y + m－2=0 , l2: 2mx+4y+16=0 当且仅当m为何值时直线l1与l2分别有下列关系？(1) l1∥l2 (2)l1⊥l2
2.直线与垂直，垂足为(1，)，则　　　　　　　．
【答案】1. (1) (2)
【解析】 (1) 若l1∥l2，则A1B2－A2B1＝
解得 或 .又A1C2－A2C1＝
∴或,　　故满足条件。
(2)若时，则得
2. 20. 【解析】由题 意，得
又点(1，)在直线上，故 得 同时点(1，)即在直线上，得 故20.

课堂接力小专题17 直线系
直线系方程是把具有某一共同性质的直线表示成一个含参数的方程.利用直线系解题实质上是取方程中的特征量（如直线方程中的斜率k,截距b）作为变量，得到直线系，根据所给已知量采用待定系数法达到解决问题的目的，常常体现的是参数变换的思想和整体处理的解题策略。
（一）类型剖析
1. 对于已知两直线的位置关系和其中一条直线方程求另一直线方程问题，常用直线系法.如与直线：（A,B不同时为0）平行的直线系方程为：（）. 与直线：
（A,B不同时为0）垂直的直线系方程为：.
2. 当求过直线：（不同时为0）与：（不同时为0）交点的直线方程时，我们可设经过两直线交点的直线系方程为：（，为参数）.注意：此直线系不能表示直线.
（二）示例解读
类型一 平行和垂直直线系的应用
例1.已知P（1，3），直线l：.
（1）求过P且平行于l的直线的方程；
（2）求过P且垂直于l的直线的方程
【思路】由平行直线系与垂直直线系可以很方便的求出l1，l2的方程
【解析】（1）由l1∥l且l方程为.
设l1的方程为 又 P(1，3)在l1上，代入方程
得 解得，故l1的方程为．
(2)由 l2⊥l 设l2的方程为 又l2过P（1，3）
得 解得，所以l2的方程为．
【方法评析】一般地，利用平行直线系和垂直直线系求直线方程会给计算带来很大方便．
类型二 利用过共交点的直线系解题
例2.求过直线：与直线：的交点且在两坐
标轴上截距相等的直线方程.
【思路】方法一：可先把交点求出然后再设直线方程用待定系数法求解，注意分类讨论。方法二：本题是过两直线交点的直线系问题，还可用过交点直线系求解.
【解析】设所求直线方程为：，
（1）当直线过原点时，则=0，则=－1，直线方程为：；
（2）当所求直线不过原点时，令=0，解得=，令=0，解得=，由题意得，=，解得，
此时，所求直线方程为：.
综上所述，所求直线方程为：或.
【方法评析】利用直线系方程避免了截距式不能表示的截距为0的情况，
在同一个方程下讨论显得较为方便，同学们注意体会。
【自我检评】
1.求平行于直线且与它的距离为的直线方程.
2.求经过两条直线和的交点，且平行于直线的直线方程.
3.求证:无论λ为何值,直线
与点P(-2,2)的距离d都小于4.
【答案】1. 或
【解析】设与平行的直线系方程为，
由已知得，解得或.
故所求直线方程为或.
【解析】设所求直线的方程为，
整理为. 平行于直线，
，解得.
故直线方程为
3. 【解析】将直线方程按参数整理
故该直线系恒过二直线和的交点M
易解得M(2,-2) ,用两点间距离公式求得 |PM|=4所以d≤4
而过点M垂直PM的直线方程为
又无论为何值,题设直线系方程都不可能表示直线.
∴d<4.

