原子物理学第三次作业答案 (7).doc

第一章 量子力学前的原子物理学

§1．1 原子的外部和内部特性
“原子”的原始慨念：组成物质的最基本单元 (最小，不可再分离：atom－希腊文)
提出者：古希腊哲学家－德膜克利特（～B.C. 400）
古代中国人： 金，木，水，火，土 (五行说)；
古代云南彝族： 铜，木，水，火，土。
问题：不可再分离？原子→电子、原子核；原子核→质子，中子；
质子，中子® 基本粒子（中微子、光子、介子、超子，…）；
基本粒子®夸克®弦，…
说明：人们对“最基本单元”的认识是无止境的。
意义： 闪烁着人类认识世界的哲学光芒，但是，不具备科学的“实证”特征。
“实证”（有实验证据）：多大？多重？内部结构特性？
1.1.1 原子的外部特性
19世纪初：掌握了原子的外部特性：多大？多重？
(i) 摩尔（Mol）定义（1971年国际计量会议）：
一个系统物质的数量，该系统中包含的基本单元数与0.012 kg 的原子数相同。
说明： 1，“基本单元”可以是原子、分子或带电粒子等；
2，0.012 kg 的原子数=6.022×1023，
或NA（阿伏伽德罗常数）=6.022×1023/Mol。
(ii) 原子的相对质量（原子量，A）定义（1971年国际计量会议）：
1摩尔某种物质的质量[M(A)]和1摩尔的质量[M()]的1/12的比值，是这种物质的原子量（A）。
(iii) 原子的绝对质量（原子质量，mA）
已知： NA，A
按定义：A=M(A)/[M()/12], M(A)= A M()/12= A（g）
则： mA =A（g）/ NA＝A×1.661×10－24（g）＝A×1.661×10－27（kg）
例：，A＝12.0000,
一个原子的重量：12×1.661×10－27(kg)=19.93×10－27(kg)；
， A＝1.0078,
一个原子的重量：1.0078×1.661×10－27(kg)=1.674×10－27(kg)；
（vi）原子的尺寸
已知： NA ，A，r（g/cm3）；
则： 一个摩尔的原子所占的体积：Vmol＝A(g)/r；
另一方面，设rA为原子半径，一个原子的体积(球体)＝（4prA3/3）；
一个摩尔的原子所占的体积：Vmol＝NA（4prA3/3）
所以，rA = (3A/4pr NA)1/3 ～10－8cm ~ 10－10 m=1 A
例：H () , A＝1.0078, r =0.09（g/cm3）
rH ～1.6×10－8 (cm) ＝1.6 A
量子力学计算值： rH ＝a =0.53 A
1.1.2 原子的内部特性
19世纪末－20世纪初：基本掌握了原子的内部特性：
原子由带正电的原子核和带负电的电子组成，整体呈电中型；电子绕着原子核做圆周运动。
做出如上认识的三个著名实验：

（一） 汤姆逊（英国，Thomson，1897）的阴极射线实验

装置原图：

阴极射线管：

轴线管壁发光（忽略“阴极射线”的重量）

加偏转电场E后，射线向上偏转：说明带负电，受力＝qE

加偏转磁场B后，射线向下偏转：说明带负电，受力＝qVB

电场和磁场力平衡时，qE=qVB ® V=E/B；

撤去电场，阴极射线受罗伦滋力作用，在磁场内做半径为R的圆周运动；在磁场外做直线运动并偏离轴线。
由偏转角q 测量出R；由 mV2/R=qVB ® q/m=V/RB= E/RB2
d
D
R
q
q
R = d / sinq

结果： 1，阴极射线是一种带负电的粒子流；
2，求出了阴极射线的荷质比，此值和发出阴极射线的材料无关；
3，Thomson认为，阴极射线是一种比原子小的粒子（电子）流，阴极射线的荷质比就是电子的荷质比。

