必修一函数的性质.doc

二、 函数的基本性质
1、函数单调性定义：
一般地，设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2,当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数(当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f (x )在区间D上是减函数)
注：函数的单调性是对函数定义域内的某个子区间而言的。
‚函数f（x）在给定区间上的单调性，反应了函数f（x）在该区间上函数值的变化趋势；
ƒ函数单调性定义中的x1、x2有三个特征：一个任意性，即“任意取x1、x2”，“任意”二字决不能丢掉，证明单调性更不可随意以两个特殊值替换；二是有大小，通常规定x1＜x2，三是同属一个单调区间。三者缺一不可。
④求函数的单调区间，必须先求函数的定义域，因为函数的单调区间一定是函数定义域的子区间。
2、单调区间的定义
若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间．
注：当单调递增（或递减）区间由几个区间组成时，一般情况下不能取它们的并集，而应该用“和”或“，”连接。
3、利用定义证明单调性的一般步骤：
取值：设x1，x2为该区间内任意的两个值，且x1＜x2；
‚作差、变形：作差f(x1)—f(x2)，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值符号的方向变形；
ƒ定号：确定差值的符号，当符号不确定时，可考虑分类讨论；
④判断：根据定义作出结论。
4、最大值、最小值
一般地，设函数的定义域为，如果存在实数M满足：
（1）对于任意的，都有M ；
（2）存在，使得=M 。
那么，我们称M是函数的最大值（ ）。
5、利用函数的运算性质：若为增函数，则
①为增函数；
②为减函数；
③为增函数；
④为增函数；
⑤为减函数。

题型一：根据定义判断函数的单调性
例题1：证明在区间上是增函数.

例题2、试讨论函数f(x)＝的单调性．
解　法一　f(x)的定义域为R，在定义域内任取x1＜x2，
都有f(x1)－f(x2)＝－＝，
其中x1－x2＜0，x＋1＞0，x＋1＞0.
①当x1，x2∈(－1,1)时，即|x1|＜1，|x2|＜1，∴|x1x2|＜1，
则x1x2＜1,1－x1x2＞0，f(x1)－f(x2)＜0，f(x1)＜f(x2)，∴f(x)为增函数．
②当x1，x2∈(－∞，－1]或[1，＋∞)时，
1－x1x2＜0，f(x1)＞f(x2)，∴f(x)为减函数．
综上所述，f(x)在[－1,1]上是增函数，在(－∞，－1]和[1，＋∞)上是减函数．
法二　∵f′(x)＝′＝
＝＝，
∴由f′(x)＞0解得－1＜x＜1.由f′(x)＜0解得x＜－1或x＞1，∴f(x)在[－1,1]上是增函数，在(－∞，－1]和[1，＋∞)上是减函数．
练习： 讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1,1)上的单调性．
解　设－1<x1<x2<1，
f(x)＝a＝a，
f(x1)－f(x2)＝a－a
＝a
当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
函数f(x)在(－1,1)上递减；
当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，
函数f(x)在(－1,1)上递增．
题型二：求函数的单调区间
例题3.：函数的单调递增区间为 。
练习：函数y=|x|（1-x）在区间A上是增函数，那么区间A是（ ）
A:（-∞，0） B：[0,1/2] C:[0,+∞) D:(1/2,+∞)
题型三：单调性的应用（已知单调区间，求参数的取值范围）
例题4、已知函数f(x)＝(a>0)在(2，＋∞)上递增，求实数a的取值范围．
解　法一　设2<x1<x2，由已知条件f(x1)－f(x2)＝－＝(x1－x2)＋a＝(x1－x2)<0恒成立．即当2<x1<x2时，x1x2>a恒成立．又x1x2>4，则0<a≤4.法二　f(x)＝x＋，f′(x)＝1－＞0得f(x)的递增区间是(－∞，－)，(，＋∞)，根据已知条件≤2，解得0<a≤4.
练习：函数y＝在(－1，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是(　　)．
A． a＝－3 B．a<3 C．a≤－3 D．a≥－3
解析　y＝＝1＋，需
即∴a≤－3.
答案　C
练习：1、若函数在区间（上是减函数，那么实数的取值范围是

