弧长法基本原理.docx

弧长法（Riks method）是目前结构非线性分析中数值计算最稳定、计算效率最高且最可靠的迭代控制方法之一，它有效地分析结构非线性前后屈曲及屈曲路径跟踪使其享誉"结构界"。大多数商业有限元软件(如ABAQUS、ANSYS等)也都将其纳入计算模块，作为一名工科生，机械式地"Step by Step"点击这些商业软件对话框的时候需"知其然，知其所以然"，否则必将"Rubbish in，Rubbish out"。

图1 弧长法迭代求解过程
         图1 所示为弧长法的迭代求解过程，下标表示第个荷载步，上标表示第个荷载步下的第次迭代，显然，若荷载增量，则迭代路径为一条平行于轴的直线，即为著名的牛顿—拉夫逊法。
        设第个荷载步收敛于，那么对于第个荷载步来说，需要进行次迭代才能达到新的收敛点。外部参照力，在ABAQUS需要用户以外荷载的形式输入，因此，作用在结构上的真实力大小为。由于牛顿—拉夫逊法在迭代过程中，以荷载控制（或位移控制）时，荷载增量步（或位移增量步）为常数，它无法越过极值点得到完整的荷载—位移曲线，事实上，也只有变化的荷载增量步才能使求解过程越过极值点。从图1中可以看出，弧长法的荷载增量步是变化的，可以自动控制荷载，但这又使原方程组增加了一个多余的未知量，因此需要额外补充一个控制方程，即：
（1）
        该控制方程说明，其迭代路径是以上一个荷载步收敛点为圆心半径为的圆弧，所以称为弧长法。通常用户需指定初始弧长半径或固定的弧长半径，当设定了初始弧长半径时，根据收敛速率，一般按式（2）计算，其中为荷载步期望收敛迭代次数，一般取6, 为上一荷载步的迭代次数，大于10时取10。
（2）
           1. 当时，根据上一个荷载步收敛结束时的构形，得到用于第个荷载步收敛计算的切线刚度矩阵，即图1中的蓝色平行线的斜率。通过式（2）可得相应的切线位移。
（3）
（4）
（5）
        很容易由式（5）求得，但不能确定其符号，而的符号决定了跟踪分析是向前还是返回，因此非常重要。很多学者提出了不同的确定方法，Murray j.Clarke（1993），A Study of Incremental-iterative Strategies for Non-linear Analysis这篇文章详细地介绍了这些方法。 在ABAQUS中，符号按下式（6）确定：
（6）
       2. 当时，为了简化的求解过程，可以切平面法求解，即用垂直于切线的向量代替圆弧，即：

需要补充的关系式为：

        最后需要说明的是，假若考虑材料塑性行为，则每个迭代步的切线刚度矩阵应以当前迭代步的构形为准，即图1中的蓝色切线不再平行。