意义： 发现了电子，并由此发现获得1905年度的诺贝尔物理学奖。
问题： 物体带电量是否存在一个最小数值？qmin = e (electron) = ?,
（二） 密里根（美国，Milikan, 1910）的油滴实验

装置原图：

装置原理图：
Mg
QE
－

基本思想： 带电油滴在电场力QE和重力Mg作用下处于静止状态，Q＝Mg/E；
油滴带电量如果是某个最小电量qmin = e的倍数，即：Q＝Ne（N为整数），则平衡电场E＝Mg/Ne 应该是一系列分离的数值，反之亦然；
由这些分离的数值可求出油滴的最小带电量qmin，即电子电量e。

实验结果： 1，油滴带电量确实是一系列分离数值，即，物体带电量是“量子化”的；
2，物体带电量的最小值qmin = e＝1.6×10－19 C；® me=9.1*10-31 kg。

意义： 从实验上证实了油滴带电量的“量子化”，测量出了电子电量。密里根由此获得1915年度的诺贝尔物理学奖。

（三） 卢瑟福（新西兰，Rutherford,1909）的a粒子散射实验
背景：
1， 汤姆逊（剑桥大学卡文的许实验室主任）的“面包葡萄干”原子模型（西瓜子模型）：在原子尺度r0～10－10M内，原子的正电部分均匀分布（面粉），电子就如葡萄干，崁嵌在正电核（面粉）中。
r0～10－10 M
－
－
－
－

2, 卢瑟福是汤姆逊的研究生，熟悉“面包葡萄干”原子模型。
3, 1908年，卢瑟福由于对铀元素放射性的研究，获得诺贝尔化学奖。发现铀放射性由三个部分组成：（1）a射线（He核：He++粒子流）；（2）b射线（－e：电子流）；（3）g射线（电磁辐射：光子流）。其中，a粒子的速度达C/10000, 是高能粒子，可以作为“炮弹”轰击并研究其他粒子。
卢瑟福设想1：如果“葡萄面包干”模型正确，a粒子被原子的散射只能是小角度的散射（q小）。
（Why?）
1, a粒子的动量大，电子对a粒子的动量无影响（－e: 无斥力；me: Ma/ me～4 Mp/ me=4×1836），只需考虑“面粉”的影响；
2， a粒子受力：

(库仑定律)；
(高斯定律)。

a
r
Fa
q
Fout
Fin
小角度散射！
r0

装置原图：

实验结果：发现大角度散射，甚至背向散射（q＝180o）的a粒子。

结果说明：汤姆逊的“葡萄面包干”原子模型是错误的。

卢瑟福设想2： 如果原子的正电部分集中于一个非常小的空间区域rn中，rn<< r0，当r® rn ，
将很大，可以解释a粒子的大角度散射和背向散射。

a
rn
Fa
q
大角度散射！
背向散射！

由实验结果结合的a粒子散射公式，可知这个“非常小的空间区域”的尺度rn～10－14M，在此区域内集中了原子的正电部分和绝大部分原子质量，Rutherford将此区域称为“原子核”。
意义：发现原子核
在此基础上，Rutherford提出原子的核式模型：原子中，正电部分集中在 “原子核”中，电子绕核作圆周运动－－原子的行星运动模型。Fn = Fc ，即：
。
Ze
-e
-e

“伽里略发现了宇宙，卢瑟福发现了原子！”
原子核式模型的困境：
（1） 原子的不稳定性；
根据经典电动力学，带电粒子做加速运动将向外辐射能量。电子在动能耗尽后，将落入原子核中，导致原子的湮灭。
（2） 不能解释原子的线状光谱的特性。
按“核式模型”，电子的辐射频率fe＝Ve/2pr；Ve的连续变化导致电子的辐射频率是连续的。和实验观察不符合。