题型四：利用函数的单调性解不等式
例题5、已知函数的定义域是，且满足,,
如果对于,都有,
（1）求；
（2）解不等式。

例题6、设f(x)为奇函数，且在(－∞，0)内是减函数，f(－2)＝0，则xf(x)＜0的解集为 (　　)．
A．(－2,0)∪(2，＋∞) B．(－∞，－2)∪(0,2)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－2,0)∪(0,2)
练习
1、已知f(x)为R上的减函数，则满足f<f(1)的实数x的取值范围是(　　)．
A．(－1,1) B．(0,1)
C．(－1,0)∪(0,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
2、 函数f（x）的定义域为R，且对任意x，y在R上，有f（x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时f（x）<0，f（1）=-2.
1） 证明f（x）在R上市减函数；
2） 求f（x）在区间[-3,3]上的最大值和最小值。

题型五：利用单调性求函数的最值
例7、已知函数（ ），求函数的最大值和最小值。

练习：1、已知函数
（1）当时，求函数的最大值和最小值；
（2）求实数的取值范围，使在区间上是单调函数

2、已知函数在有最大值和最小值，求、的值

题型六：抽象函数单调性的证明
例题8、已知函数的定义域为，且对任意，都有，且当时，恒成立，证明：函数是上的减函数；

练习1、已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x＞0时，f(x)＜0，f(1)＝－.
(1)求证：f(x)在R上是减函数；
(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．
(1)证明　法一　∵函数f(x)对于任意x，y∈R总有
f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，
∴令x＝y＝0，得f(0)＝0.
再令y＝－x，得f(－x)＝－f(x)．
在R上任取x1＞x2，则x1－x2＞0，
f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2)．
又∵x＞0时，f(x)＜0，
而x1－x2＞0，∴f(x1－x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．
因此f(x)在R上是减函数．
法二　设x1＞x2，
则f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2＋x2)－f(x2)
＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2)．
又∵x＞0时，f(x)＜0，而x1－x2＞0，
∴f(x1－x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，
∴f(x)在R上为减函数．
(2)解　∵f(x)在R上是减函数，
∴f(x)在[－3,3]上也是减函数，
∴f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f(－3)与f(3)．
而f(3)＝3f(1)＝－2，f(－3)＝－f(3)＝2.
∴f(x)在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.
6、复合函数的单调性：法则是“同增异减”
例题9：函数f（x）=lg5（2x+1）的单调增区间

例题10：是否存在实数a,使函数f（x）=loga(ax2-x)在闭区间[2,4]上是增函数？如果存在，说明a可取哪些值；如果不存在，请说明理由。

总结函数单调性的判断方法：
定义法：即“取值→作差→变形→定号→判断”；
图像法：作出函数的图像，利用图像直观判断函数的单调性；
直接法：对于我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出他们的单调区间；
导数法：设函数y=f（x）在某区间内可导。
如果f´（x）>0，则f（x）为增函数；
如果f´（x）<0，则f（x）为减函数；
注：如果已知函数在这个区间是单调增区间，则f´（x）≥0；
如果已知函数在这个区间是单调减区间，则f´（x）≤0；
二、函数的奇偶性
1、 一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有那么函数就叫做偶函数
2、一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有那么函数就叫做奇函数
注：若一个奇函数在x=0处有意义，则f（0）=0；
‚若f（x）是偶函数，则f（x）=f（|x|）
ƒ任意一个定义域关于原点对称的函数f（x）均可写成一个奇函数g（x）与一个偶函数h（x）的和的形式，即f(x)=g(x)+h(x),其中g（x)=(f(x)-f(-x))/2.h(x)=(f(x)+f(-x))/2.
3、根据定义判断奇偶性：一般按照定义严格进行，一般步骤是：
（1）考察定义域是否关于原点对称，如果不关于原点对称，则函数是非奇非偶；
（2）求f（-x）；
（3）找f（-x）与f（x）的关系；
（4）作出结论：f（x）=f（-x）或（f（-x）+f（x）=0），则f（x）为偶函数；
‚f（-x）=-f（x）或(f（x）-f（-x）=0），则f（x）为奇函数；
ƒf（x）=f（-x）且f（-x）=-f（x），则f（x）既是奇函数又是偶函数；
④f（-x）≠-f（x）且f（x）≠f（-x），则f（x）是非奇非偶；
4、奇偶函数的性质
在公共定义域内：
偶函数的和、差、商、积任为偶函数；
‚奇函数的和、差任为奇函数；
ƒ奇数个奇函数的积、商为奇函数，偶数个奇函数的积、商为偶函数；
④一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数。
5、 函数的奇偶性与单调性的联系与区别
联系：奇函数关于原点对称的两个区间单调性相同；
区别：函数的单调性是局部的性质（是某一个区间，不是定义域）函数的奇偶性是整体的，对于整个定义域而言；
题型1：判断函数的奇偶性
例1、判断下列函数的奇偶性：
（1）； （2）；

