FIR和IIR.docx

1．数字滤波器
数字滤波器可以分为IIR数字滤波器和FIR数字滤波器。FIR数字滤波器在保证幅度特性满足要求的同时，能够做到严格的线性特性。与IIR数字滤波器相比,FIR数字滤波器的实现是非递归的，稳定性好，精度高；更重要的是FIR数字滤波器在满足幅度响应要求的同时，可以获得严格的线性相位。因此，它在高保真的信号处理中，如数字音频、图像处理、数据传输和生物医学等领域得到广泛应用。
数字滤波器的概述
所谓数字滤波器，是指输入输出均为数字信号，通过一定的运算关系，改变输入信号中所含频率成分的相对比例，或则滤除某些频率成分的器件。数字滤波器具有稳定性高、精度高、灵活性大等突出优点。对于数字滤波器而言，若系统函数为H(z),其脉冲响应为h(n),输入时间序列为x(n),则它们在时域内的关系式如下：
(1-1)
在Z域内，输入和输出存在如下关系：
(1-2)
式中， X(z)、Y(z)分别为x(n)和y(n)的Z变换。
在频域内，输入和输出则存在如下关系：
(1-3)
式中，是数字滤波器的频率特性；、分别为x(n)和y(n)的频谱，而为数字角频率。
数字滤波器的分类
数字滤波器可以有很多种分类方法，但总体上可分为两大类。一类称为经典滤波器，即一般的滤波器，其特点是输入信号中的有用成分和希望滤除的成分占用不同的频带，通过合适的选频滤波器可以实现滤波。例如，若输入信号中有干扰，信号和干扰的频带互不重叠，则可滤出信号中的干扰得到纯信号。但是，如果输入信号中信号和干扰的频带相互重叠，则干扰就不能被有效的滤除。另一类称为现代滤波器，如维纳滤波器、卡尔曼滤波器等，其输入信号中有用信号和希望滤除的频带成分重叠。对于经典滤波器，从频域上也可以分为低通、高通、带通和带阻滤波器。从时域特性上看，数字滤波器还可以分为有限脉冲响应（FIR，finite impulse response）数字滤波器和无限脉冲响应（IIR, infinite impulse response）数字滤波器。
对于有限脉冲响应（FIR）数字滤波器，其输出y(n)只取决于有限个过去和现在的输入，x(n),x(n-1),…,x(n-m),滤波器的输入输出关系可表示为
(1-4)
对于无限脉冲响应（IIR）数字滤波器，它的输出不仅取决于过去和现在的输入，而且还取决于过去的输出，其差分方程为
(1-5)
该差分方程的单位冲激响应是无限延续的。
数字滤波器设计指标
设数字滤波器的传输函数用下式表示：
(1-6)
式中，｜H(e)｜为幅频特性，为相频特性。幅频特性表示信号通过滤波器后各频率成分的衰减情况，相频特性则反映各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况。通常，选频滤波器的指标要求都以幅频特性给出，对相频特性不作要求，如果需要对输出波形有严格要求，如语音合成、波形传输等，则要求设计线性相位数字滤波器。
数字滤波器的参数指标是、、和。和分别称为通带截止频率和阻带截止频率。通带和阻带内允许的衰减一般用分贝数表示，通带内允许的最大衰减用表示，阻带内允许的最小衰减用表示，和分别定义为

dB (1-7）
dB (1-8)
式中均假定已被归一化为1
2． FIR数字滤波器设计基础
FIR数字滤波器的特点
FIR滤波器在保证幅度特性的同时，很容易做到严格的线性相位特性。在数字滤波器中，FIR滤波器的最主要特点是没有反馈回路，故不存在不稳定的问题；同时，在幅度特性可以任意设置的同时，保证了精确的线性相位。稳定和线性相位是FIR滤波器的突出优点。另外还有以下特点：设计方式是线性的；硬件容易实现；滤波器过渡过程具有有限区间；相对IIR滤波器而言，阶次较高，其延迟也要比同样性能的IIR滤波器大得多。
FIR数字滤波器的线性相位条件：
设滤波器单位脉冲响应的长度为N，系统函数为

由此式可见，H(z)是的(N-1)次多项式,它在Z平面上有(N-1)个零点，原点z=0是(N-1)阶重极点，位于r =1的单位圆内，系统永远稳定。稳定性和线性相位特性是FIR滤波器的突出优点。
FIR滤波器的设计任务是选择有线长度的h(n)，使传输函数H(e)满足要求。
线性相位条件：
对于长度为N的h(n)，传输函数为

式中,称为幅度特性，称为相位特性。线性相位是指相位函数满足如下特性：或, 是起始相位，为常数，一般称第一种情况为第一类线性相位，称第二种情况为第二类线性相位。
满足第一类线性相位的充要条件是：h(n)为实序列，并且对(N-1)/2偶对称，即；满足第二类线性相位的充要条件是：h(n)为实序列，并且对(N-1)/2奇对称，即。
FIR数字滤波器的基本结构
FIR滤波器的基本结构有以下几种：直接型、级联型、线性相位型、频率采样型。
1. 直接型
设FIR滤波器的单位冲击响应h(n)为一个长度为N的序列，则滤波器系统函数为：表示这一系统输入输出关系的差分方程为
(2-5)
直接由差分方程可得出对应的网络结构如图2-1所示：