原子光谱和太阳光谱的比较

困境意味着旧的理论体系出现了问题，新的理论体系即将诞生。

§1.2 玻尔（Bohr，丹麦，1913）的氢原子理论

1.2.1 玻尔氢原子理论的三个要点

（1） 定态假设：
定态：原子中的一些特殊的状态，处于定态的原子，电子绕核做圆周运动而不辐射能量（解决原子的稳定问题）；
（2） 定态条件（量子化条件）：
氢原子的角动量必须满足：L＝nh/2p＝nℏ (n>=1的整数)；
h (普朗克常数)＝6.63×10－34（JS）
(3) 定态跃迁：
原子从一个定态跃迁到另一个定态时，以光子形式辐射或吸收能量。
说明： A，光子是爱因斯坦于1905为解释光电效应提出。光子能量满足：
E＝hn，式中，n: 光波的频率；
B，辐射过程：E2－E1＝hn；吸收过程：E1+ hn=E2；
C，定态«非定态；非定态«非定态的跃迁是不存在的。

Ze
-e
E2：(定态能量)

E1
E2> E1
hn= E2－E1

E1+hn= E2－

-e

1.2.2 由玻尔理论求定态能量和轨道半径
En=?；rn=?

(A) 电子绕核运动的向心力由核电荷（+e）和电子电荷（－e）间的库仑力提供；
（1）
Þ (电子动能)＝＝; r = (1，)
Ek (原子的动能)＝ (氢核动能)＋ (电子动能)～ （核不动！）
Ep(原子的势能)＝;
E(原子的总能)＝Ek＋Ep=;（负值！） （2）

(B) L(原子的角动量)＝Le+LN ～Le（核不动！）
＝mer2w＝merVe (Ve＝rw)
＝nℏ (定态条件) (n>=1整数) （3）
联立（1，），（2），（3）得：
＝En （定态能量是分离值） (4)
＝rn （定态轨道半径是分离值） (5)

问题及作业：
1，证明：在 (氢核动能)¹0（核在动！）的条件下，用m＝（折合质量，Mp: 质子质量）代替（4），（5）式中的me，可得氢原子的定态能量和轨道半径满足：

(4，)
rn ＝ (5，)
提示：氢核不动的条件下，才有Ek (原子的动能)＝Ek (电子动能)。但是，氢核不动是不合理的(因为有反作用力！)。为计算Ek (原子的动能)＝Ek (氢核动能)＋Ek (电子动能)，以原子的不动点rc(质心)基点。
L(原子角动量)＝IpwN＋Iewe=Mprc2w+ me(r-rc)2w＝r2wm ＝nℏ (定态条件)；(wN = we = w: why?)（用质心公式：rc＝）
Ek (原子的动能)＝ ＋ ＝＋＝m（rw）2（Vp= rcw; Ve= (r-rc)w）
Ep(原子的势能)＝ ＝－m（rw）2，（由 关系得到）

r
rc

·
-e
·
e

-Fe
Fe
Mp
me

2， 对类氢粒子（核外只有一个电子的带电粒子），如：He（Z＝2）一次电离后®He＋；Li（Z＝3）二次电离后® Li ＋＋；Be（Z＝4）三次电离后® Be ＋＋＋。证明：
； (4，，)
rn ＝ (5，‘)
3， H有两个同位素（Z相同，质量数不同的一类元素），D＝（氘: 比氢核多一个中子）和T＝（氚: 比氢核多两个中子）。中子：MN＝MP，不带电荷。求：En=?；rn=?。

1.2.4 由定态能量求跃迁过程产生的辐射能量（光子能量）、波长和频率

（1） 氢原子定态轨道半径和能量的简约表示 (取Mp/me=1836)
rn＝＝ n2a1 (n>=1整数) (5)
a1==0.53A（玻尔半径，原子尺度值）
＝－hc× (6)
constant＝＝1.09677×107M-1
e
-e
En2

En1
（2） 定态跃迁过程的辐射能量、辐射波长和频率

n2>n1 : En2> En1

i 辐射能量
hn ＝En2－En1
＝hc×） （7）
ii 辐射(电磁波)频率
n ＝(En2－En1)/ h
＝c× （8）
iii 辐射波长（波数表示）
=T(n1)- T(n2) （9）
其中，T(n)＝constant/ n2 (光谱项)

