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北京东城区 2017
学年度第二学期高三综合练习（二）
数学（理科）
学校_________ 班级___________ 姓名___________ 考号_________
本试卷共 5页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结
束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题共 8小题，每小题 5分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1 ）已知集合 A = {x | x2 - 4 < 0} ，则 CR A =
（A {x | x £ -2或x ³ 2} 或 ） （B {x | x < - 2 或 x > 2} ）
（C {x | - 2 < x < 2} ） （D {x | -2 £ x £ 2} ）
（2
）下列函数中为奇函数的是
（A y = x + cos x ） （B y = x + sin x ）
（C y = ）
x
（D y = e-|x| ）
ìx - y + 1 ³ 0
ï
（3
）若 x, y 满足 íx + y £ 0 则 x + 2 y 的最大值为
îïy ³ 0
（A - 1 ）
（B 0 ）
（C ）
1
2
（D 2 ）
（4 ）设 a, b 是非零向量，则" a, b 共线"是"| a +b |=| a | + | b | "的
（A ）充分而不必要条件
（B ）必要而不充分条件
（C ）充分必要条件
（D ）既不充分也不必要条件
（5 ）已知等比数列
{an}为递增数列， Sn 是其前 n 项和. a1 +a5 = 17 ， a2a4 = 4 ，则 S6 =
若
2
（A ）
27
16
（B ）
27
8
（C ）
63
4
（D ）
63
2
（6 ）我国南宋时期的数学家秦九韶（约1202 - 1261 ）在他的著作《数书九章》中提出了多项式求值的秦
九韶算法．如图所示的框图给出了利用秦九韶算法求多项式的一个实例．若输入的 n = 5 ， v =1 ，
x = 2 ，则程序框图计算的是
1页
（A 25 + 24 + 23 + 22 + 2 +1 ）
开始
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（B 25 + 24 + 23 + 22 + 2 +5 ）
输入n, v, x
（C 26 + 25 + 24 + 23 + 22 + 2 +1 ）
（D 24 + 23 + 22 + 2 +1 ）
（7
）动点 P 从点 A 出发，按逆时针方向沿周长为 l 的平 面图形运动一
周，A, P 两点间的距离 y 与动点 P 所走过的路程 x 的关系 如图所示，那么
动点 P 所走的图形可能是
y
（A ） （B ） （C ） （D ）
（8 ）据统计某超市两种蔬菜 A, B 连续 n 天价格分别为
a1, a2 , a3,L, an和b1,b2 , b3,L,bn ，
令 M = {m | am < bm , m = 1,2,L, n}，若 M 中元素
O
否
l
是
x
个数大于
3n
4 ，则称蔬菜 在这 天的价格低于蔬菜 的价
输出 v
2
A
n
B
格，记作： A p B ，现有三种
蔬菜 A, B,C ，下列说法正确的是
结束
（A ）若 A p B ， B p C ，则 A p C
（B ）若 A p B ， B p C 同时不成立，则 A p C 不成立
（C A p B ， B p A 可同时不成立 ）
（D A p B ， B p A 可同时成立 ）
第二部分（非选择题 共 110 分）
二、填空题共 6小题，每小题 5分，共 30 分。
（9 ）复数 i(2 - i) 在复平面内所对应的点的坐标为 ．
（10 极坐标系中，直线 r cosq + 3r sin q +1 = 0 与圆 r = 2a cosq (a > 0) 相切， ）在
则 a = _______ ．
（11 校开设 A 类选修课 4 门， B 类选修课 2 门，每位同学需从两类选修课中共选 4 门．若要求至少选 ）某
一门 B 类课程，则不同的选法共有____ 用数字作答）
种. （
（12如图，在四边形 ABCD 中，ÐABD = 45 ，ÐADB = 30 ，BC = 1，DC = 2 ， cos ÐBCD = ）
1
4，
则 BD = ；三角形 ABD 的面积为___________.
（13 直角坐标系 xOy 中，直线 l 过抛物线 y2 = 4x 的焦点 F ，且与该抛物线相交于 A, B 两点，其中点
）在
A
A 在 x 轴上方．若直线 l 的倾斜角为 60 ，则| OA |= ．
ì| x -1|, x Î(0,2], B D
（14已知函数 ）
f (x) = ïmin{| x -1|,| x - 3|}, x Î(2,4], í
îïmin{| x - 3|,| x - 5 |}, x Î(4,+¥).
① 若 f (x) = a 有且只有一个根，则实数 a 的取值范围是C_______ ．
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② 若关于 x 的方程 f (x + T ) = f (x) 有且仅有 3 个不同的实根，则实数T 的取值范围是_______ ．
三、解答题共 6小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（15
）（本小题共 13 分）
已知函数 f (x) =
3 sin 2x + a × cos 2x (a Î R) ．
（Ⅰ）若 f ( p ) = 2 ，求 a 的值；
6
（Ⅱ）若 f (x) 在[
p , 7p ]
12 12 上单调递减，求
f (x) 的最大值．
（16
）（本小题共 13 分）
小明计划在 8月 11 8月 20
日至 日期间游览某主题公园．根据旅游局统计数据，该主题公园在此期间
"游览舒适度" （即在园人数与景区主管部门核定的最大瞬时容量之比，40% 以下为舒适，40% 为一般， —60%
60% 以上为拥挤）情况如图所示．小明随机选择 8月 11 日至 8月 19 中的某一天到达该主题公园，并游 日
览 2天.
（Ⅰ）求小明连续两天都遇上拥挤的概率；
（Ⅱ）设 X 是小明游览期间遇上舒适的天数，求 X 的分布列和数学期望；
（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天游览舒适度的方差最大？（结论不要求证明）
（17
）（本小题共 14 分）
如图，在几何体 ABCDEF 中，平面 ADE ^ 平面 ABCD ，四边形 ABCD 为菱形，且 ÐDAB = 60 ，
EA = ED = AB = 2EF ， EF ∥ AB ， M 为 BC 中点．
（Ⅰ）求证： FM ∥平面 BDE ；
（Ⅱ）求直线 CF 与平面 BDE 所成角的正弦值；
CG
（Ⅲ）在棱 CF 上是否存在点 G ，使 BG ^ DE ？ 若存在，求
CF 的值；若不存在，说明理由．
（18
）（本小题共 13 分）
设函数 f (x) = (x2 + ax - a) × e-x (a Î R) ．
（Ⅰ）当 a = 0 时，求曲线 y = f (x) 在点 (- 1, f (- 1)) 处的切线方程；
（Ⅱ）设 g(x) = x2 - x - 1 ，若对任意的 t Î[0,2] ，存在 s Î[0,2] 使得 f (s) ³ g(t) 成立，求 a 的取值范围．
（19
）（本小题共 13 分）
C : x2 + y2 = 1(a > b > 0) 的短轴长为 2 3 ，右焦点为 F (1,0) ，点 M 是椭圆 C 上异于左、
已知椭圆
a
2
b
2
右顶点 A, B 的一点．
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；
（Ⅱ）若直线 AM 与直线 x = 2 交于点 N ，线段 BN 的中点为 E ．证明：点 B 关于直线 EF 的对称点在
直线 MF 上．
（20
）（本小题共 13 分）
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