资源描述
应用二元一次方程组—鸡兔同笼
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列二元一次方程组解应用题必须找出两个等量关系,列出两个方程.
【例1】 “甲、乙隔河放牧羊,两人互相问数量,甲说得乙羊九只,我羊是你二倍整.乙说得甲羊八只,两人羊数正相当.”请你帮助算一算,甲、乙各放多少羊?
【例2】 一张方桌由1张桌面和4条桌腿做成,已知1 m3木料可以做桌面50张或桌腿300条.现有5 m3木料,恰好能做成方桌多少张?
3.列方程组解决古代问题
人们在日常生活中少不了数学运算,在诗歌创作中也时有反映.解决这类问题的关键是读懂题意,将古诗文转化为白话文.
【例3-1】 周瑜年华
而立之年督东吴,早逝英年两位数;[来源:]
十比个位正小三,个是十位正两倍;
哪位学子算得快,多少年华数周瑜?
【例3-2】 二果问价
九百九十九文钱,甜果苦果买一千,
甜果九个十一文,苦果七个四文钱,
试问甜苦果几个?又问各该几个钱?
【例4】 8年前父亲的年龄是儿子年龄的4倍,从现在起8年后父亲的年龄成为儿子年龄的2倍,求父亲和儿子现在的年龄.
【例5】 学校书法兴趣小组准备到文具店购买A、B两种类型的毛笔,文具店的销售方法是:一次性购买A型毛笔不超过20支时,按零售价销售;超过20支时,超过部分每支比零售价低0.4元,其余部分仍按零售价销售.一次性购买B型毛笔不超过15支时,按零售价销售;超过15支时,超过部分每支比零售价低0.6元,其余部分仍按零售价销售.
如果全组共有20名同学,若每人各买1支A型毛笔和2支B型毛笔,共支付145元;若每人各买2支A型毛笔和1支B型毛笔,共支付129元.这家文具店的A、B两种类型毛笔的零售价各是多少?
课后训练
基础巩固
1.板凳木马三十三,共足一百单;[来源:]
请问能算者,它们各若干?
这道题的意思是:板凳木马的总数是33个,腿的总数是101条.板凳、木马各有多少个?(注:板凳4条腿,木马3条腿)
2.王阿姨和李奶奶一起去超市买菜,王阿姨买西红柿、茄子、青椒各1 kg,共花12.8元;李奶奶买西红柿2 kg、茄子1.5 kg,共花15元.已知青椒每千克4.2元,请你求出每千克西红柿、茄子各多少元?
3.“海之南”水果种植场今年收获的“妃子笑”和“无核Ⅰ号”两种荔枝共3 200 kg,全部售出后收入30 400元.已知“妃子笑”荔枝每千克售价8元,“无核Ⅰ号”荔枝每千克售价12元,问该种植场今年这两种荔枝各收获多少千克?
4.某通信运营商的短信收费标准如下:发送网内短信0.1元/条,发送网际短信0.15元/条.该通信运营商的用户小王某月发送以上两种短信共计150条,依照该收费标准共支出短信费用19元,问小王该月发送网内、网际短信各多少条?[来源:]
5.今有玉方一寸,重七两;石方一寸,重六两.今有石方三寸,中有玉,并一十一斤.问玉、石各重几何?(斤、两:都是已经废止使用的重量单位.古代,1斤=16两;寸:是已经废止使用的市制长度单位.)[来源:]
这道题的意思是:宝玉1立方寸重7两,石料1立方寸重6两.现有宝玉和石料混合在一起的一个正方体,棱长是3寸,重量是11斤.在这个正方体中的宝玉和石料各重多少两?
6.《西游记》中的一首数学诗:
悟空顺风探妖踪,千里只行四分钟,
归时四分行六百,风速多少才称雄?
7.八戒吃仙果
三种仙果红紫白,八戒共吃十一对;
白果占紫三分一,紫果正是红二倍;
三种仙果各多少?看谁算得快又对?
