重庆大学高数(下)期末试题十五(含答案).docx

重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷 第1页 共1页
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学院 专业、班 年级 学号 姓名 考试教室
公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊
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线
密
重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷

20 — 20 学年 第 学期
开课学院: 数统学院 课程号:
考试日期:

考试时间: 120 分钟

题 号
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
总 分
得 分

考试提示
1.严禁随身携带通讯工具等电子设备参加考试;
2.考试作弊,留校察看,毕业当年不授学位;请人代考、替他人考试、两次及以上作弊等,属严重作弊,开除学籍.

一、选择题(每小题3分,共18分)
1. 向量在向量上的投影为
(A) (B) (C) (D)
难度等级:2;知识点:向量代数
答案:(C).
分析:
2. 设具有连续导数,若为则必有
(A) (B)
(C)
难度等级:2;知识点:格林公式
答案: (B).
分析:积分值为积分与路径无关,只有B满足.
3. 若是一阶非齐次线性微分方程的两个不同特解,则该方程的通解为
(A) (B)
(C) (D)
难度等级:1;知识点:微分方程
答案: C.
分析:由一阶非齐次线性微分方程通解的结构知,其通解应是对应的齐次方程的通解与原各的一个特解之和.而是齐次方程的解,因此齐次方程的通解应为因此非齐次方程的通解应是或故应选(C).
4. 设则
(A) (B) (C) (D)
难度等级:2;知识点:三重积分
答案:(D).
分析:积分区域关于面对称,为关于的奇函数,积分值为余下为倍体积,球体体积为故选D.
5. 曲线在点处的法平面方程为（ ）.
(A) (B)
(C) (D)
答：（B）
难度等级：1；知识点：曲线的法平面.
分析 法平面的法向量就是曲线的切向量，为，所以法平面方程为：

即
与(A)、(B)、（C)、（D)比较后知，应选（B).

6. 设，则
(A) (B)
(C) (D)
答案：(C)
难度等级2; 知识点：幂级数
分析：因为的的系数为，即，故
二、填空题(每小题3分,共18分)
7. 已知则
难度等级1; 知识点：全微分
答案: (
8. 已知幂级数的收敛半径为则的收敛半径为

难度等级2; 知识点：幂级数
答案:
分析:由的收敛半径为故即
9.设向量场则旋度
难度等级1; 知识点：旋度
答案:
10. 若某个二阶常系数线性齐次微分方程的通解为其中为独立的任意常数,则该方程为
答案:
分析:由通解可得特征方程为其对应的二阶线性常系数齐次微分方程
11. 设则
难度等级2; 知识点：二重积分
答案:
分析:由几何意义知,该积分为顶为底为坐标面的四分之一园面曲顶柱体体积,即为一半径为的球体的八分之一,得结果.
12. 函数在上的傅立叶级数的系数
答案:
分析:

三、计算题(每小题6分,共24分)
13. 判定级数是否收敛？如果是收敛的,是绝对收敛还是条件收敛？
难度等级2; 知识点：级数的敛散性
解:由知级数发散.--------3分
又故所给级数收敛且条件收敛．---3分
14. 方程组确定隐函数求
难度等级2; 知识点：隐函数的偏导数
分析:用解出再求偏导数.
解:

15. 计算二重积分其中是顶点分别为和的三角形闭区域.
难度等级2; 知识点：二重积分
解 :积分区域可表示为 于是,

16.计算其中是球面与柱面的交线,从轴正方向看进去为逆时针
难度等级2; 知识点：第二类曲线积分
分析:用斯托克斯公式化为对坐标的曲面积分,并计算此曲面积分.
解:

或解:

四、解答题(每小题6分,共12分)
17. 设函数为已知的一阶导数连续的函数，求微分方程的通解.
难度等级2; 知识点：一阶非齐次线性微分方程
分析: 因为是已知函数,故方程为一阶非齐次线性微分方程.
解: 由通解公式可得

即
18. 函数由方程所确定，其中有连续的一阶偏导数，计算:
难度等级：2，知识点：多元隐函数的偏导数、复合函数的偏导数.
分析 由方程确定的隐函数的偏导数，，求出后可得，代入即可得到结论.
解

五、 证明题 (每小题6分,共12分)
19. 设向量,,,为实数，试证：其模最小的向量垂直于向量.
难度等级：2；知识点：向量代数.
分析 先计算出，再求出它的模，何时达到最小值？
证 设，于是，将的坐标代入得，

当时，模最小，这时

且有.故结论正确.
20. 验证曲线积分的被积表达式为某二元函数的全微分,并计算该曲线积分.
难度等级：2；知识点：第二类曲线积分.2
分析:可利用曲线积分与路径无关找被积函数的原函数.
证:显然,

是全微分.于是

六、应用题 (每小题8分,共16分)
21.求抛物面的切平面使得与该抛物面间并介于柱面内部的部分的体积为最小.
难度等级3; 知识点：综合题，多元函数的几何应用、二重积分和多元函数的极值。
分析:先给出带参数切平面,求出几何体体积,再利用驻点求极值
解:由于介于抛物面柱面及平面之间的立体体积为定值,所以只要介于切平面柱面及平面之间的立体体积为最大即可.
设与切于点则的法向量为且切平面方程为:

即

于是

则由得驻点且
由于实际问题有解,而驻点唯一,所以当切点为时,题中所求体积为最小.此时的切平面为:
22. 利用三重积分计算下列由曲面所围成的立体的体积: 及 (含有轴的部分).
难度等级：2，知识点：三重积分
分析:积分区域边界曲面为球面与锥面,适用球坐标
解:在球面坐标下积分区域W可表示为

于是

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