（3）； （4） 。

题型2:利用函数的奇偶性求值或解集
例3、已知，其中为常数，若，求。

题型3：求函数的解析式：
例题4：若函数在上是奇函数,则的解析式为________.

例题5：设函数与的定义域是且,是偶函数, 是奇函数,且,求和的解析式.

练习：设是上的奇函数，且当时，，
则当时_____________________。

题型4：抽象函数的奇偶性的判断
例题6：函数f(x)，满足都有f(x1+x2)= f(x1)+ f(x2)-3,
（1）判断函数f(x)-3的奇偶性并予以证明 ⑵若f(x) 最大值为M，最小值为m，求M+m
分析;恰当赋值，用定义可证奇偶性，应用奇偶性可求M+m
解析；令则f(0+0)= f(0)+ f(0)-3得，令则f(x-x)= f(x)+ f(-x)-3得f(x)+ f(-x)=6，令则所以f(x)-3为奇函数。⑵，，为奇函数图像关于原点对称，所以
例题7、函数f(x)，满足（1）求的值，⑵判断并证明f(x)的奇偶性
解析：令则，令则⑵
=得再令，所以f(x) 为奇函数
点评:要判断f(x)的奇偶性必先求出，而把1写成是关键

练习1、设是定义在上的偶函数，且在上是增函数，又。求实数的取值范围。
解析：又偶函数的性质知道：在上减，而，，所以由得，解得。
（设计理由：此类题源于变量与单调区间的分类讨论问题，所以本题弹性较大，可以作一些条件变换如：等；也可将定义域作一些调整）
2、定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log3且对任意x，y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)．
(1)求证f(x)为奇函数；
(2)若f(k·3)+f(3-9-2)＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．
(1)证明：f(x+y)=f(x)+f(y)(x，y∈R)---- ①令y=-x，代入①式，得 f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0)，令x=y=0，代入①式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0．即f(-x)=-f(x)对任意x∈R成立，∴f(x)是奇函数．
(2)解：f(3)=log3＞0，即f(3)＞f(0)，又f(x)在R上是单调函数，所以f(x)在R上是增函数，又由(1)f(x)是奇函数．f(k·3)＜-f(3-9-2)=f(-3+9+2)， k·3＜-3+9+2，
3-(1+k)·3+2＞0对任意x∈R成立．令t=3＞0，即t-(1+k)t+2＞0对任意t＞0恒成立．

故：对任意x∈R恒成立。
说明：问题(2)的上述解法是根据函数的性质．f(x)是奇函数且在x∈R上是增函数，把问题转化成二次函数f(t)=t-(1+k)t+2对于任意t＞0恒成立．对二次函数f(t)进行研究求解．本题还有更简捷的解法：分离系数由k·3＜-3+9+2得
要使对不等式恒成立，只需k<

