2023-2024学年广东省广州市天河区九年级（上）期末数学试卷（含答案）.docx

2023-2024 学年广东省广州市天河区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3 分）志愿服务，传递爱心，传递文明，下列志愿服务标志为中心对称图形的是（ ）

A． B． C． D．

2．（3 分）下列事件为随机事件的是（ ）

A. 负数大于正数

B. 三角形内角和等于 180° C．明天太阳从东方升起 D．购买一张彩票，中奖
3．（3 分）已知⊙O 的半径为 3，点 P 到圆心 O 的距离为 4，则点 P 与⊙O 的位置关系是（ ）

A．点 P 在⊙O 外 B．点 P 在⊙O 上 C．点 P 在⊙O 内 D．无法确定4．（3 分）已知点 A（m，2）与点 B（﹣6，n）关于原点对称，则 m 的值为（ ）
A．6 B．﹣6 C．2 D．﹣2

5．（3 分）关于 x 的方程 x2﹣2x+k＝0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是（ ）
A．k＜1 B．k＞1 C．k＜﹣1 D．k＞﹣1 6．（3 分）下列说法正确的是（ ）
A. 三点确定一个圆

B. 三角形的外心到三角形三边的距离相等C．平分弦的直径垂直于弦
D．垂直于弦且过圆心的直线平分这条弦

7．（3 分）如图，△ABC 内接于⊙O，∠A＝74°，则∠OBC 等于（ ）

A．17° B．16° C．15° D．14°

第 9页（共 27页）

8．（3 分）已知 m、n 是一元二次方程 x2+2x﹣5＝0 的两个根，则 m2+mn+2m 的值为（ ）
A．﹣10 B．10 C．3 D．0

9．（3 分）如图是二次函数 y＝ax2+bx+c 的图象，则不等式 ax2+bx+c＜3 的解集是（ ）
A．x＜0 B．x＜﹣1 或 x＞3 C．0＜x＜2 D．x＜0 或 x＞2

10．（3 分）已知点 P（m，n），Q（3，0）都在一次函数 y＝kx+b（k，b 是常数，k≠0）的图象上，（ ）

A. 若 mn 有最大值 4，则 k 的值为﹣9

B. 若 mn 有最小值 4，则 k 的值为﹣9

C. 若 mn 有最大值﹣9，则 k 的值为 4

D. 若 mn 有最小值﹣9，则 k 的值为 4

二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）

11．（3 分）把二次函数 y＝3x2+5 的图象向上平移 4 个单位，则得到的抛物线解析式为 ．
12．（3 分）如果圆锥的底面半径为 4cm，母线长为 5cm，那么它的侧面积 cm2．
排查车辆数

n
20
40
100
200
400
1000
能礼让的车

辆数 m
15
32
82
158
324
800
能礼让的频
率
0.75
0.80
0.82
0.79
0.81
0.80

13．（3 分）某班的一个数学兴趣小组为了考查某条斑马线前驾驶员礼让行人的情况，每天利用放学时间进行调查，下表是该小组一个月内累计调查的结果，由此结果可估计驾驶员在这条斑马线前能主动给行人 让路的概率约是 （结果保留小数点后一位）．

14．（3 分）如图，正方形 ABCD 的外接圆的半径为 4，则它的内切圆的半径为 ．

15．（3 分）已知点（1，m），（2，n）在二次函数 y＝ax2+2ax+3（a 为常数）的图象上．若 a＜0，则 m n．（填 “＞”、“＜”或“＝”）．
16．（3 分）如图三角形 ABC 中，AB＝3，AC＝4，以 BC 为边向三角形外作等边三角形 BCD，连 AD，则当∠BAC＝ 度时，AD 有最大值 ．

三、解答题（本大题共 9 题，共 72 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．（4 分）解方程：x2﹣4x+4＝0．

18．（4 分）如图，将△ABC 绕点 A 顺时针旋转得到△ADE，点 B，C 的对应点分别为 D，E，且点 E 在直线 BC 上，请利用尺规作图（保留作图痕迹）：
（1） 确定点 E 的位置；

（2） 确定点 D 的位置．

19．（6 分）如图是抛物线 y＝﹣2x2+bx+c 的图象．
（1） 当 x 取何值时，y 的值随着 x 的增大而增大？

（2） 求抛物线与 y 轴的交点坐标．

20．（6 分）人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．中国人工智能行业可按照应用领域分为四大类别：决策类人工智能，人工智能机器人，语音及语义人工智能， 视觉类人工智能，将四个类型的图标依次制成 A，B，C，D 四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上．
（1） 随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为 ；

