圆周运动竖直面临界问题.doc

竖直平面内圆周运动的临界问题
竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动，对于物体在竖直平面内做变速圆周运动的问题，中学物理中只研究物体通过最高点和最低点的情况，并且经常出现临界状态.
（1）、如图所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况：

①临界条件：小球达最高点时绳子的拉力（或轨道的弹力）刚好等于零，小球的重力提供其做圆周运动的向心力，即mg=
上式中的v临界是小球通过最高点的最小速度，通常叫临界速度，v临界=.
②能过最高点的条件：v≥v临界. 此时小球对轨道有压力或绳对小球有拉力
③不能过最高点的条件：v<v临界（实际上小球还没有到最高点就已脱离了轨道）.
（2）、如图所示，有物体支持的小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况：

①临界条件：由于硬杆和管壁的支撑作用，小球恰能达到最高点的临界速度
v临界=0.
②图（a）所示的小球过最高点时，轻杆对小球的弹力情况是
当v=0时，轻杆对小球有竖直向上的支持力N，其大小等于小球的重力，即N=mg；
当0<v<时，杆对小球有竖直向上的支持力，大小随速度的增大而减小；其取值范围是mg>N>0.
当v=时，N=0；
当v>时，杆对小球有指向圆心的拉力，其大小随速度的增大而增大.
③图（b）所示的小球过最高点时，光滑硬管对小球的弹力情况是
当v=0时，管的下侧内壁对小球有竖直向上的支持力，其大小等于小球的重力，即N=mg.
当0<v<时，管的下侧内壁对小球有竖直向上的支持力，大小随速度的增大而减小，其取值范围是mg>N>0.
当v=时，N=0.
当v>时，管的上侧内壁对小球有竖直向下指向圆心的压力，其大小随速度的增大而增大.
④图(c)的球沿球面运动,轨道对小球只能支撑,而不能产生拉力.在最高点的v临界=.当v>时，小球将脱离轨道做平抛运动.
１．“绳模型”如图6-11-1所示，小球在竖直平面内做圆周运动过最高点情况。　　
v

·
绳
图6-11-1
v

a
b
v

（注意：绳对小球只能产生拉力）

（1）小球能过最高点的临界条件：绳子和轨道对小球刚好没有力的作用
mg = =
（2）小球能过最高点条件：v ≥
（当v >时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力）
（3）不能过最高点条件：v <
（实际上球还没有到最高点时，就脱离了轨道）
２．“杆模型”如图6-11-2所示，小球在竖直平面内做圆周运动过最高点情况　　
（注意：轻杆和细线不同，轻杆对小球既能产生拉力，又能产生推力。）
O
杆
图6-11-2
b
a

（1）小球能最高点的临界条件：v = 0，F = mg（F为支持力）
（2）当0< v <时，F随v增大而减小，且mg > F > 0（F为支持力）
（3）当v =时，F=0
（4）当v >时，F随v增大而增大，且F >0（F为拉力）
O

1．长为L的细绳，一端系一质量为m的小球，另一端固定于某点，当绳竖直时小球静止，再给小球一水平初速度，使小球在竖直平面内做圆周运动，并且刚好能过最高点，则下列说法中正确的是 （ ）
A．球过最高点时，速度为零 B．球过最高点时，绳的拉力为mg
C．开始运动时，绳的拉力为 D．球过最高点时，速度大小为
解析：开始运动时，由小球受的重力mg和绳的拉力F的合力提供向心力，即，，可见C不正确；小球刚好过最高点时，绳拉力为0，，，所以，A、B、C均不正确。故选：D
O
图6-11-3
2：如图6-11-3所示，一轻杆一端固定质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球做半径为R的圆周运动，以下说法正确的是 （ ）
A．球过最高点时，杆所受的弹力可以等于零
B．球过最高点时，最小速度为
C．球过最高点时，杆对球的弹力一定与球的重力方向相反
D．球过最高点时，杆对球的弹力可以与球的重力反向，此时重力一定大于杆对球的弹力
解析：小球用轻杆支持过最高点时，，故B不正确；当时，F = 0故A正确。当0< v <时，mg > F > 0，F为支持力故D正确。当v >时，F >0，F为拉力，故C不正确。故选：A、D
3．绳系着装水的水桶，在竖直平面内做圆周运动，水的质量m = 0.5kg，绳长L = 40cm，求：
（１）为使桶在最高点时水不流出，桶的最小速率？
（２）桶在最高点速率v = 3m/s时，水对桶底的压力？
解析：（1）在最高点水不流出的条件是重力不大于水做圆周运动所需的向心力。即：，则最小速率m/s = 2m/s
（2）水在最高点速率大于v0 时，只靠重力提供向心力已不足，此时水桶底对水有一向下的压力，设为F，由牛顿第二定律有F + mg =， F = mg = 6.25N，由牛顿第三定律知，水对桶底的作用力F/＝F = 6.25N，方向竖直向上。
4．细线的一端有一个小球，现给小球一初速度，使小球绕细线另一端O在竖直平面内转动，不计空气阻力，用F表示球到达最高点时细线对小球的作用力，则F可能 （ ）
A．是拉力 B．是推力
C．等于零 D．可能是拉力，可能是推力，也可能等于零