三、 周期函数的判断：
编号
周 期 性
对 称 性
1
→T=2
→对称轴Û是偶函数；
→对称中心（a,0）Û是奇函数
2
→T=
→对称轴；
→对称中心；
3
f(x)= -f(x+a)→T=2
f(x)= -f(-x+a)→对称中心
4
→T=2
→对称中心
5
f(x)=±→T=2
f(x)= b-f(-x+a)→对称中心
6
f(x)=1-→T=3

结论：(1)    函数图象关于两条直线x=a，x=b对称，则函数y=f(x)是周期函数，且T=2|a-b|
(2)    函数图象关于点M(a,0)和点N(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且T=2|a-b|
(3)    函数图象关于直线x=a，及点M(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且T=4|a-b|
（4） 应注意区分一个函数的对称性和两个函数的对称性的区别:y=f(a+x)与y=f(b-x)关于对称；y=f(a+x)与y=-f(b-x)关于点对称
例1：①已知定义在R上的奇函数f (x)满足f (x+2) = – f (x)，则f (6)的值为（ B ）
A. –1 B. 0 C. 1 D. 2
解： 因为f (x)是定义在R上的奇函数，所以f (0) = 0，又T=4，所以f (6) = f (2) = – f (0) = 0。
②函数f(x)对于任意的实数x都有f(1+2x)=f(1-2x)，则f(2x)的图像关于 对称。（x=1/2）
例题2、已知函数满足：，，则=_____________.
解析：取x=1 y=0得 法一：通过计算，寻得周期为6
法二：取x=n y=1,有f(n)=f(n+1)+f(n-1),同理f(n+1)=f(n+2)+f(n)
联立得f(n+2)= —f(n-1) 所以T=6 故=f(0)=
练习
1、函数是偶函数，则的图象关于 x=1 对称。
2、函数满足，且，则 -1 。
3、函数f(x)是定义在R上的奇函数，且,则
解析：法一：因f(x)为奇函数且关于对称，T=2,可借助图象解答，得结果为0. 小结：此方法为数形结合法
法二：因f(x)为奇函数且关于对称，类比联想函数 0, 小结：此方法为抽象函数具体化法
4、已知函数是定义在R上的奇函数，函数是的反函数，若则（ D ）
A）2 B）0 C）1 D）-2
解析：
法一：(函数具体化)设符合题意，则则，
法二：y=f(2x-1)是R上的奇函数→f(-2x-1)=-f(2x-1)，即f(-2x-1)+f(2x-1)=0，由反函数的关系就可以取x1= f(-2x-1),x2= f(2x-1),所以g(x1)+g(x2)=-2x-1+(2x-1)=-2.
5.设f(x)是R的奇函数,f(x+2)= — f(x),当0≤x≤1,时,f(x)=x,则f(7.5)= - 0.5
6.定义在R上的函数f(x)满足f(-x)+f(x)=3,则f-1(x)+f-1(3-x)= .0
7、 f（x）是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f（2）=0，则方程f（x）=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是（ ）D
A.4 B.5 C.6 D.7

习题：
一、选择
1.设为定义在上的奇函数。当时，，则（）
A．3 B. 1 C. -1 D. -3
2.若函数与的定义域均为，则（）
A．与均为偶函数 B. 为偶函数，为奇函数
C. 与均为奇函数 D. 为奇函数，为偶函数
3.若是上周期为5的奇函数，且满足，，则（）
A．-1 B. 1 C. -2 D. 2
4.动点在圆上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周。已知时间时，点的坐标是，则当时，动点的纵坐标关于（单位：秒）的函数的单调递增区间是（）
A． B. C. D.和
5.已知偶函数在区间单调增加，则满足的的取值范围是（）
A． B. C. D.
6.下列函数中，满足“对任意，当时，都有”的是（）
A． B. C. D.
7.定义在上的偶函数满足：对任意的，有。则当时，有（）
A． B.
C. D.
8.设是连续的偶函数，且当时，是单调函数，则满足的所有之和为（）
A．-3 B. 3 C. -8 D. 8
10.函数，若，则的值为（）
A．3 B. 0 C. -1 D. -2
11.定义在上的函数既是奇函数，又是周期函数，是它的一个正周期。若将方程在闭区间上的根的个数记为，则可能为（）
A．0 B. 1 C. 3 D. 5

