高中数学1.1-1集合知识点精析与应用.docx

高中数学

第一章 函数
本讲知识框图

1.1集合
重点难点归纳
重点 集合的表示方法，集合间的基本关系，集合的基本运算
难点 集合间的基本关系的运用，尤其是涉及参数的问题
本节需掌握的知识点 同重点

知识点精析与应用

知识点精析
思考——问题提出
问题1
李刚和王强是初中同班同学，今年两人又升入了同一所高中，李刚被分在高一一班，王强被分在高一二班，报道那天，他们有以下的对话：
①李刚问：你班有多少名咱们初中时的同班同学？
②王强问：咱们两班一共有咱们初中时的同班同学多少人？
通过以上对话，我们可以获得的信息是：①高一一班、二班都是整体，也可以视为全体、总体，李刚属于一班，王强不属于一班；②李刚的提问还是一个整体，这个整体包含于高一二班那个整体；③王强的提问实际上是两个整体的合并。
问题2
给出三组数，即
A：2,4,6,8,10；
B：1，2,3,5,7,9,10；
U：1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.
② 8属于数组A、B吗？
②数组A、B包含于数组U吗？
③ 数组A、B合并在一起，其结果是什么？
④ 既是数组A中的数又是数组B中的数，可以组成一个怎样的数组？
⑤ 在U中去掉A，剩余部分是一个怎样的数组？
探究——抽象概括
问题1、问题2告诉我们，收集研究对象是数学活动的第一步，我们这里要学习的集合，其目的就是收集研究对象，而后规定被收集对象的表达形式，探究其中的规律。
1.集合的含义与表示
（1） 集合的含义
一般地，我们把被研究的对象称为元素，把一些元素组成的总体（或称全体、整体）叫做集合，简称为集。
通常用A，B，C，…表示集合，用a，b，c，…表示元素。如果a中的元素，就说a属于A，记为a∈A；如果b∉B。
为了方便，对常数用的数集约定如下：
全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N；
所有正整数组成的集合称为正整数集，记作N*或N+；
全体整数组成的集合常委整数集，记作Z；
全体有理数组成的集合称为有理数集，记作Q；
全体实数组成的集合称为实数集，记作R
（2）集合的表示方法
①列举法
由数2,4,6,8,10组成的集合可表示为{2,4,6,8,10}
像这样把集合的元素一一列举出来写在大括号（或称花括号）内表示集合的方法叫做列举法
②描述法
满足条件x+1<0的实数x的集合可以表示为A={x|x<-1}；
方程x²-3x-4=0的解的集合（简称解集）可表示为B={x∈R| x²-3x-4=0}；
一次函数y=2x-1的图像时一条直线，这条直线可表示为C={（x，y）| y=2x-1}.
像以上三例这样，用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法。
表示有限集，即表示含有有限个元素的集合，一般用列举法；表示无限集，即表示含有无限个元素的集合，一般用描述法。
（3）空集
有一种集合很特殊，例如，{x∈R| x²+3=0}，{ x∈R| x²<0},{(x,y) |y= x²,且y=x-1}，这样的集合不含有任何元素，但却依然有它的存在价值。
我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为Ø
2.集合间的基本关系
集合间的基本关系包括三个问题，即子集、真子集、相等。为了方便，我们把它们归纳在一个表格里（表1-1），供参考。
表1-1 集合间的基本关系

定义
性质与说明
韦恩图
子集
如果非空集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作A ⊆B（或B ⊇A）
规定：Ø⊆A（A是任意集合）
① A⊆A
② Ø⊆A
③ 若A ⊆B，B ⊆C，则A ⊆C
④ 含有n个元素的集合，共有2^n个子集；
⑤ A不是B的子集，记作A⊊B

真子集
如果集合A是非空集合B的子集，且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，记作A⊊B（或B⊋A）
①空集是任何非空集合的真子集；
②若A⊊B，B⊊C，则A⊊C；
③含有n个元素的集合，真子集的个数是2^n-1