1.2.5 玻尔氢原子理论和实验的比较

1，发射光谱及其测量装置
发射光谱：光源的发光强度随波长或频率的分布
Il , n
l (n)

Il , n
l (n)

连续谱，如：白炽灯 分离谱（线状谱），如：原子发光

测量装置：
17世纪，牛顿用棱镜分解太阳光的实验 －－最早的光谱测量装置

n (l)：色散
阳光
狭缝
棱镜
屏

20世纪中期的光谱测量装置：

f1
f2
照相胶片

现代光谱测量装置1（透射式光栅，衍射效率低）：

f1

透射式光栅

照相底片
f2

现代光谱测量装置2（用反射式光栅代替衍射式光栅。在衍射光栅中，单缝衍射的0级集中了光能的～70％，而单缝衍射的0级和无色散能力的多缝干涉的0级重合，使得衍射光栅的光能利用率效率极低）。

f2
f2
光电探测器
反射式光栅
凹面镜1
凹面镜2
光电探测器：
PD®PMT®CCD（1D）®CCD（2D）

2，吸收光谱及其测量装置
朗伯·比尔定律：

样品
I0(l)
I I-dI
0 x x+dx d

－dI µ I, dx Þ
－dI = a(l)Idx （10）
Þ
I(l,x) = I0(l)exp[-a(l)x] （11）

朗伯·比尔定律的微分形式(10)，朗伯·比尔定律的积分形式(11)，a(l)：吸收系数。
由（11），当x = d
a(l) =Ln[ (cm-1) (12)

l
a（l）
以a(l)为纵坐标，l为 横坐标所得曲线就是吸收光谱曲线。图示为原子蒸汽的吸收谱。

测量装置
连续谱光源
单色仪
f
样品池

3，氢原子发射光谱的实验结果
到1885年，研究者已发现了氢原子的14条谱线。巴尔末发现在可见光区（l: 370 nm ¾ 780 nm）的氢原子谱线波数满足公式：

n = 3, 4, 5, ¼；（B＝364.56 nm） (13)

（13）：巴尔末公式；满足（13）式的谱线成为巴尔末线系。
1889年，里德伯也研究了这些氢原子谱线，并提出了谱线波长遵循的经验公式：

n = m＋1, m＋2, m＋3, ¼；m =1,2,3, ¼ (14)

RH = 1.09721×107 M-1 (里德伯常数)；
（14）：里德伯公式。

1908年，帕邢在红外光区（l>800 nm）证实了的氢原子谱线波数满足里德伯公式（14），而且 m =3; n = 4, 5, 6, ¼
现将满足公式： n = 4, 5, 6, ¼ （15）
的氢原子谱线为帕邢线系；

1914年，赖曼在紫外光区（l<370 nm）证实了的氢原子谱线波数满足里德伯公式（14），而且 m =1; n = 2,3, 4, ¼
现将满足公式： n = 2,3,4, ¼ （16）
的氢原子谱线为赖曼线系。
氢原子谱线的三个线系（13），（15），（16）证实了里德伯（经验）公式的正确；

玻尔用其理论推出的（9）式，比较了里德伯公式（14）式，发现二者不仅在形式上相同；常数constant =1.09677×107M-1 也非常接近RH = 1.09721×107 M-1 (里德伯常数)！玻尔理论取得巨大的成功！1922年获诺贝尔奖！

"这真是一个伟大的发现！"―――爱因斯坦
4 几个重要概念
1） 里德伯常数
以Mp/me=1836计算折合质量m，得氢原子的里德伯常数，记为：RH
RH ＝ 1.09677×107 M－1；
所以，（7），（8），（9）三式中的“constant”，用RH替代。

