《垂直于弦的直径》导学案、课外练习.doc

《垂直于弦的直径》导学案
【学习目标】通过观察实验，理解圆的轴对称性；掌握垂径定理及其推论，能运用它们解决有关证明、计算和作图问题．
重点：垂径定理、推论及其应用. 　　
难点：发现并证明垂径定理，利用垂径定理解决一些实际问题.

一、【创设情景　明确目标】
问题：你知道赵州桥吗?它是1400多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37m,　拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
二、【自主探究、归纳新知】8１-8３页
（一）活动1: 1.阅读教材81～83页，将重点内容标划并识记。
2.每个小组利用课余时间剪切一个圆，将你手中的圆沿圆心对折，你会发现圆是一个什么图形？圆是轴对称图形吗？它有几条对称轴？分别是什么？
圆是 对称图形，其对称轴是任意一条过 的直线．
（二）活动1
请同学按下面要求完成下题：
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M．
（1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？

（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？
相等的线段：

相等的弧：

这样，我们就得到垂径定理：
垂直于弦的直径 弦，并且 弦所对的两条 ．
表达式：

垂径定理的条件和结论分别是什么？
①过圆心，②垂直于弦.
③平分弦，④平分弦所对的劣弧，⑤平分弦所对的优弧.
下面我们用逻辑思维给它证明一下：
已知：直径CD、弦AB且CD⊥AB垂足为M
求证：AM=BM，弧AC=BC，弧AD=BD.
分析：要证AM=BM，只要证AM、BM构成的两个三角形全等．因此，只要连结OA、OB或AC、BC即可．
证明：如图，连结OA、OB，则OA=OB
在Rt△OAM和Rt△OBM中

∴Rt△OAM≌Rt△OBM( )
∴AM=
∴点 和点 关于CD对称
∵⊙O关于CD对称
∴当圆沿着直线CD对折时，点A与点B重合，弧AC与BC重合，AD与CD重合．
∴ ， ，
进一步，我们还可以得到结论：
平分弦（ ）的直径垂直于 ，并且平分弦所对的两条 ．
表达式：

（三）、归纳总结：
1．圆是 图形，任何一条 所在直线都是它的对称轴．
2．垂径定理
推论 ．
三 、【巩固新知 应用新知】
C
A
B
D
O
E
A
B
O
E
A
B
O
E
D
A
B
O
E
D
1、辨析题：下列各图，能否得到AE=BE的结论？为什么？

O

A

B

E
2、如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径。

[来源:Zxxk.Com]
变式：在⊙O中，弦AB的长为8cm，OE⊥AB，垂足为E，EC长为2cm，求⊙O的半径。

O
D
A
C
R
3、你知道赵州桥吗?它是1400多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37m,　拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？

四、【\总结反思、升华提高】
1、圆是轴对称图形，经过圆心的 都是它的对称轴。
由此可得出垂径定理：垂直于弦的直径 弦，并且 弦所对的两条弧。
平分弦（不是直径）的直径 于弦，并且 弦所对的两条弧。
如果具备垂径定理五个条件中的任何两个，那么也就具备其他三个及其推论，可以概括如下，对于一个圆和一条直线来说，如果一条直线具备① 经过圆心，② 垂直于弦， ③平分弦（不是直径），④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧，五个条件中的任何两个，那么也就具备了其他三个。
在圆的有关计算和证明中，常作圆心到 的垂线段，这样不仅为利用垂径定理创造条件，而且为构造直角三角形利用勾股定理，沟通已知与未知量之间的关系创造条件。
2、本节学习的数学方法是数形结合和转化思想。
3.实际上，往往只需从圆心作一条与弦垂直的线段即可，这样把垂径定理和勾股定理结合起来，构造直角三角形，可得到圆的半径R，圆心到弦的距离d，弦长a之间的关系
R=ｄ＋（）．
A．定理的三种基本图形——如图Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ。
B ．计算中三个量的关系——如图Ⅳ，。
C．证明中常用的辅助线——作弦心距。 构造Rt△的“七字口诀”：半径半弦弦心距

（图Ⅰ） （图Ⅱ） （图Ⅲ） （图Ⅳ）

五、【巩固练习,测评反馈】
填空：
1、如图：已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，若______________________________________，则CE=DE（只需填写一个你认为适当的条件）
2、如图：已知AB是⊙O的弦，OB=4cm，∠ABO=300，则O到AB的距离是___________cm，AB=_________cm.

3、如图，两圆都以点O为圆心，求证AC=BD

4、如图，在⊙O中，AB，AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形。

O

B

A

C

E

D

六、课外分层训练：
A组：
1、填空：在⊙O中
（1）若CD⊥AB，AB为直径，则 、 、
（2）若CM=DM，AB为直径，ＣＤ不是直径，则 、 、
（3）若AB⊥CD，CM=DM，则 、 、
（4）若=，AB为直径，则 、 、
2、如图⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的长是（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8

第3题
第4题
第2题
第1题

3、如图已知⊙O的半径为5mm，弦AB=8mm，则圆心O到AB的距离是（ ）
A．1mm B．2mm C．3mm D．4mm
4、如图所示，已知AB为⊙O的直径，且AB⊥CD，垂足为M，CD＝8，AM＝2，OM=_______
5． 判断：
（1）垂直于弦的直线平分这条弦，并且平分弦所对的两弧． （ ）
（2）平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一弧． （ ）
（3）经过弦的中点的直径一定垂直于弦． （ ）
（4）圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行． （ ）
（5）弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧． （ ）
（6）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 （ ）
B组：
1、⊙O的半径是5，P是圆内一点，且OP＝3，过点P最短弦、最长弦的长为 .
2、如右图2所示，已知AB为⊙O的直径，且AB⊥CD，垂足为M，CD＝8，AM＝2，
则OM＝ .
3、⊙O的半径为5，弦AB的长为6，则AB的弦心距长为 .
4、已知一段弧AB，请作出弧AB所在圆的圆心。

5、问题1：如图1，AB是两个以O为圆心的同心圆中大圆的直径，AB交小圆交于C、D两点，求证：AC=BD

问题2：把圆中直径AB向下平移，变成非直径的弦AB，如图2，是否仍有AC=BD呢？

问题3：在圆2中连结OC，OD，将小圆隐去，得图4，设OC=OD，求证：AC=BD

问题4：在图2中，连结OA、OB，将大圆隐去，得图5，设AO=BO，求证：AC=BD

6．如图，已知AB是⊙O的弦，P是AB上一点，若AB=10，PB=4，OP=5，
求⊙O的半径的长。

7、⊙的半径为5，弦，弦，且.求两弦之间的距离。

C组： 选作题
1.如图24-11，AB为⊙O的直径，CD为弦，过C、D分别作CN⊥CD、
DM⊥CD，分别交AB于N、M，请问图中的AN与BM是否相等，
说明理由．

2.如图所示，CD是⊙O的直径，过弦AB两端分别作FA⊥AB，
EB⊥AB，交CD所在直线于F、E. 求证：CE＝FD.

3、（如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？（1）过圆心 ；（2）垂直于弦； （3）平分弦；（4）平分弦所对的优弧 ； （5）平分弦所对的劣弧。
上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？
条件
结论
命题
①②
③④⑤

①③
②④⑤

①④
②③⑤

①⑤
②③④
②③
①④⑤

②④
①③⑤

②⑤
①③④
③④
①②⑤

③⑤
①②④
④⑤
①②③

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