集合相等
对于两个集合A与B，如果A⊆B，同事B ⊇A，我们就说这两个集合相等，记作A=B
① Ø= Ø
② 两个相等的非空集合A和B，它们的元素是完全相同的

3.集合的基本运算
集合的基本运算包括三类，即补运算、交运算和并运算，为了使用上的需要，我们也把它们写在一个表格里（表1-2），供参考。
表1-2 集合的基本运算

定义
性质与说明
韦恩图
补集
已知全集U（非空集），集合A ⊆U,由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫做集合A在U中的补集，记作CuA即CuA={x|x∈U且x∉A}
① Cu(CuA)=A;
② Cu Ø=U;
③ CuU= Ø

交集
由所有属于非空集合A且属于非空集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的交集，记作A∩B={{x|x∈A，且x∈B}，规定：Ø∩A= Ø，A是任意集合
① A∩Ø= Ø;
② A∩A=A;
③ A∩B=B∪A；
④ A∩(CuA)= Ø;
⑤ 若A∩B=A，则A⊆B，反之若A⊆B，则A∩B=A。简记为A∩B=A⇔A⊆B

并集
由属于非空集合A或属于非空集合B的所有元素组成的集合，叫做A与B的并集，记作A∪B，即A∪B={ x∈A，或x∈B }。
规定：Ø∪A=A，A是任亿集合
①A ∪Ø=A;
②A∪A=A
③ A∪B=B∩A
④ A∪B=B⇔ A⊆B
⑤ A∪（CuA）=U
⑥ (CuA) ∩(CuB)=Cu(A∪B)
⑦ (CuA) ∪(CuB)=Cu(A∩B)
⑧ 用card(M)表示集合M中元素的个数，card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)

解题方法指导

1.集合的含义与表示
学习集合，意在收集数学对象，以确定数学问题的定义范围，在本阶段的学习中，要把握住两点，一是准确地表达一些对象构成的集合；二是判断某个或某些元素是否属于这样的集合。

【例1】 判断下列各组对象能否构成集合？对能够成集合的，分别指出属于它和不属于它的一个元素：
（1） 满足1<2x-1≤3的实数x;
（2） 方程x²-2x+1=0的解；
（3） 满足x∈Z且-2<x≤0的x；
（4） 抛物线y= x²上的所有点；
（5） 函数y=2020x的值