课堂接力小专题18 对称问题
对称问题是解析几何中的一个重要题型，也是高考的热点之一.在本书中关于点和直线的对称问题，我们可分为点关于线对称，线关于点对称，线关于线对称问题，其中部分题目还会涉及光线反射等一些实际的应用.有关对称问题的求解，除了初中时期学习的数形结合的方法外，学习了直线方程后，我们还可以从方程的角度去系统理解有关直线对称问题的具体求法。
（一）类型剖析
1. 在对称问题中，点关于直线的对称是最基本的也是最重要的对称，处理这种问题要抓住两点：一是已知点与对称点的连线与对称轴垂直；二是以已知点为端点的线段的中点在对称轴上。
2.利用对称性的知识，还可以解决一些实际问题， 如涉及光线反射、最短距离等。
（二）示例解读
类型一 对称问题
例1.入射光线沿直线射向直线l：，被直线l反射后的光线所在的直线方程为________．
【思路】处理直线关于直线的对称问题仍然转化为点关于直线的对称来解决，求出已知点关于直线的对称点即可。
【解析】先由得交点P(3,3)，再取直线上一点A(-3,0)，设此点A(-3,0)关于直线的对称点为A’，
则有解得A′（0，-3）由题意得A′与P确定的直线方程即为所求．
【方法评析】一般地设点P（x0，y0）关于直线的对称点为
P'（x’，y’），则P与P′的坐标满足
由此可求出x′、y′.
·k=－1，
=k·+b，
类型二 对称问题的应用
2.已知点，在直线上求一点P，使最小.
【思路】利用对称知识，将折线的长度转化为线段的长度.
【解析】由题意知，点A、B在直线的同一侧.由平面几何性质可知，先作出点关于直线的对称点，然后连结，则直线与的交点P为所求.事实上，设点是上异于P的点，则.
设，则，解得，∴，则直线的方程为.由，解得，即
【方法评析】一般地，在已知直线上求一点到两个定点的距离之和的最小值，需利用对称将两条折线由同侧化为异侧，在已知直线上求一点到两个定点的距离之差的最大值，需利用对称，将两条折线由异侧化为同侧，从而实现转化。
【自我检评】
1． 直线l1：x－y＋1＝0关于点P(1,1)对称的直线l2的方程为________．
2． 已知A(4,0)、B(0,4)，从点p(2,0)射出的光线经直线反向后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是( )
A． B． C． D．
3. 求函数y=+的最小值.
【答案】1.x－y－1＝0【解析】因为点P不在直线l1上，所以l2∥l1，设l2的方程为x－y＋c＝0，在l1上取点A(－1,0)，则A关于点P的对称点A′(3,2)在直线l2上，所以3－2＋c＝0，即c＝－1，所以l2的方程为x－y－1＝0.
2.A【解析】设点关于直线的对称为，关于轴的对称点为，则光线所经过的路程的长
3. 4【解析】因为y=+，
所以函数y是x轴上的点P（x，0）与两定点A（0，3）、B（4，3）距离之和. y的最小值就是|PA|+|PB|的最小值.
由平面几何知识可知，若A关于x轴的对称点为A’（0，－3），则|PA|+|PB|的最小值等于|A’B|，即=4. 所以
课堂接力小专题19 利用构造法巧解题
构造法是数学的一种重要的化归思想，用已知数学关系式为“支架”，在思维中构造出一种新的数学形式，这样常使数学解题突破常规，另劈蹊径，表现出简捷、明快、精巧的特点.在解析几何中，这样的思想表现的尤为突出，限于本章的知识，我们略举几个小例子来熟悉这一思想.
类型剖析
1.一些带有一定几何意义的代数问题，若能通过适当的构造转化为几何问题，往往可增强问题的直观性，使解答事半功倍.
2.直线的斜率，两点间距离等公式不仅形式优美，而且应用广泛，它们还可以解决一些几何意义明显的极值问题。
示例解读
类型一 利用直线的斜率解题
例1．已知实数x，y满足，用，求的最大值和最小值．
【思路】可看成，再令，这样转化求斜率的最大值和最小值。
【解析】如图所示，设在线段AB上运动，其中A(2,4)，B(3,2)，则可看作是直线OP的斜率，由图知，，而，,，∴，
【方法评析】形如的范围问题，通常可令其为，它表示为过点的直线方程的斜率，以此来探求问题的解答。
类型二 利用两点间距离公式解题
例2.求函数的值域。
【思路】遇到与二次函数函数相关的最值问题，一般使用配方法，通过配方，联想根式，可构造两点间距离来求解。
【解析】
其几何意义是平面内动点到两定点和的距离之和（如图）为求其值域只要求其最值即可， 易知当M，N，P三点共线（即P在线段MN上）时，取得最小值， ，无最大值，故得函数的值域为
【方法评析】本题用函数理论求最值不易进行，而这里经过恰当的配方，构造出两点间距离，可谓巧夺天工。
【自我检评】
1.已知a＞0，c＞0，m＞0，且a＜b, 求证：.
2.若是直线上的点，求的最小值．
3. 函数的最小值为___________。
【答案】1【解析】本题解法很多，我们这里给一个构造斜率的解法。
如图，∵，∴点在第一象限且必位于直线的下方，
又∵，∴点在第三象限且必在上，连接OP、PM，则＝，＝，∵直线MP的倾斜角大于直线OP的倾斜角，∴＞，即有
2. 【解析】∵＝
设，则所求式的几何意义是点与直线上的点的距离的平方．可见其最小值为点到直线的距离的平方． ∴的最小值为.
3. 【解析】
对，联想到两点的距离公式，它表示点到的距离，表示点到点的距离，于是表示动点到两个定点,的距离之和，结合图形，易得.

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