M nuclear/me= ¥ Þ m＝me时的里德伯常数，记为：R¥或R
R¥ ＝ R ＝ 1.09737×107 M－1

任意元素A (核的质量为MA)的里德伯常数，记为：RA
RA＝
2） 光谱学中常用能量单位及其转换
A J（焦耳）
B ev（电子伏特）：电子经1V的电压加速后获得的能量
1 ev＝1.6×10-19 J
C Hz (赫兹)： 在光子能量关系式（爱因斯坦公式）E＝hn中，用频率表示能量。
n＝E/h (赫兹)。[E（J），h(J.S)]
D cm-1 和M－1，在光子能量关系式E＝hn＝hc/l=hcs中，用波数表示能量。
s＝1/l＝E/hc。[E（J），h(J.S)，c (MS-1)]。
1 M－1=10-2cm-1，1cm-1=100M-1
3) 能级图
对氢原子，由＝－hc×constant / n2
＝－hcRH/n2 » －13.6 / n2 ( ev)
n =1, 2, 3, 4,…
巴尔末线系
n≧3 → 2
赖曼线系
n≧2 → 1
帕型线系
n≧4 → 3

能级图的同心圆表示：

：

能级图的常规表示：
-13.6
-0.84
-1.51
-3.40
0
1
4
3
2
n En (ev)
5
¥
赖曼系
n ≧ 2 ® 1
巴尔末系
n ≧ 3 ® 2
帕邢系
n ≧ 4 ® 3

4） 线系极限波长：n（上能级）= ¥ ® n，（各个线系下能级）对应的波长。
5） 基态，激发态，电离能，结合能
基态： 能量最低的态。对氢原子，n = 1对应的态，E1 ＝－13.6 ev 。
激发态： 能量比基态高的态。有第一，第二，…激发态。
电离能： 从基态将一个电子电离(n = ¥)所需的能量。见P212。
结合能：从激发态（或基态）电离一个电子需要的能量。
例题： P30，1.6
（1） 第一激发电势和电离电势；
（2） n = 2 ® n = 1谱线的波长。

分析 ：“电子偶素”和氢原子的区别：“电子偶素”的核是正电子（me, e）, 氢原子的核是一个质子（Mp, e）。
能级：En = －hcRA/n2， RA＝＝R¥ /2
En ＝ －hcRA/n2 ＝－hcR¥/2n2 ＝＝－6.8 /n2 (ev)
第一激发电势：从基态®第一激发态（即E1 ® E2 ）的电势。
E1 ＝－6.8 ev，E2 ＝－1.7 ev；E2－E1 ＝5.1 ev。
U1＝5.1 V
电离电势（先求电离能量）：E¥－E1＝0－（－6.8 ev）＝6.8 ev
U电离 ＝ 6.8 V
n = 2 ® n = 1谱线的波长：E2－E1= hc/l＝5.1 ev； l＝hc/(5.1 ev)
h=6.63×10－34（JS）；
c=3×108（MS-1）
5.1 ev =5.1×1.6×10－19（J）
l＝2.438×10－7 M＝243 nm (紫外线)

5 夫兰克－赫兹（德国人，1913）实验
玻尔理论预言：原子内部存在一系列分离的能级（定态能级）。
对氢原子及类氢离子，由光谱结构得到证实。对其他原子，光谱结构非常复杂，但是，夫兰克－赫兹用电子碰撞Hg原子的实验证实：Hg原子内部确实存在分离能级。夫兰克和赫兹由此实验获得1925年度的诺贝尔物理学奖。
V
A
K：灯丝
G：栅极
A：阳极
I
VGK
加速电压
反向电压（0.5V）
加热
变阻器
Hg 蒸汽

装置原理图：

0 4.9 9.8 14.7
VGK (V)
I
0.5
Ip1
Ip2
Ip3
实验结果：

VGK ＝ n×4.9 (V) 时， I ＝ Ipeak

E2
E1
不可吸收
可吸收
可吸收，但几率小
Why ？
类似桥的共振！
结果的解释：
Hg原子内部存在分离的能级。
E2－E1 ＝ 4.9 ev
EK(-e) ＝ e×V （电子动能）

