割圆多项式.docx

割圆多项式
一个多项式

(1)
在哪里是统一的根源在给出的

(2)
和运行在整数互质来。'可能下降如果产品而不是接管原始的统一的根源,所以

(3)
的符号也经常遇到。迪克森et al .(1923)和很有(1975)给割圆多项式广泛的参考书目。
的割圆多项式也可以定义为

(4)
在哪里是默比乌斯函数和产品接管因数的(Vardi 1991,p . 1991)。

是一个整数多项式和一个不可约多项式与多项式的学位,在那里是totient函数。割圆多项式是返回的Wolfram语言命令割圆[n x]。割圆多项式的根躺在单位圆在复平面,正如上文所述第一分圆多项式。

最初几个割圆多项式是

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

的割圆多项式上文所述的吗复平面.
在任何线通过原点,割圆多项式是严格的价值增加外单位圆.
如果是一个奇怪的',然后

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)
(Riesel 1994,p . 1994)。同样的,对又一个奇怪的',

(21)

(22)

(23)
最初几个剩余的值 ,

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)
(Riesel 1994,p . 1994)。
为一个'相对' ,

(32)
但是,如果 ,

(33)
(Nagell 1951,p . 1951)。
一个显式方程为squarefree是由

(34)
在哪里是totient函数和计算使用递归关系

(35)
与,在那里是默比乌斯函数和是最大公约数的和 .
的多项式可以被分解为

(36)
此外,

(37)

(38)
的系数逆的割圆多项式

(39)

(40)
也可以计算的

(41)

(42)

(43)
在哪里是层功能.
为',

(44)
即。系数都是1。第一分圆多项式系数以外和0系数为和。这是真的,因为105年是第一个数字有三个不同的奇怪的'因素,也就是说,1979年(麦克莱伦和雷德,施罗德1979)。的最小值的有一个或多个系数 , ,,……0,105,385,105,385,2805,3135,6545,6545,10465,10465,10465,10465,10465,11305,……(OEISA013594).
这似乎是真的,,如果因素,因素包含一个割圆多项式。例如,

(45)

(46)
这个观察检查(考2000)。如果和',那么是不可约的。
Migotti(1883)显示系数的为和截然不同的质数只能是0,。林和梁(1996)认为

(47)
为'。写totient函数作为

(48)
,让

(49)
然后
1。敌我识别对于一些和 ,
2。敌我识别为和 ,
3所示。否则 .
的数量条款是,和术语的数量是。此外,假设,然后中间系数的是 .
角度的割圆多项式计算了黄土(1936),Diederichsen(1940),和很有(1970)。众所周知,如果,也就是说,和相对'(很有1975)。很有(1975)显示为正整数和和任意非零复数和 ,

(50)
在哪里是最大公约数的和 ,是totient函数,是默比乌斯函数,产品的因数。如果和是不同的质数和,然后(50)简化

(51)
下表给出了角度 ,(OEISA054372).

1
2
3
4
5
6
7
1
0

2
2
0

3
3
1
0

4
2
2
1
0

5
5
1
1
1
0

6
1
3
4
1
1
0

7
7
1
1
1
1
1
0
连续1 s的数量在这个表的行是由0,0,1,1,3,3,5,4,6,7,9,……(OEISA075795).
的割圆多项式有特别好的麦克劳林级数

(52)
的系数1 0 ,0 1 1 0 ,,……(OEISA010892)是由解决递归方程

(53)
与(Wolfram 2002,p。128年),给予明确的形式

(54)
有趣的是,任何序列满足线性递归方程

(55)
可以写成

(56)
参见:

Totient函数

totient函数,也被称为欧拉totient函数,定义为的数量正整数这是互质(即。,不含任何因子与),1是作为计算互质所有的数字。因为数量小于或等于互质一个给定的数字被称为totative,totient函数可以简单地定义为的数量totatives的。例如,有八个totatives24(1、5、7、11、13、17、19日和23), .
totient函数的实现Wolfram语言作为EulerPhi[n]。
数量被称为cototient的并给出了正整数的数量,至少有一个共同的主要因素 .
总是甚至为。按照惯例,,虽然Wolfram语言定义了EulerPhi[0]= 0与它的一致性FactorInteger[0]命令。的头几个值为,2,…1、1、2、2、4、2、6、4、6、4、10,……(OEISA000010)。的totient函数默比乌斯变换的1、2、3、4、……(斯隆和普劳夫1995,p . 22)。上面绘制的小 .
对于一个' ,