解析：到最高点临界速度为，当时，F＝0；当时，F为拉力。故选：A、C
a
O
·
b

5．（1999年 全国）如图所示，细杆的一端与小球相连，可绕过O点的水平轴自由转动，现给小球一初速度，使它做圆周运动，图中a、b分别表示小球轨道的最低点和最高点，
则杆对球的作用力可能是 （ ）
A．a处为拉力，b处为拉力 B．a处为拉力，b处为推力
C．a处为推力，b处为拉力 D．a处为推力，b处为推力

解析：小球到最低点时，向心力向上，此时细杆的作用力与小球的重力的合力提供向心力，细杆作用力向上，一定为拉力；当到最高点时，向心力向下，当时，，此时为推力，当，，此时为拉力。故选：A、B
6．长为L的轻杆，一端固定一个小球，另一端与光滑的水平轴相连。现给小球一个初速度，使小球在竖直平面内做圆周运动，已知小球在最高点时的速度为v，则下列叙述正确的是 （ ）
A．v的最小值为 B．v由零逐渐增大，向心力也逐渐增大
C．v由零逐渐增大，杆对球的弹力逐渐增大 D．v由逐渐减小，杆对球的弹力逐渐增大
解析：这是“杆模型”，小球到最高点速度， A错；由得，v增大，增大， B对；当0< v <时，弹力F随v减小而增大（F为支持力），当v >时，F随v增大而增大（F为拉力）, C错，D对。故选：B、D
7．质量为m的小球在竖直平面内的圆形轨道的内侧运动，经过最高点而不脱离轨道的临界速度为v，当小球以2v的速度经过最高点时，对轨道的压力是 （ ）
A．0 B．mg C．3mg D．5mg
解析：到最高点临界速度为v，则：；当速度为2v时，则：（F为压力）；由上两式解得：F = 3mg。故选：C

8．如图所示，杆长为L，球的质量为m，杆连球在竖直平面内绕轴O自由转动，已知在最高点处，杆对球的弹力大小为F=mg/2，求这时小球的瞬时速度大小。
解析：小球所需向心力向下，本题中F=mg/2＜mg，所以弹力的方向可能向上也可能向下。⑴若F向上，则 ⑵若F向下，则
9．(2011年淮北模拟)如图所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，内侧壁半径为R，小球半径为r，则下列说法正确的是(　　)
A．小球通过最高点时的最小速度vmin＝
B．小球通过最高点时的最小速度vmin＝0
C．小球在水平线ab以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力
D．小球在水平线ab以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力
解析：小球沿管上升到最高点的速度可以为零，故A错误，B正确；小球在水平线ab以下的管道中运动时，由外侧管壁对小球的作用力N与球重力在背离圆心方向的分力Fmg的合力提供向心力，即：N－mg＝m，因此，外侧管壁一定对球有作用力，而内侧壁无作用力，C正确；小球在水平线ab以上的管道中运动时，小球受管壁的作用力与小球速度大小有关，D错误．
B
h
A
C
D
E

答案：BC
10．如图 所示，固定在竖直平面内的光滑圆弧形轨道ABCD，其A点与圆心等高，D点
为轨道最高点，DB为竖直线，AC为水平线，AE为水平面，今使小球自A点正上方某
处由静止释放，且从A点进入圆形轨道运动，通过适当调整释放点的高度，
总能保证小球最终通过最高点D，则小球在通过D点后 （ ）
A．会落到水平面AE上 B．一定会再次落到圆轨道上
C．可能会落到水平面AE上 D．可能会再次落到圆轨道上

解析：小球刚好能过最高点时速度v =，离开D后作平抛运动，下落高度为R时间为t =，水平位移x = vt =>R，所以，小球一定落在AE上。故选：A
C
O
B
A

11．如图所示，半径为R，内径很小的光滑半圆管竖直放置，两个质量均为m的小球A、B以不同速率进入管内，A通过最高点C时，对管壁上部的压力为3mg，B通过最高点C时，对管壁下部的压力为0．75mg．求A、B两球落地点间的距离．
[解析]两个小球在最高点时，受重力和管壁的作用力，这两个力的合力作为向心力，离开轨道后两球均做平抛运动，A、B两球落地点间的距离等于它们平抛运动的水平位移之差．
对A球：3mg+mg=m vA=
对B球：mg－0．75mg=m vB=
sA=vAt=vA=4R
sB=vBt=vB=R（2分）∴sA－sB=3R