考点9角的三角函数及两角和与差的正弦、余弦、正切.doc

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考点9 角的三角函数及两角和与差的正弦、余弦、正切
1.（2010·全国卷Ⅰ文科·Ｔ１）（ ）
(A) (B)- (C) (D)
【命题立意】本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识
【思路点拨】利用角的推广公式将化为，然后根据诱导公式求解.
【规范解答】选C. .
2.（2010·全国卷Ⅰ理科·Ｔ2）记,那么（ ）
A. B. - C. D. -
【命题立意】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式等三角函数知识，着重考查了三角变换中的弦切互化.
【思路点拨】由及求出，再利用公式
求出的值.
【规范解答】选B.【解析1】,
所以
【解析2】，
.
3.（2010·全国高考卷Ⅱ文科·Ｔ13）已知α是第二象限的角,，则cosα=__________
【命题立意】本题考查了同角的三角函数关系公式。
【思路点拨】利用同角的平方关系和商数关系列方程组求解。注意α是第二象限的角，cosα<0.
【规范解答】 -，及,α是第二象限的角。所以con=-
4.（2010·全国Ⅰ文科·Ｔ14）已知为第二象限的角，,则 .
【命题立意】本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角的正切公式,同时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能.
【思路点拨】由为第二象限的角，利用，求出，然后求出.利
用倍角的正切代入求解.
【规范解答】因为为第二象限的角,又, 所以，,
所以
5.（2010·全国Ⅰ理科·Ｔ14）已知为第三象限的角，,则 .
【命题立意】本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角的正切公式,同时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能.
【思路点拨】由为第三象限的角，判断 所在的象限，然后利用
求出的值，由和求出的值，再根据两角和的正切公式化简计算求值.
【规范解答】
【方法1】因为为第三象限的角,所以，又<0, 所以,于是有,
,所以.
【方法2】为第三象限的角， ，
在二象限，

6.（2010·上海高考理科·Ｔ4）行列式的值是 ．
【命题立意】本题考查行列式的计算及三角公式的应用．
【思路点拨】先按行列式的计算公式计算，再用三角公式化简、求值．
【规范解答】0．原式=
7.（2010·上海高考文科·Ｔ3）行列式的值是 ．
【命题立意】本题考查行列式的计算及三角公式的应用．
【思路点拨】先按行列式的计算公式计算，再用三角公式化简、求值．
【规范解答】.原式=．
8.（2010·江西高考理科·Ｔ７）E，F是等腰直角斜边AB上的三等分点，则（ ）
A． B． C． D．
【命题立意】本题主要考查两角和与差的三角函数公式及三角函数诱导公式．
【思路点拨】先求、的三角函数值，再求的正切.
【规范解答】选Ｄ．设=，=，则tan=tan=，所以=.
【方法技巧】本题也可建立直角坐标系，利用向量坐标来解决，以点C为坐标原点，CA，CB为x轴和y轴建立直角坐标系，且设直角边长为3，则C（0,0）A（3,0）B（0,3）E（2,1）F（1,2），所以，，故.在解决平面几何有关问题的时候，利用坐标向量求角、距离，判断平行、垂直，来得更加快捷，思路也畅顺.
9.（2010·重庆高考文科·Ｔ１5）如题（15）图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C，各段弧所在的圆经过同一点P（点P不在C上）且半径相等。设第i段弧所对的圆心角为（i=1,2,3），则

【命题立意】本小题考查圆的性质等基础知识，考查三角函数的基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合的思想方法，考查化归与转化的思想.
【思路点拨】第i段弧所对的圆心角转化为与它同圆的劣弧所对的圆心角，再根据三个圆心确定的正三角形求解.

【规范解答】 作三段圆弧的连心线，连结一段弧的
两个端点，如图所示,△是正三角形，点P是其中心，
根据圆的有关性质可知，
第i段弧所对的圆心角为都是，
所以

【方法技巧】利用圆的对称性等有关性质可以快捷解答.
10.（2010·四川高考理科·Ｔ19）
（Ⅰ）①证明两角和的余弦公式；
②由推导两角和的正弦公式.
（Ⅱ）已知的面积，且，求.
【命题立意】本小题考查两角和的正、余弦公式、诱导公式、三角形面积公式，平面向量的数量积公式、同角三角函数的基本关系等基础知识及运算能力. 本题的（Ⅰ）①②为课本上的内容，体现出试题源于课本的特点.
【思路点拨】（I）①在单位圆中，分别作出角，，，，利用三角函数定义，分别写出各角的终边，始边与单位圆的交点坐标，由圆的性质，可知，结合两点间距离公式即可求解. ②中求的是两角和的余弦值，需借助能把余弦变为正弦的诱导公式，故可用求解.本题第（Ⅱ）问，由三角形的面积公式，向量的数量积公式可求得角的正、余弦值，又知的余弦值， 故可求的值，由诱导公式。
【规范解答】（I）①如图，在平面直角坐标系内作单位圆，
并作出角，与，使角的始边为，交⊙于点，
终边交⊙于点；角的始边为,终边交⊙于点，
角的始边位，终边交⊙于点，则，，
，，
由及两点间的距离公式得
展开并整理得，，
∴.
②∵，，
由①易得

∴.
（II）由题意，设的角、的对边分别为、，
则，
∴，，.
又,∴。
由得，.
.
故.
【方法技巧】对于本题的第（I）可用向量求解。
解法如下：在平面直角坐标系内作单位圆，
以为始边作角，，它们的终边与单单位圆，
的交点分别为、
则，，
，，

，
∴.
由向量数量积的概念可知，须，
则时，，
，故对任意的，，
都有成立.

.
11.（2010·四川高考文科·Ｔ19）
（Ⅰ）证明两角和的余弦公式；
由推导两角和的正弦公式.
（Ⅱ）已知，求
【命题立意】本小题考查两角和的正、余弦公式、诱导公式、三角形面积公式，平面向量的数量积公式、同角三角函数的基本关系等基础知识及运算能力. 本题的（Ⅰ）①②为课本上的内容，体现出试题源于课本的特点.
【思路点拨】（Ⅱ）分别求出、、的值，套用公式求解.
【规范解答】（Ⅰ）同理T19
(Ⅱ）∵，∴.
∵，∴，.
.
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