(1)
因为所有的数据不足是互质来。如果是一个权力的',那么这个数字有一个共同的因素的倍数 : , , ...,。有的倍数,所以许多因素互质来是

(2)

(3)

(4)
现在一般整除。让的数量是正整数不可分割的通过。和之前一样, , , ...,常见的因素,所以呢

(5)

(6)
现在我们有一些其他的'分。的整数整除是 , , ...,。但这些重复的 , , ...,。所以必须减去从术语的数量获得是

(7)

(8)
和

(9)

(10)

(11)
通过归纳,一般情况下

(12)

(13)
在产品运行在所有质数分。一个有趣的身份有关来是由

(14)
(答:Olofsson珀耳斯。通讯,2004年12月30日)。
另一个身份有关因数的来通过

(15)
totient函数连接到默比乌斯函数通过和

(16)
在因子之和在哪里,可以用归纳法证明事实上,和乘法(Berlekamp 1968年,页91 - 93,van线头和Nienhuys 1991,p . 123)。
totient函数了狄利克雷函数生成

(17)
为(哈代和赖特1979,p . 250)。
totient函数满足不平等

(18)
对所有除了和(肯德尔和奥斯本1965;Mitrinović桑德尔1995 p。9)。因此,唯一的值的是4和6。此外,对于合成的 ,

(19)
(Sierpiński和Schinzel 1988;Mitrinović桑德尔1995 p。9)。

也满足

(20)
在哪里是Euler-Mascheroni常数。的值的是由3、4、5、6、8、9、10、12、14、15、16、18、20、22日……(OEISA100966).
的除数函数满足同余

(21)

(22)
对所有质数也没有复合除了4、6和22是除数函数。这个事实证明了苏巴拉奥(1974),尽管其含义相反,“是真的无限多组合吗?”,在人(1994,第92页),随后一个查询从人(2004,第142页)。没有复合目前已知的解决方案

(23)
(Honsberger 1976年,p . 35)。
的一个必然的结果Zsigmondy定理导致下面的一致,

(24)
(Zsigmondy 1882,1882年Moree Ruiz 2004 ab)。
最初的几的

(25)
给出了1,3,104,164,194,255,495,584,975,……(OEISA001274),有共同的价值观2、8、48、80、96,128,240,288,480,……(OEISA003275).
唯一的的

(26)
是,给

(27)
(2004,p . 139)。
的值之间共享近包括

(28)

(29)

(30)

(31)
(2004,p . 139)。McCranie发现一个等差数列的六个数字等于totient功能,

(32)
以及其他发展的六个数字从1166400,1749600,…(OEISA050518).
如果哥德巴赫猜想是真的,那么对于每一个正整数吗,有质数和这样

(33)
(2004,p . 160)。如果这适用于Erdős问道和不一定',但这种轻松的形式仍未经证实的(人2004年,p . 2004)。
人(2004,第150页)讨论解决方案

(34)
在哪里是除数函数。f . Helenius已经发现365个这样的解决方案,第一个是2,8,12日,128年,240年,720年,6912年,32768年,142560年,712800年……(OEISA001229).
Morgan-Voyce多项式

Morgan-Voyce多项式多项式相关Brahmagupta和斐波那契多项式。他们定义的递归关系

(1)

(2)
为,

(3)
替代复发

(4)

(5)
与和,

(6)

(7)
多项式可以给出明确的总结

(8)

(9)
定义矩阵

(10)
给出了身份

(11)

(12)
定义

(13)

(14)
给了

(15)

(16)
和

(17)

(18)
Morgan-Voyce多项式相关斐波那契多项式通过

(19)

(20)
(偶像1968 ab)。
满足常微分方程

(21)
和这个方程

(22)
这些和其他几个身份涉及衍生品和多项式的积分是由专家(1968)。
参见:
Brahmagupta多项式

其中的一个多项式获得通过权力的Brahmagupta矩阵。他们满足递归关系

(1)

(2)
许多其他的列表是由Suryanarayan(1996)。明确地,

(3)

(4)
的Brahmagupta多项式满足

(5)

(6)
最初的几多项式是

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)
和

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)
采取和给了等于佩尔多和等于Pell-Lucas数字的一半。Brahmagupta多项式相关Morgan-Voyce多项式的关系,但由Suryanarayan(1996)是不正确的。
佩尔多