（2） 从中随机抽取一张，记录卡片的内容后不放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方 法求抽取到的两张卡片中不含 D 卡片的概率．

21．（8 分）人们根据实际需要，发明了“三分角器”，如图 1 是它的示意图，其中 AB 与半圆 O 的直径 BC

在同一直线上，且 AB 的长度与半圆的半径相等；DB 与 AC 垂直于点 B，DB 足够长．

使用方法如图 2 所示，要将∠MEN 三等分，只需适当放置三分角器，使 DB 经过∠MEN 的顶点 E，点A 落在边 EM 上，半圆与另一边 EN 恰好相切时，切点为 F，则有∠1＝∠2＝∠3．
若∠MEN＝90°，半圆 O 的半径为 2，EO 与半圆交于点 T，求的长．

22．（10 分）党的“二十大”期间，某网店直接从工厂以 35 元/件的进价购进一批纪念“二十大”的钥匙扣，售价为 60 元/件时，第一天销售了 25 件．该商品十分畅销，销售量持续走高．在售价不变的基础
上，第三天的销售量达到了 36 件．

（1） 求每天销售量的平均增长率；

（2） “二十大”临近结束时，钥匙扣还有大量剩余，为了尽快减少库存，网店打算将钥匙扣降价销售． 经调查发现，每降价 1 元，在第三天的销售量基础上每天可多售 2 件，将钥匙扣的销售价定为每件多少元时，每天可获得最大利润？最在利润是多少元？

23．（10 分）已知一直线 l 与⊙O，AB 是⊙O 的直径，AD⊥l 于点 D．

（1） 如图 1，当直线 l 与⊙O 相切于点 C 时，求证：AC 平分∠DAB；

（2） 如图 2，当直线 l 与⊙O 相交于点 E，F 时，若∠DAE＝x°（0＜x＜30），∠BOF＝y°，求 y 关于

x 的函数解析式．

24．（12 分）已知：△ABC 中，AB＝BC＝6，⊙O 是△ABC 的外接圆．

（1）如图 1，若∠ABC＝60°，求证：；

（2） 如图 2，若∠ABC＝60°，D 为在上一动点，过点 B 作直线 AD 的垂线，垂足为 E．求证：CD
＝DE+AE；

（3） 如图 3，若∠ABC＝120°，过点 B 作 BF⊥BC 交 AC 于点 F．点 Q 是线段 AB 上一动点（不与 A， B 重合），连接 FQ，求 BQ+2FQ 的最小值．

第 27页（共 27页）

25．（12 分）已知抛物线 y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）与 x 轴交于坐标原点 O 和点 A．
（1） 已知该抛物线的顶点 P 的纵坐标与点 A 的横坐标相同，设过点 A 的直线 y＝mx﹣6 与抛物线的另一个交点为 B．求点 P 和点 B 的坐标；
（2） 将线段 OA 绕点 O 逆时针旋转 45°得到线段 OC，若该抛物线与线段 OC 只有一个交点，请直接写出 a 的取值范围；
（3） 若直线 y＝kx﹣6（k≠3）与该抛物线交于 M，N 两点（点 M 在点 N 左侧），连接 AM，AN．设直线 AM 为 y1＝k1x+m1，直线 AN 为 y2＝k2x+m2；令 t＝k1•k2，求 t 与 a 的函数关系式．

2023-2024 学年广东省广州市天河区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3 分）志愿服务，传递爱心，传递文明，下列志愿服务标志为中心对称图形的是（ ）

A． B． C． D．

【解答】解：选项 A、C、D 的图形都不能找到某一个点，使图形绕某一点旋转 180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项 B 的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转 180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形； 故选：B．
2．（3 分）下列事件为随机事件的是（ ）

