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2．2.1&2.2.2 直线与平面平行的判定、平面与平面平行的判定
预习课本 P54～ 57， 思考并完成以下问题
1．线面平行的判定定理是什么？
2．判定线面平行的方法有哪些？
3．面面平行的判定定理是什么？
4．判定面面平行的方法有哪些？
1．直线与平面平行的判定
表示
图形
定理
直线与平面平行的判
定定理
文字
平面外一条直线与此平
面内一直线平行，则该直
符号
a⊄a ü
ï
bÌaý⇒a∥a
线与此平面平行
a∥bï þ
[点睛 ] 用该定理判断直线 a 和平面 a 平行时，必须同时具备三个条件：
(1)直线 a 在平面 a 外，即 a⊄a；
(2)直线 b 在平面 a 内，即 bÌa；
(3)两直线 a，b 平行，即 a∥b.
2．平面与平面平行的判定
表示
图形
位置
文字
符号
aÌb
ü
平面与平面平行的判
一个平面内的两条相交
bÌb
ï
直线与另一个平面平行， aÇb＝Pý⇒a∥b
定定理
则这两个平面平行
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a∥a
b∥a
þï
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[点睛] (1)平面与平面平行的判定定理中的平行于一个平面内的"两条相交直线"是
必不可少的．
(2)面面平行的判定定理充分体现了等价转化思想，即把面面平行转化为线面平行．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打"Ö"，错误的打"×")
(1)若直线 l 上有两点到平面 a 的距离相等，则 l∥平面 a( )
(2)若直线 l 与平面 a 平行，则 l 与平面 a 内的任意一条直线平行( )
(3)两条平行线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行( )
答案： (1)× (2)× (3)×
2．能保证直线 a 与平面 a 平行的条件是( )
A．bÌa，a∥b
B．bÌa，c∥a，a∥b，a∥c
C．bÌa，A，BÎa，C，DÎb，且 AC∥BD
D．a⊄a，bÌa，a∥b
解析： 选 D 由线面平行的判定定理可知，D 正确．
3．若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面的位
置关系是( )
A．一定平行 B．一定相交
C．平行或相交 D．以上判断都不对
解析： 选 C 可借助于长方体判断两平面对应平行或相交．
直线与平面平行的判定
[典例 ] 如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F，G 分别是 BC，CC1，BB1 的中点，
求证：EF∥平面 AD1G.
[证明 ] 连接 BC1，则由 E，F 分别是 BC，CC1 的中点，知 EF∥BC1.
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又 AB 綊 A1B1 綊 D1C1，所以四边形 ABC1D1 是平行四边形，
所以 BC1∥AD1，所以 EF∥AD1.
又 EF⊄平面 AD1G，AD1Ì平面 AD1G，
所以 EF∥平面 AD1G.
利用直线和平面平行的判定定理证明线面平行的关键是在平面内找一条直线与已知直
线平行，常利用平行四边形、三角形中位线、平行公理等．
[活学活用 ]
已知有公共边 AB 的两个全等的矩形 ABCD 和 ABEF 不同在一个平面内，P，Q 分别
是对角线 AE，BD 上的点，且 AP＝DQ.求证：PQ∥平面 CBE.
证明： 如图，作 PM∥AB 交 BE 于点 M，作 QN∥AB 交 BC 于点 N，连接 MN，则 PM
∥QN，PM＝EP，QN＝BQ.
AB EA CD BD
∵EA＝BD，AP＝DQ，∴EP＝BQ.
又∵AB＝CD，∴PM 綊 QN，
∴四边形 PMNQ 是平行四边形，∴PQ∥MN.
又∵PQ⊄平面 CBE，MNÌ平面 CBE，
∴PQ∥平面 CBE.
平面与平面平行的判定
[典例 ] 已知，点 P 是△ABC 所在平面外一点，点 A′，B′，C′分别是△PBC，△
PAC，△PAB 的重心．
(1)求证：平面 A′B′C′∥平面 ABC.
(2)求 A′B′∶AB 的值．
[解 ] (1)证明：如图，连接 PA′，并延长交 BC 于点 M，连接 PB′，
并延长交 AC 于点 N，连接 PC′，并延长交 AB 于点 Q，连接 MN，NQ.
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