分析 按集合的含义做答
解 （1）满足1<2x-1≤3的实数x能构成集合，这个集合是A={x|1<x≤2}，其中2∈A，1∉A。
点评 一个集合确定了，它的元素也就确定了，这一性质称为元素的确定性，如，A={x|1<x≤2}确定了，它的元素也就确定了，对32和3，我们可以确定32∈A，3∉A.
（2）方程x²-2x+1=0的解能构成集合，这个集合是B={x∈R| x²-2x+1=0}={x|(x-1)2=0}={1},其中1∈B，0∉B。
点评 从重根的角度讲，方程x²-2x+1=0有二重根x=1,方程的解集我们写成了{1}，而没有写成“{1,1}”，这是为了确保集合中的任何两个元素互异，这一性质称为元素的互异性，一般地，集合中的元素都是互异的。
（3）满足x∈Z且-2<x 0≤0的x能构成集合，这个集合是C={-1,0}={0，-1}，其中0∈C，1∉C。
点评 {-1,0}={0，-1}表明，集合中的元素是无序的，这一性质称为元素的无序性。
（4）抛物线y= x²上的所有点能构成集合，这个集合是D={（x,y）| y= x² },其中（2,4）∈D，（2,3）∉D
点评 集合D是点集，所以竖线前面我们写成了“（x,y）”，这是用坐标表示点，这个例子告诉我们，写集合时，竖线前面写什么，要看这个集合是由什么样的元素构成的，由点构成，写成“（x,y）”，由实数构成，写成“x”，由函数值构成，写成“y”,(x,y)、x、y一般被称为代表元素。
（5）函数y=2020x的值能构成集合，这个集合是E{y| y=2020x},其中2020∈E（x=1）,0∉E
点评 本例中，代表元素写成“x”是不妥的，尽管函数值也是实数。
2.集合间的基本关系
集合间的基本关系是一种包含与非包含的关系，A⊆B，是指：①A= Ø；②A≠Ø时，对任一x∈A,都有x∈B.A⊊B,是指A⊆B，且至少有一个x∈B使得x∉A,A=B,是指A⊆B，同事B⊆A,A不是B的子集，记为A⊈B。
要注意两组符号“∈,∉”与“⫅，⫋，⊈”在用法上的区别，前者用在元素与集合之间，后者用在集合与几何之间。
【例2】 用适当的符号天空：
（1）2___________{x| x²-4x+4=0}；
（2）{x| 3≤x<4}___________{x| 6≤2x≤8}；
（3）Ø___________{x∈Z|0<x<3}___________{x| (x-1)(x-2)=0}__________
{y|y=-x,x∈Z,且-3<x<3 }.
分析 要注意，元素与几何之间的关系是丛书关系，集合与几何之间的关系是包含关系，在符号的选用上市有区别的。
解 （1）{x| x²-4x+4=0}={x| （x-2）2=0}={2}，它是一个集合，2是一个元素。
在空白处填“∈”。
（2）{x| 6≤2x≤8}={x| 3≤x≤4}；但4∈{x| 3≤x≤4}时，4∉{x| 3≤x<4}。
在空白处填“⫋”。
（3）{x∈Z|0<x<3}={1,2}；{x| (x-1)(x-2)=0}={1,2}；{y|y=-x,x∈Z,且-3<x<3 }={y|y=-x,y=-2, -1,0,1,2 ={2,1,0, -1, -2}。
在空白处依次填⫋，=，⫋。
点评 讨论集合间的包含关系时，在A⫋B是明确的情况下，不要把它写成A⊆B，本例就是这样处理的。
【例3】 已知A= {x|x=2n+1,n∈Z},B= {y|y=4m±1,m∈Z},求证A=B
分析 只需证明A⊆B，B⊆A，从讨论2n+1与4m±1的关系入手即可。
证明 2n+1,n∈Z，表示所有的奇数；4m+1, m∈Z,表示奇数的一部分；4m-1 m∈Z,也表示奇数的一部分。
对m∈B，有y ∈A,
所以B⊆A。
对x ∈A,有x=2n+1,n∈Z.
①n=2k,k∈Z时，x=2(2k)+1=4k+1,k∈Z,x∈B；
②n=2k-1,k∈Z时，x=2(2k-1)+1=4k-1,k∈Z,x∈B.
①、②表明，对x∈A,有x∈B
所以A⊆B.
点评 通过A⊆B且B⊆A来证明A=B，方法上具有一般性.
3.集合的基本运算
集合的基本运算包括三种，即A∪B={ x∈A，或 x∈B }；A∩B={ x∈A，且 x∈B }；CuA={ x∈U，且 x∉A },其中A⊆U.
【例4】已知全集I={1,2,3,4,5,6}，A={1}，B={2,3}，求A∪B， A∩B，CIA, CIB,(CIA) ∩(CIB), CI[(CIA) ∪CIB].
分析 据集合的“并、交、补”作答.
解 ∵全集I={1,2,3,4,5,6}，A={1}，B={2,3}，
∴A∪B={1,2,3}；A∩B= Ø；CIA={2,3,4,5,6}；CIB={1,4,5,6}；（CIA）∩（CIB）={4,5,6}.
又∵（CIA）∪（CIB）={1,2,3,4,5,6}，
∴CI[（CIA）∪（CIB）]= Ø.
点评 解像本例这样的问题，计算上没有难度，关键是要把握好运算顺序.
【例5】设A={2，-1，x2-x+1},B={2y, -4,x+4},C={-1,7},且A∩B=C，求x与y的值.
分析 从A∩B=C切入，先确定x2-x+1，再对x+4进行分析，而后y的值就明确了.
解 A={2，-1，x2-x+1}，B={2y, -4,x+4}，C={-1,7}.
由A∩B=C，得
7∈A,7∈B, -1∈B.
∴在A中，x2-x+1=7，
∴x=-2,3.
当x=-2时，在B中x+4=2.
又∵2∈A，
∴2∈A∩B.
∵2∉C，
∴x=-2不合题意.
当x=3时，在B中x+4=7,
∴2y=-1,y=-12.
综上，有x=3,y=-12.
点评 在本例的解答中，对x=-2与x=3分别进行了讨论，这样做，层次分明，思路清楚，数学研究中，这样的讨论一般被称为分类讨论。
【例6】已知A={x| x²≥9}，B={x| x-7x+1≤0},C={x| |x -2| <4}.
（1）求A∩B及A∪C；
（2）设U=R，求A∩CU(B∩C).
分析 先将A、B、C具体化，然后根据交集、并集、补集的定义求解结果。
解 由x²≥9得，x≥3或x≤-3,
∴A={ x| x≥3或x≤-3}.
又由不等式x-7x+1≤0，得-1<x≤7,
∴B={ x|-1<x≤7 }.
又由|x -2| <4，得-2<x<6，
∴C={ x|-2<x<6 }，
（1）A∩B={ x|3≤x≤7 },如图1-1A.
A∪C={ x|x≤-3 ，或x>-2},如图1-1B.