12、已知函数的定义域为，且同时满足下列条件：（1）是奇函数；
（2）在定义域上单调递减；（3）求的取值范围。

13、如果奇函数在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么在区间[-7，-3]上是（ ）
A、增函数且最小值为-5； B、增函数且最大值为-5；
C、减函数且最小值为-5； D、减函数且最大值为-5；

14、若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ）
A B
C D
15、已知是定义在R上的奇函数，且在上是增函数，当时，的最大值为8，最小值为-1，求的值.

习题
2.已知是上的减函数，那么的取值范围是
(A) (B) (C) (D)
3.在下列四个函数中，满足性质：“对于区间上的任意，恒成立”的只有
(A) (B) (C) (D)
4.已知是周期为2的奇函数，当时，设则
(A)　　　(B)　　　(C)　　　(D)
5.函数的定义域是
A. B. C. D.
6、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是
A. B. C. D.

7、函数的反函数的图像与轴交于点
(如右图所示)，则方程在上的根是
A.4 B.3 C. 2 D.1
8、设是R上的任意函数，则下列叙述正确的是
(A)是奇函数 (B)是奇函数
(C) 是偶函数 (D) 是偶函数
9、已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则
A． B．
C． D．
10、设
(A)0 　(B)1 (C)2 (D)3
11、对a，bR，记max{a，b}＝，函数f(x)＝max{|x＋1|，|x－2|}(xR)的最小值是
(A)0 (B) (C) (D)3
12、关于的方程，给出下列四个命题：
①存在实数，使得方程恰有2个不同的实根；
②存在实数，使得方程恰有4个不同的实根；
③存在实数，使得方程恰有5个不同的实根；
④存在实数，使得方程恰有8个不同的实根；
其中假命题的个数是 A．0 B．1 C．2 D．3

一、选择题
1解：由得：，所以为所求，故选D。
２解：依题意，有0<a<1且3a－1<0，解得0<a<，又当x<1时，(3a－1)x＋4a>7a－1，当x>1时，logax<0，所以7a－1³0解得x³故选C
３解：|>1<1\ |<|x1－x2|故选A
４解：已知是周期为2的奇函数，当时，设，，＜0，∴，选D.
５解：由，故选B.
６解：B在其定义域内是奇函数但不是减函数;C在其定义域内既是奇函数又是增函数;D在其定义域内不是奇函数，是减函数;故选A.
７解：的根是2，故选C
８解：A中则，
即函数为偶函数，B中，此时与的关系不能确定，即函数的奇偶性不确定，
C中，，即函数为奇函数，D中，，即函数为偶函数，故选择答案D。
９解：函数的图象与函数的图象关于直线对称，所以是的反函数，即＝，∴ ，选D.
１０解：f(f(2))＝f(1)＝2，选C
１１解：当x<－1时，|x＋1|＝－x－1，|x－2|＝2－x，因为(－x－1)－(2－x)＝－3<0，所以2－x>－x－1；当－1£x<时，|x＋1|＝x＋1，|x－2|＝2－x，因为(x＋1)－(2－x)＝2x－1<0，x＋1<2－x；当£x<2时，x＋1³2－x；当x³2时，|x＋1|＝x＋1，|x－2|＝x－2，显然x＋1>x－2；
故据此求得最小值为。选C
１２解：关于x的方程可化为…(1)
或(－1<x<1)…………(2)
① 当k＝－2时，方程(1)的解为±，方程(2)无解，原方程恰有2个不同的实根
② 当k＝时，方程(1)有两个不同的实根±，方程(2)有两个不同的实根±，即原方程恰有4个不同的实根
③ 当k＝0时，方程(1)的解为－1，＋1，±，方程(2)的解为x＝0，原方程恰有5个不同的实根
④ 当k＝时，方程(1)的解为±，±，方程(2)的解为±，±，即原方程恰有8个不同的实根
选A

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