图2-1 FIR滤波器的直接型结构
直接型结构的优点：简单直观，乘法运算量较少。
缺点：调整零点较难。
2．级联型
当需要控制滤波器的传输零点时，可将H(z)分解为实系数二阶因子的乘积形式：

式中，为的变换，，，为实数。级联型结构如图2-2所示：

图2-2 FIR滤波器的级联型结构
该结构的优点：调整零点比直接型方便。
缺点：中的系数比直接型多，因而需要的乘法器多。当的阶次高时，也不易分解。
3.线性相位型结构
FIR滤波器的线性相位结构有偶对称和奇对称，不论为偶对称还是奇对称都有：
当N为偶数时，系统函数为

当N为奇数时，系统函数为

对这两种情况，都可以用FIR直接型实现，其信号流图如图2-3所示。

(a)N为偶数

(b)N为奇数
图2-3 线性相位型结构
这种结构在本质上是直接型，但乘法次数比直接型省了一半。
4．频率采样型
频率采样型结构是一种用系数将滤波器参数化的一种实现结构。一个有限长序列可以由相同长度频域采样值惟一确定。
系统函数在单位圆上作N等分取样就是单位取样相应h(n)的离散傅里叶变换。与系统函数之间的关系可用内插公式表示：
式中

这样，是由梳状滤波器和N个一阶网络的并联结构进行级联而成的，其网络结构（信号流图）如图2-3所示。是一个梳妆网络，其零点为
, k= 0, 1，2…，N-1
刚好和极点一样，等间隔地分布在单位圆上。理论上，极点和零点相互抵消，保证了网络的稳定性。

图2-5 FIR滤波器的频率采样结构
频率采样结构的优点：
1)在频率采样点，，只要调整就可以有效地调整频响特性。
2）只要长度N相同，对于任何频响，其梳状滤波器部分和N个一阶网络部分完全相同，只是各支路增益不同。相同部分便于标准化、模块化。
缺点：
1）寄存器长度都是有限的，零、级点可能不能正好抵消，造成系统不稳定。2）当N很大时，其结构很复杂，需要的乘法器和延时单元很多。
3． IIR数字滤波器设计基础
一个数字滤波器的系统函数可以表示为：
==
直接由得出表示输入输出关系的常系数线性差分方程为：

式中、为滤波系数，当均为零时，该滤波器为FIR数字滤波器，当不均为零时，则为IIR数字滤波器。与FIR数字滤波器相比，IIR数字滤波器可以用较低的阶数获得高的选择性，所用的存储单元少，成本低、信号延迟小，并且IIR数字滤波器可以借助于模拟滤波器的设计成果，设计工作量相对较小，为此，本文就IIR数字滤波器进行相关讨论。
IIR数字滤波器的基本结构
IIR数字滤波器有直接型、级联型和并联型三种基本结构。由IIR数字滤波器的阶差分方程(1.1.2)式可知，设==2，则网络结构如图1-1所示。
x(n)
a0
b1
a2
b0
a1
y(n)
z-1
z-1

图1-1 直接型结构

IIR数字滤波器的设计方法
IIR数字滤波器的设计方法通常有模拟转换法、零极点累试法和优化设计法。
1. IIR数字滤波器的模拟转换设计法
利用模拟滤波器成熟的理论和设计方法来设计IIR数字滤波器是经常使用的方法。设计过程是：按照技术要求设计一个模拟滤波器，得到滤波器的传输函数，再按一定的转换关系将转换成数字滤波器的系统函数。将传输函数从s平面转移到z平面的方法有多种，但工程上常用的是脉冲响应不变法和双线性变换法。
2. IIR数字滤波器的零极点累试法
上述介绍的模拟转换设计法实际上是数字滤波器的一种间接设计方法，而且幅度特性受到所选模拟滤波器特性的限制。例如巴特沃斯低通幅度特性是单调下降，而切比雪夫低通特性带内或带外有上、下波动等，对于要求任意幅度特性的滤波器，则不适合采用这种方法。下述介绍的在数字域直接设计IIR数字滤波器的设计方法，其特点是适合设计任意幅度特性的滤波器。
在IIR数字滤波器的直接设计法中零极点累试法较为常用，设单位脉冲响应的零极点表达式为：

按照（1.1.3）式，系统特性取决于系统零极点的分布，通过分析，我们知道系统极点位置主要影响系统幅度特性峰值位置及其尖锐程度，零点位置主要影响系统幅度特性的谷值位置及其凹下的程 度；且通过零极点分析的几何作图法可以定性地画出其幅度特性。上面的结论及方法提供了一种直接设计滤波器的方法。这种设计方法是根据其幅度特性先确定零极点位置，再按照确定的零极点写出其系统函数，画出其幅度特性，并与希望的进行比较，如不满足要求。可通过移动零极点位置或增加（减少）零极点，进行修正。
3.优化设计法
IIR 数字滤波器除模拟转换设计法和零极点累试法外，还有一种直接在频域或者时域中进行设计，联立方程后需要计算机作辅助运算的方法，即所谓的优化设计法。