A. 负数大于正数

B. 三角形内角和等于 180° C．明天太阳从东方升起 D．购买一张彩票，中奖
【解答】解：A．负数大于正数是不可能事件，不符合题意；

B．三角形内角和等于 180°是必然事件，不符合题意； C．明天太阳从东方升起是必然事件，不符合题意； D．购买一张彩票，中奖是随机事件，符合题意．
故选：D．

3．（3 分）已知⊙O 的半径为 3，点 P 到圆心 O 的距离为 4，则点 P 与⊙O 的位置关系是（ ）

A．点 P 在⊙O 外 B．点 P 在⊙O 上 C．点 P 在⊙O 内 D．无法确定

【解答】解：∵⊙O 的半径分别是 3，点 P 到圆心 O 的距离为 4，

∴d＞r，

∴点 P 与⊙O 的位置关系是：点在圆外． 故选：A．
4．（3 分）已知点 A（m，2）与点 B（﹣6，n）关于原点对称，则 m 的值为（ ）

A．6 B．﹣6 C．2 D．﹣2

【解答】解：∵点 A（m，2）与点 B（﹣6，n）关于原点对称，

∴m＝6． 故选：A．
5．（3 分）关于 x 的方程 x2﹣2x+k＝0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是（ ）
A．k＜1 B．k＞1 C．k＜﹣1 D．k＞﹣1

【解答】解：∵关于 x 的方程 x2﹣2x+k＝0 有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0，

即 4﹣4k＞0，

k＜1．

故选：A．

6．（3 分）下列说法正确的是（ ）

A. 三点确定一个圆

B. 三角形的外心到三角形三边的距离相等C．平分弦的直径垂直于弦
D．垂直于弦且过圆心的直线平分这条弦

【解答】解：不在同一条直线上的三个点确定一个圆，如果三个点在同一条直线上，则没有同时过这三 个点的圆，故选项 A 错误，不符合题意；
三角形的内心到三角形三边的矩离相等，三角形的外心到三角形各个顶点的距离相等，故选项 B 错误， 不符合题意；
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故选项 C 错误，不符合题意； 垂直于弦且过圆心的直线平分这条弦，故选项 D 正确，符合题意； 故选：D．
7．（3 分）如图，△ABC 内接于⊙O，∠A＝74°，则∠OBC 等于（ ）

A．17° B．16° C．15° D．14°

【解答】解：如图，连接 OC，

∵∠A＝74°，

∴∠BOC＝2∠A＝148°，

∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝ （180°﹣148°）＝16°． 故选：B．
8．（3 分）已知 m、n 是一元二次方程 x2+2x﹣5＝0 的两个根，则 m2+mn+2m 的值为（ ）
A．﹣10 B．10 C．3 D．0

【解答】解：∵m 是一元二次方程 x2+2x﹣5＝0 的根，
∴m2+2m﹣5＝0， 即 m2＝5﹣2m，
∴m2+mn+2m＝5﹣2m+mn+2m＝5+mn，
∵m、n 是一元二次方程 x2+2x﹣5＝0 的两个根，
∴mn＝﹣5，

∴m2+mn+2m＝5﹣5＝0． 故选：D．
9．（3 分）如图是二次函数 y＝ax2+bx+c 的图象，则不等式 ax2+bx+c＜3 的解集是（ ）
A．x＜0 B．x＜﹣1 或 x＞3 C．0＜x＜2 D．x＜0 或 x＞2

【解答】解：由抛物线和 y 轴的交点为（0，3），对称轴为直线 x＝1，故当 x＝0 或 x＝2 时，y＝3，
故不等式 ax2+bx+c＜3 的解集为：x＜0 或 x＞2． 故选：D．

10．（3 分）已知点 P（m，n），Q（3，0）都在一次函数 y＝kx+b（k，b 是常数，k≠0）的图象上，（ ）

A. 若 mn 有最大值 4，则 k 的值为﹣9

B. 若 mn 有最小值 4，则 k 的值为﹣9

C. 若 mn 有最大值﹣9，则 k 的值为 4

D. 若 mn 有最小值﹣9，则 k 的值为 4

【解答】解：∵点 P（m，n），Q（3，0）都在一次函数 y＝kx+b（k，b 是常数，k≠0）的图象上，

∴km+b＝n，3k+b＝0，

∴b＝﹣3k，

∴n＝km+b＝km﹣3k，
∴mn＝m（km﹣3k）＝k（m2﹣3m）＝k ﹣ k， 当 k＜0 时，mn 有最大值﹣k，
若 mn 有最大值 4，﹣k＝4，则 k＝﹣，故 A 不符合题意；
若 mn 有最大值﹣9，﹣k＝﹣9，则 k＝4，此时 k＞0，故 C 不符合题意； 当 k＞0 时，mn 有最小值﹣k，
若 mn 有最小值 4，﹣k＝4，则 k＝﹣，故 B 不符合题意； 若 mn 有最小值﹣9，﹣k＝﹣9，则 k＝4，故 D 符合题意． 故选：D．
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）