VGK
(V)
EK(-e)
(eV)
碰撞时Hg原子能否吸收EK(-e)？
碰撞后剩余的EK(-e) (eV)
电子可否到
阳级？
<0.5
<0.5
不能
<0.5
不能
0.5 < VGK< 4.9
0.5 ~ 4.9
不能
0.5 ~ 4.9
能
4.9
4.9
能
EK(-e) = 0
不能
4.9 < VGK<9.8
<4.9
不能
<4.9
能
9.8
4.9
能
EK(-e) = 0
不能
……
n×4.9 (V)
4.9
能
EK(-e) = 0
不能
结果说明：原子内部存在分离的能级结构。

思考题1：为什么峰值后不能回零？（部分电子未撞上原子！）
思考题2：高激发态能级的测定装置？（A，加速区和碰撞区分开；B，降低汞压，问题？）

§1.3 索末菲（A. Sommerfeld, 德国物理学家）对玻尔理论的推广

“普朗克，您是我敬仰的大师。您开垦出了一片量子科学的花园，在这个花园中，我采拮到了许多美丽的花朵！”
1.3.1 椭圆轨道

定态条件：
玻尔氢原子：圆周轨道，一个自由度（j），一个量子化(定态)条件：L = nℏ= Ln
L(角动量)＝mr2= 常数（守恒量），
量子化条件表示：＝nh Þ（L＝Ln =n(h/2p)= nℏ）
索末菲氢原子：椭圆轨道，两个自由度（j, r），两个量子化条件：
＝njh （nj：角量子数） （17）
＝nrh （nr：径向量子数） （18）

pr：沿r方向的线动量。
结果（推导见褚圣麟书）：
1 能量（同玻尔理论）
＝－hcRH ，
n (主量子数)＝nr + nj = 1, 2, 3,……
nj(角量子数)＝n, n-1, n-2,……,1 (一个n值，对应n个nj值)
2 轨道（有别于玻尔理论）
·
-e
Ze
b
a
·

a = rn (同玻尔理论)＝n2 a1 （19）
[一个n值（a值），n个nj值（b值）] （20）
例如：
n
nj= n,n-1,…1
a=n2 a1
b =nj na1
b/a
轨道形状
1
1
a1
a1
1

2
2
4a1

4a1
1

1
2a1
1/2

3
3
9a1
9a1
1

2
6a1
2/3

1
3a1
1/3

能量En由n 定，但一个n值（能量值）存在n种电子的运动状态。

3 简并
将能量相同，但运动状态不同的现象成为简并；不同的运动状态数目称为简并数（g）。

4 空间量子化
玻尔的圆周轨道运动：1D, j (nj)
索末菲椭圆轨道运动：2D, j，r (n, nj)

z
x
y
r
mVe
L
-e
q
j

2D的氢原子在3D坐标系中，轨道角动量：

数值：L = njℏ (nj = n, n-1, n-2,…1)
L＝r×mVe
方向：q （无外场时不变，大量氢原子无规分布）

空间量子化：在外场B中（沿Z轴）：
Lz = L cosq = njℏ cosq
= mℏ (m= nj, nj-1, nj-2,…,0, -1,…,- nj ：共2 nj＋1个) （21）
cosq ＝，即：在外场中，原子的空间取向是量子化的。
m：磁量子数

n ：主量子数，确定原子的定态能量；
量子数小结： nj ：角量子数，（nj，n）确定原子的定态轨道形状；
m ：磁量子数，（m，nj）确定原子定态轨道的空间取向。

1.3.2 相对论能量修正(原因：电子绕核运动速度大)
玻尔：Ek（-e） ＝
修正：Ek （-e）＝ mc2 – m0c2 = m0c2 []; b = v/c.
修正结果：En (n, nj) = －hcRH(玻尔项)－hcRHb 2[] （22）
(简并消除。 推导见杨福家书)