8.小兰在玩具厂上班,她做4个小狗、7个小汽车用去3小时42分,做5个小狗、6个小汽车用去3小时37分.那么她平均做一个小狗与1个小汽车各用多少时间?
能力提升
9.醨醇酒多少
肆中饮客乱纷纷,薄酒名醨厚酒醇.
好酒一瓶醉三客,薄酒三瓶醉一人.
共同饮了一十九,三十三客醉颜生.
试问高明能算士,几多醨酒几多醇?
10.鱼肉价钱
老头提篮去赶集,一共花去七十七,
满满装了一菜篮,十斤大肉三斤鱼,
买好未曾问单价,只因回家心发急,
道旁行人告诉他,九斤肉钱五斤鱼,
有劳各位高材生,帮帮算算此难题.
参考答案
1.列方程组解应用题的基本思想[来源:]
列方程组解应用题是把“未知”转化成“已知”的重要方法.它的关键是把已知量和未知量联系起来,找出题目中的等量关系.一般来说,有几个未知量就必须列出几个方程,所列方程必须满足:(1)方程两边表示的是同类量;(2)同类量的单位要统一;(3)方程两边的数值要相等
分析:题中有两个未知数:甲放羊的只数和乙放羊的只数.相等关系:(1)甲放羊的只数+9=2(乙放羊的只数-9);(2)甲放羊的只数-8=乙放羊的只数+8.[来源:]
解:设甲放羊x只,乙放羊y只.
由题意,得解得
所以甲放羊59只,乙放羊43只.
析规律 建模型、列方程组
在列方程组解决实际问题时,应先分析题目中的已知量、未知量是什么,各个量之间的关系是什么,找出它们之间的相等关系,列出方程(组),建模过程即可完成,因此解决实际问题的建模过程非常重要.
2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤
(1)审:审题,分析题中已知什么,求什么,明确各数量之间的关系.
(2)设:设未知数(一般求什么,就设什么为x,y).
(3)找:找出能够表示应用题全部意义的两个等量关系.
(4)列:根据这两个等量关系列出需要的代数式,进而列出两个方程,组成方程组.
(5)解:解所列方程组,得未知数的值.
(6)验:检验所求未知数的值是否符合题意,是否符合实际.
(7)答:写出答案(包括单位名称).北师版中的“答”一般用“所以”代替.
点技巧 完善列方程解应用题的步骤
(1)“审”和“找”两步在草稿上进行,书面格式中主要写“设”“列”“解”和“答”四个步骤.(2)解应用题时,切勿漏写“答”,“设”和“答”要写清单位名称.
分析:这是一个产品配套问题.题中已知数有两个:做桌面的木料的方数和做桌腿的木料的方数.相等关系:(1)做桌面的木料的方数+做桌腿的木料的方数=木料的总方数;(2)4×桌面的张数=桌腿的条数.[来源:]
解:设用x m3木料做桌面,y m3木料做桌腿,由题意,得解得因为3×50=150,所以恰好能做成方桌150张.
注:读懂题意,找出等量关系式是关键
分析:本题有两个等量关系式:十位数字=个位数字-3;个位数字=十位数字的2倍.
解:设周瑜年龄的个位数字为x,十位数字为y,根据题意,得解得
所以周瑜只活了36岁.
点评:解决这类问题的关键在于从实际问题背景中抽象出数学问题的本质,建立方程(组)模型,并能从多种途径出发,通过列方程(组)去求得其解.
分析:这首古诗词翻译成白话文,即:九百九十九文钱可买一千个甜果和苦果,已知十一文钱可买九个甜果,四文钱可买七个苦果,那么甜果、苦果各买多少个?买甜果、苦果各需多少文钱?
解:设甜果x个,苦果y个,根据题意,得解得因为x=803,y=196,所以甜果657个需803文钱,苦果343个需196文钱.
分析:题中有两个未知数:
父亲现在的年龄和儿子现在的年龄.
相等关系:(1)8年前父亲的年龄=4×8年前儿子的年龄;(2)8年后父亲的年龄=2×8年后儿子的年龄.