佩尔数字数据获得的年代的卢卡斯序列与和。他们对应佩尔多项式。同样,Pell-Lucas数字年代的卢卡斯序列与和和对应Pell-Lucas多项式 .
佩尔和Pell-Lucas号码也等于

(1)

(2)
在哪里是一个斐波那契多项式.
佩尔和Pell-Lucas数量满足递归关系

(3)
与初始条件和佩尔数字和Pell-Lucas数字。
的th佩尔和Pell-Lucas号码Binet-type显式给定的公式

(4)

(5)
的th佩尔和Pell-Lucas号码由二项式总结给出

(6)

(7)
分别。
佩尔和Pell-Lucas数量满足身份

(8)

(9)

(10)
和

(11)

(12)
为,1,…,佩尔数字是0、1、2、5、12日29日,70年,169年,408年,985年,2378年……(OEISA000129).
为佩尔数',这是必要的
拉盖尔多项式

拉盖尔多项式的解决方案到拉盖尔微分方程与。他们是上文所述和,2,…5和实现Wolfram语言作为LaguerreL[n x]。
最初几个拉盖尔多项式

(1)

(2)

(3)

(4)
当下令从最小到最大的权力和分母提出,三角形的非零系数是1;1;2、,1;,18岁,1;24日,……(OEISA021009)。领先的分母是1,2,,24岁,,720,,40320,,3628800,……(OEISA000142).
给出了拉盖尔多项式之和

(5)
在哪里是一个二项式系数.
的罗德里格斯表示拉盖尔多项式的

(6)
和生成函数对拉盖尔多项式

(7)

(8)
一个围道积分这通常被视为拉盖尔多项式的定义是由

(9)
在哪里轮廓包含原点但不是重点(Arfken 1985,pp。416年和722年)。
拉盖尔多项式满足递归关系

(10)
(Petkovšek et al . 1996年)

(11)
相关的解决方案拉盖尔微分方程与和一个整数称为拉盖尔多项式相关联(Arfken 1985,p . 726),或者在旧文学,Sonine多项式(Sonine 1880,41页,惠塔克和沃森1990,p . 352)。
参见:拉盖尔多项式相关联,拉盖尔微分方程,多元拉盖尔多项式,正交多项式
WOLFRAM相关网站:
引用:
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Wolfram | Alpha引用:拉盖尔多项式
引用这个:
Weisstein,埃里克·W。“拉盖尔多项式。“从MathWorld——Wolfram Web资源。
Wolfram Web资源
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尝试的东西:
拉盖尔多项式相关3 0
拉盖尔多项式阶1
拉盖尔多项式阶5

三维各向同性谐振子
s·m·布林德

生成函数和罗德里格斯的量子力学公式中使用的特殊功能
s·m·布林德

谐振子的维格纳函数
萨米拉巴拉米

拉盖尔多项式相关联
相关的解决方案拉盖尔微分方程与和一个整数称为拉盖尔多项式相关联(Arfken 1985,p . 726),或者在旧文学,Sonine多项式(Sonine 1880,41页,惠塔克和沃森1990,p . 352)。拉盖尔多项式的实现有关Wolfram语言作为LaguerreL(n,k,x)。的不相联系的拉盖尔多项式,

(1)
的罗德里格斯表示拉盖尔多项式相关联

(2)

(3)

(4)

(5)
在哪里是一个惠塔克函数.
相关的拉盖尔多项式是一个Sheffer序列与

(6)

(7)
给生成函数

(8)

(9)
通常的因素在哪里在分母上被压制(罗马1984年,p . 31)。许多有趣的属性关联的拉盖尔多项式的事实(罗马1984年,p . 31)。
相关的拉盖尔多项式给出明确的公式

(10)
在哪里是一个二项式系数,Sheffer身份

(11)
(罗马1984年,p . 31)。
相关的拉盖尔多项式是正交的关于权重函数 ,

(12)
在哪里是克罗内克符号。他们也满足

(13)
递归关系包括

(14)
和

(15)
的导数是由

(16)

(17)
一个有趣的身份

(18)
在哪里是γ函数和是第一类贝塞尔函数(Szego 1975,p . 1975)。积分表示

(19)
为1,。的多项式判别是

(20)
(Szego 1975,p . 1975)。的内核多项式是

(21)
在哪里是一个二项式系数(Szego 1975,p . 1975)。
拉盖尔多项式有关的前几

(22)