1.4 光谱产生的爱因斯坦理论

爱因斯坦前：偶极辐射理论

（原子）→ 偶极子：
(-q, m)
(q, M)
(-q, m)
F
(q, M)
p
E

弹簧振子：
·

·

-kx = m= ma ¹0
(k: 屈强系数，m：折合质量)

x = x0sinwt; a == -w2x0sinwt (w=: 圆频率)
P（辐射功率）µ a2 µw4 （23）
问题：难解决同一原子的不同辐射频率问题。
E2
g2
E1
g1
N2(t)
N1(t)

1.4.1 Einstein 理论的要点

物质（原子）简化为一个二能级系统：
（1）
光为能量为nhn的光子流 (n：光子数)。

I, 自发发射；
（2）光和物质存在三种相互作用： II, 受激发射；
III, 受激吸收。

I, 自发发射：无外光场作用，处于上能级的原子自发地跃迁到下能级，并同时辐射出频率为n＝（E2－E1）/h的光子的过程。
N2(t)
E2
E1
hn

N1(t)

特点1 ：产生自发辐射光子－非相干光子（见II：相干光子）
特点2 ：原子数变化（A系数）
设： t ® t+dt内，有dN2个原子离开E2能级，E2能级上原子数的减少＝－dN2

－dN2 µ dt, N2 或：－dN2 ＝ AN2 dt （24）

A＝(－dN2/N2)/dt (自发发射几率) （25）
对(22)式积分， N2（t）＝N2（0） （26）
意义：t = 0 时刻，有N2（0）个原子处于E2能级; t = ¥ 后，通过自发辐射过程全部离开E2能级。
特点3 ：光强变化（t值）
E2能级上减少一个原子，就向外辐射一个光子hn；
dt内减少dN2 ® 辐射出能量 dN2 hn
自发辐射功率：
P＝＝N2（0）Ahn
＝P0 µ I（光强）
I＝I0 （27）
t
0-
I0
I＝I0e－1
t = t

定义：t为自发发射的寿命 (实验可测量，怎样测？)。

由（27）式，At ＝ 1 t ＝ 1/A （28）
结合（26）式，下面证明：“t”是一个原子在E2能级上停留的平均时间。
在t ® t+dt的时间内，有dN2个原子离开E2能级，此“dN2”个原子在E2能级上停留的时间之和＝tdN2 ;
在 t=0 ® t= ¥ 的时间内，N2（0）个原子全部离开E2能级，设此“N2（0）”个原子在E2能级上停留的时间之和＝ttotal ;

则： ttotal ＝＝AN2(0)＝N2(0)/ A =t N2(0), 故：t = ttotal / N2(0) 。
1/A2 ＝¥ ： 稳态能级；
所以，又定义t 为能级（E2）的平均寿命。据 t 介于其中： 亚稳态能级；
» 10－9（s）= 1ns ：激发态能级。

E2
E1
E3
A32
A31
例：三能级系统的t值（P31：1.12题）
A3 ＝ A32 ＋A31 （几率直接相加）
A3 ＝ 1/t3
A31 ＝ 1/t31
A32 ＝ 1/t32
1/t3 ＝1/t31 ＋ 1/t32 （寿命倒数和相加）

II, 受激发射：受频率为n＝（E2－E1）/h的激励光子作用，原子从上能级E2跃迁到下能级E1，并同时辐射一个和激励光子相干的光子过程。

4hn ® 8hn 。。。雪崩发大
Þ 激光 (Laser)
Light amplification of stimulated emission radiation

E2
E1
2hn
E2
E1
hn
hn

说明：（1）激励光子 ¾ 激励原子，但不被原子吸收；
（2）相干光子 ¾ 和激励光子同频率，同偏振方向，同传播方向，同位相的光子(激励光子的克隆光子)。

特点1：产生相干光子，相干光子的雪崩放大形成激光。
特点2：原子数变化（受激发射系数：B21）
设： （1）rn ＝ ：单色能量辐射密度
＝(普朗克公式) （29）
（2）t ® t+dt内，有dN2个原子离开E2能级，E2能级上原子数的减少＝－dN2