（2）∵U=R，B∩C={ x|－1<x<6 }，
∴CU(B∩C)= { x| x≤－1，或x≥6}.
点评 在第（1）小题的解答中，从图上不难看出，纵向去数横线，两条横线者为“交集”，至少有一条横线者为“并集”，这样的解答方法具有一致性。三条横线、四条横线，如何确定交集、并集呢？从第（2）小题的解答中可以体会到，求补集的本质是做剪发运算，具体的表现在球B∩C的补集上了。
【例7】已知集合A={ x|x2 +(a+2)x+1=0,x∈R},且A∩R+= Ø，求实数a的取值范围（其中R+={正实数}）.
分析 集合A是方程x2 +(a+2)x+1=0的实根的集合，由于该方程中含有参数a，所以，对该方程的实根的存在性要结合A∩R+= Ø进行分类讨论。
解 A={ x|x2 +(a+2)x+1=0,x∈R},A∩R+= Ø，
所以，A∩R+= Ø等价于方程x2 +(a+2)x+1=0没有实根（即A=Ø），或者只有非正实根。
（1）当A=Ø时，即方程x2 +(a+2)x+1=0无数实根时，有
△=(a+2)2－4<0
解得－4<a<0
(2)当方程x2 +(a+2)x+1=0只有非正实数根时，有
△=（a+2）2－4≥0－（a+2）≤0a≥0
由（1）、（2），得a＞－4.
实数a的取值范围是｛a︱a＞－4｝.
点评 解本例时，对方程没有实根或者只有非正实根的处理，从逻辑上讲，是分类讨论，其优势是它使我们迅速地找到了解决矛盾的切入点，平稳地步入了解题状态，这样思考问题，方法上有普遍性.
【例8】设m、n∈N+,m＞n，A=｛1,2，…，m｝，B=｛1,2，…，n｝.
（1）求C=CAB，并回答C有多少个子集；
（2）满足D⊆A且B∩D≠Ø的D有多少个？
分析 解本例，要点是含有n个元素的集合共有2*个子集.
解 （1）由m、n∈N+,m＞n，A=｛1,2，…，m｝，B=｛1,2，…，n｝，可得
C=CAB=｛n+1,n+2,…,m｝.
C中共有元素m－(n+1)+1=m－n(个)，
所以，C有2m－n个子集.
（2）A有2m个子集，其中C是B的补集，且C有2m－n个子集，
所以满足D⊆A且B∩D≠Ø的D有（2m－2m－n）个.
点评 解第（1）小题的方法较常规，有一般性，解第（2）小题，正确地理解B∩D≠Ø很关键，其中D⊆A.
【例9】已知全集I=｛x︱0＜x＜10，x∈N+｝,A∩B=｛3｝,A∩(CIB)=｛1,5,7｝,(CIA) ∩(CIB)=｛9｝，求A和B.
分析 先把全集I具体化，再借助图形求解.
解 由I=｛x︱0＜x＜10，x∈N+｝，得
I=｛1,2,3,4,5,6,7,8,9｝.
把A∩B=｛3｝,A∩(CIB)=｛1,5,7｝,(CIA) ∩(CIB)=｛9｝用韦恩图表示出来（如图1-2），得
A=｛1,3,5,7｝，B=｛2,3,4,6,8｝.
点评 画图解答集合问题，直观、具体，方法值得提倡.

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