解:设父亲现在的年龄是x岁,儿子现在的年龄是y岁,
由题意,得
解得
所以父亲现在40岁,儿子现在16岁.[来源:]
点评:此题易出现x+8=2y这类错误.原因是认识到父亲增长了8岁,忘记了儿子也应该增长8岁.遇年龄问题时,注意两人年龄同时增长相同岁数.
5.列二元一次方程组的应用题常用策略
(1)“直接”与“间接”转换:当直接设未知数不便时,转而设间接未知数来求解,反之亦然.
(2)“一元”与“多元”转换:当设一个未知数有困难时,可考虑设多个未知数求解,反之亦然.
(3)“部分”与“整体”转换:当整体设元有困难时,就考虑设其部分,反之亦然,如:数字问题.
(4)“一般”与“特殊”转换:当从一般情形入手困难时,就着眼于特殊情况,反之亦然.
(5)“文字”与“图表”转换:有的应用题,用文字语言表达较难,就可以用表格或图形来分析,这样既直观,也易理解题意.
4.实际问题中的基本数量关系及关键词
常用的数量关系有:
(1)路程=速度×时间;
(2)工作量=工作效率×工作时间;
(3)商品的销售额=商品销售价×商品销售量;
(4)商品的总销售利润=(销售价-成本价)×销售量;
(5)商品售价=标价×折数;
(6)商品的利润率=×100%等等.
还要正确理解一些关键词表达的同类量之间的特殊的等量关系,如“提前”“超过”“早到”“迟到”“几倍”“增加了”“相向而行”“同向而行”等.
分析:20名学生每人买1支A型毛笔的钱+每人买2支B型毛笔的钱=145元;20名同学每人买2支A型毛笔的钱+每人买1支B型毛笔的钱=129元.
解:设该家文具店A型毛笔的零售价为每支x元,B型毛笔的零售价为每支y元,根据题意,得
解得
所以这家文具店A型毛笔的零售价为每支2元,B型毛笔的零售价为每支3元.
1解:设有板凳x个,木马y个,根据题意,得
解得
所以板凳有2个,木马有31个.
2解:设每千克西红柿x元,每千克茄子y元.
根据题意,得解得
所以每千克西红柿4.2元,每千克茄子4.4元.
3解:设这个种植场今年“妃子笑”荔枝收获x kg,“无核Ⅰ号”荔枝收获y kg.根据题意得
解得
所以该种植场今年收获“妃子笑”与“无核Ⅰ号”荔枝分别为2 000 kg和1 200 kg.
4解:设小王该月发送网内短信x条,网际短信y条.
根据题意,得解得
所以小王该月发送网内短信70条,网际短信80条.
5解:设这个正方体中宝玉x立方寸,石料y立方寸,根据题意,得
解得
则有宝玉:14×7=98(两);
石料:13×6=78(两).
所以正方体中的宝玉和石料分别有98两和78两.
点拨:题中有两个等量关系:一是体积相等;二是重量相等.
6解:设悟空速度为x千里/分,风速为y千里/分,由题意,得
解得
所以风速为50千里/分.
点拨:顺风速度=x+y;逆风速度=x-y.
7解:设红果x个,紫果y个,则白果(22-x-y)个,根据题意,得[来源:]
解得
所以红果6个,紫果12个,则白果4个.
8解:设做1个小狗用x min,做1个小汽车用y min,可列下表,
小狗
小汽车
总数
用时
4x
7y
3×60+42
用时
5x
6y
3×60+37
由解得[来源:]
故小兰平均做1个小狗用17 min,做1个小汽车用22 min.
9解:设好酒x瓶,则薄酒y瓶.根据题意,得
解得
所以设好酒10瓶,则薄酒9瓶.
点拨:这道诗题大意是说:好酒1瓶,可以醉倒3位客人;薄酒3瓶,可以醉倒1位客人.如果33位客人醉倒了,他们总共饮下19瓶酒.试问:其中好酒、薄酒分别是多少瓶?
10解:设每斤肉x元,每斤鱼y元,根据题意,得
解得
所以每斤肉5元,每斤鱼9元.
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