则： －dN2 µ dt, N2, rn （说明）
或： －dN2 ＝ B21 rn N2dt （30）
B21：受激发射系数。
记： B21 rn＝W21， （31）
W21＝（－dN2/ N2）/dt （32）
对比 (25)式，W21：受激发射几率。

受激辐射光放大（LASER）不易产生的原因（1917年，Einstein提出，1960年梅曼实现）：
存在受激发射的逆过程¾

III, 受激吸收（又称：共振吸收）：原子共振吸收频率为n＝（E2－E1）/h的激励光子，并从原子下能级E1跃到上能级E2的过程。
E2
E1
hn

特点：原子数变化（受激吸收系数：B12）
设： t ® t+dt内，有dN1个原子离开E1能级，E1能级上原子数的减少＝－dN1

则： －dN1µ dt, N1, rn （说明）
或： －dN1 ＝ B12 rn N1dt （33）
B12：受激吸收系数。
记： B12 rn＝W12， （34）
W12＝（－dN1/ N1）/dt （35）
对比(32)式， W12：受激吸收几率。

1.4.2 Einstein 系数（A, B21, B12）间的关系
推导条件：原子系统处于热平衡，则满足：
（1） 原子数随能量（E）按玻尔兹曼分布
Ni µ （36）
= （37）
(2) 单色能量辐射密度满足普朗克公式（28）
(3) 从E1®E2的原子数＝从E2®E1的原子数
E2
g2
E1
g1
N2(t)
N1(t)
dN2(A)
dN2(B21)
dN1(B12)

dN1(B12) = dN2( B21)+dN2(A)

B12 rn N1dt = B21 rn N2dt + AN2 dt Þ (解出rn)
rn = =
比较29式后得：
A/B21= （38）
B12g1=B21g2 （39）

1.4.3 三种辐射过程的强度比较
回顾：三种辐射过程；t ® t+dt内，三种辐射过程造成的原子数减少：
E2能级： －dN2 ＝ AN2 dt Þ 发射的光子数：dn2 ＝ AN2 dt
E2能级： －dN2 ＝ B21 rn N2dt Þ 发射的光子数：dn2 ＝ B21 rn N2dt
E1能级： －dN1 ＝ B12 rn N1dt Þ 吸收的光子数：dn1 ＝ B12 rn N1dt
因为：光强 I µ P（发光功率）＝＝
I（自发发射） µ dn2(A) hn/dt = AN2 hn
I（受激发射） µ dn2(B21) hn/dt = B21rn N2 hn
I（受激吸收） µ dn1(B12) hn/dt＝ B12 rn N1 hn

(1) 受激发射强度和自发发射强度
dn2(B21) hn/ dn2(A) hn = rnB21 /A = =
hn(可见光) ~2 ev ；kT(室温：300K)＝8.61×10－5（ev/K）×300 (K)
＝2.58×10－2 ev
~1/e77

结论：热平衡条件下，普通光源自发发射占据绝对优势！
自发发射产生荧光, 受激发射的光放大产生激光。
（2） 自发发射强度和受激吸收（共振吸收）强度
dn2(A) hn / dn1(B12) hn= AN2 hn / B12 rn N1＝
设：g1 = g2, ~1
dn2(A) hn / dn1(B12) hn ~1
结论：热平衡条件下，原子系统共振吸收激励光子后增加的能量，大部分转化成自发发射。
光致荧光（photoluminescence）及其量子效率（定义?）：h<1(why? 无辐射跃迁)，
电致荧光（electroluminescence）及其量子效率（定义?）。
(3) 受激发射强度和受激吸收强度
dn2(B21) hn/ dn1(B12) hn = (N2/N1)( B21/ B12)= (g1N2/g2N1) （40）
设：g1 = g2，
dn2(B21) hn/ dn1(B12) hn = （由37式）
=~1/e77
结论：热平衡条件下，原子数随能量呈正常分布，受激吸收过程占据绝对优势！

问题：什么条件下受激发射过程占优