(23)

(24)

(25)
相关的拉盖尔多项式的泛化不一定是整数称为拉盖尔函数(Arfken 1985,p . 726)或广义拉盖尔函数(阿布拉莫维茨和Stegun 1972,p . 1972)。这些广义拉盖尔多项式可以被定义为

(26)
在哪里是Pochhammer象征和是一个第一类合流超几何函数(Koekoek和Swarttouw 1998)。实现它们Wolfram语言作为LaguerreL(n,α,x)。

超几何函数

一个广义超几何函数是一个函数可以定义的形式超几何级数,即,一系列连续的比率可以写

(1)
(的因素在分母由于历史原因存在符号。)
这个函数对应于 ,是第一个超几何函数研究(一般来说,最常出现在物理问题),所以经常被称为““超几何方程,或者更明确,高斯的超几何函数(高斯1812,巴恩斯1908)。更加迷惑,“超几何函数”这个词不太常用的意思封闭的形式和“超几何级数”有时被用来指超几何函数。
超几何函数的解决方案超几何方程,它有一个常规的奇异点在起源。获得的超几何函数超几何方程

(2)
使用弗罗贝尼乌斯方法减少它

(3)
给指数方程

(4)
将这个插入到拟设系列

(5)
然后给出了解决方案

(6)
这就是所谓的常规解决方案,表示

(7)

(8)
这是收敛的如果不是一个负整数(1)所有和(2)单位圆如果。在这里,是一个Pochhammer象征.
完整的解决方案超几何方程是

(9)
任���的超几何级数是收敛的 ,,为真正的,对于如果 .
衍生品的是由

(10)

(11)
(Magnus和Oberhettinger 1949,p . 8)。
超几何函数有特殊参数减少基本功能,例如,

(12)

(13)

(14)

(15)
积分超几何函数

(16)
如图所示,1748年欧拉(1935贝利,页4 - 5)。巴恩斯(1908)了围道积分

(17)
在哪里和路径是弯曲的(如果有必要)单独的两极 , , ... (1,从两极…),1…(贝利1935年,页4 - 5;维特克和沃森1990)。
奇怪的是,在一些非常特殊的点,超几何函数可以假设合理,

(18)

(19)
(m . Trott per。通讯,8月5日,2002;Zucker和乔伊斯2001),二次方根

(20)

(21)
(Zucker和乔伊斯2001)和其他精确值

(22)

(23)

(24)
(Zucker和乔伊斯2001,2001)。
无限的优雅的合理值超几何函数给出了合理的参数

(25)
为3……,

(26)
(m·l·格拉瑟,珀耳斯。通讯,2003年9月26日)。这给特定的身份

(27)
为 .
超几何函数可以使用欧拉超几何转换

(28)

(29)

(30)

(31)
在任何一个四个等价形式

(32)

(33)

(34)
(阿布拉莫维茨和Stegun 1972,p . 559)。
也可以写成一个线性组合

(35)
贝利(巴恩斯1908;1908年,页3 - 4,惠塔克和华生1990,p . 291)。
Kummer领军发现所有六个解决方案(不一定是定期在原点)超几何方程:

(36)

(37)

(38)

(39)

(40)

(41)
(阿布拉莫维茨和Stegun 1972,p . 563)。
应用欧拉超几何转换然后Kummer领军的解决方案给所有24可能形式的解决方案超几何方程:

(42)

(43)

(44)

(45)

(46)

(47)

(48)

(49)

(50)

(51)

(52)

(53)

(54)

(55)

(56)

(57)

(58)

(59)

(60)

(61)

(62)

(63)

(64)

(65)
(Kummer领军Erdelyi et al . 1836;1836年,页105 - 106)。
Goursat(1881)和Erdelyi et al。(1981)给许多超几何变换公式,包括几个立方的转换。
许多数学物理的函数可以表示为超几何函数的特殊情况。例如,

(66)
在哪里是一个勒让德多项式.

(67)

(68)
完整的椭圆积分和黎曼p系列也可以表达的。特殊值包括

(69)

(70)

(71)

(72)

(73)

(74)
Kummer领军的第一个公式给了

(75)
在哪里 , ,,....许多额外的身份由阿布拉莫维茨和Stegun(1972,第557页)。
可以推广到超几何函数广义超几何函数

(76)
一个函数的形式被称为第一类合流超几何函数,一个函数的形式被称为合超几何限制函数.