11．（3 分）把二次函数 y＝3x2+5 的图象向上平移 4 个单位，则得到的抛物线解析式为 y＝3x2+9 ．
【解答】解：把二次函数 y＝3x2+5 的图象向上平移 4 个单位，则得到的抛物线解析式为：y＝3x2+5+4， 即 y＝3x2+9．
故答案为：y＝3x2+9．
12．（3 分）如果圆锥的底面半径为 4cm，母线长为 5cm，那么它的侧面积 20π cm2．
【解答】解：底面圆的半径为 4cm，则底面周长＝8πcm，侧面面积＝×8π×5＝20πcm2．
13．（3 分）某班的一个数学兴趣小组为了考查某条斑马线前驾驶员礼让行人的情况，每天利用放学时间进行调查，下表是该小组一个月内累计调查的结果，由此结果可估计驾驶员在这条斑马线前能主动给行人 让路的概率约是 0.8 （结果保留小数点后一位）．

排查车辆数

n
20
40
100
200
400
1000
能礼让的车

辆数 m
15
32
82
158
324
800
能礼让的频
率
0.75
0.80
0.82
0.79
0.81
0.80
【解答】解：根据题意得：能主动给行人让路的频率稳定在 0.80 的附近，

∴能主动给行人让路的概率约是 0.8． 故答案为：0.8．
14．（3 分）如图，正方形 ABCD 的外接圆的半径为 4，则它的内切圆的半径为 2 ．

【解答】解：∵正方形 ABCD 的外接圆的半径为 4，

∴OA＝4，

∵AB 是小圆的切线，

∴OE⊥AB，

∵四边形 ABCD 是正方形，

∴△AOE 是等腰直角三角形，AE＝OE，

∴在 Rt△AOE 中根据勾股定理得：AE2+OE2＝OA2，
∴2OE2＝42，
解得 OE＝2（负值舍去），故答案为：2 ．
15．（3 分）已知点（1，m），（2，n）在二次函数 y＝ax2+2ax+3（a 为常数）的图象上．若 a＜0，则 m ＞
n．（填“＞”、“＜”或“＝”）．

【解答】解：∵二次函数的解析式为 y＝ax2+2ax+3，

∴该抛物线对称轴为 x＝﹣ ＝﹣1，

∴a＜0．

∴当 x＞﹣1 时，y 随 x 的增大而减小，

∵1＜2，

∴m＞n，

故答案为：＞．

16．（3 分）如图三角形 ABC 中，AB＝3，AC＝4，以 BC 为边向三角形外作等边三角形 BCD，连 AD，则当∠BAC＝ 120 度时，AD 有最大值 7 ．

【解答】解：如图，在直线 AC 的上方作等边三角形△OAC，连接 OD．
∵△BCD，△AOC 都是等边三角形，

∴CA＝CO，CB＝CD，∠ACO＝∠BCD，

∴∠ACB＝∠OCD，

在△ACB 和∠OCD 中，

，

∴△ACB≌△OCD，

∴OD＝AB＝3，

∴点 D 的运动轨迹是以 O 为圆心 OD 长为半径的圆，

∴当 D、O、A 共线时，AD 的值最大，最大值为 OA+OD＝4+3＝7．

∵△ACB≌△OCD，

∴∠CAB＝∠DOC，

∵当 D、O、A 共线时，∠DOC＝180°﹣60°＝120°，

∴当∠BAC＝120 度时，AD 有最大值为 7． 故答案为 120，7．
三、解答题（本大题共 9 题，共 72 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．（4 分）解方程：x2﹣4x+4＝0．
【解答】解：∵x2﹣4x+4＝0，
∴（x﹣2）2＝0，
∴x﹣2＝0，

解得 x1＝x2＝2．
18．（4 分）如图，将△ABC 绕点 A 顺时针旋转得到△ADE，点 B，C 的对应点分别为 D，E，且点 E 在直线 BC 上，请利用尺规作图（保留作图痕迹）：
（1） 确定点 E 的位置；

（2） 确定点 D 的位置．

【解答】解：（1）如图，延长 BC，以点 A 为圆心，AC 的长为半径画弧，交射线 BC 于点 E，则点 E 即为所求．
（2）如图，以点 A 为圆心，AB 的长为半径画弧，再以点 E 为圆心，BC 的长为半径画弧，与前弧在直线 BC 下方交于点 D，
则点 D 即为所求．

19．（6 分）如图是抛物线 y＝﹣2x2+bx+c 的图象．
（1） 当 x 取何值时，y 的值随着 x 的增大而增大？

（2） 求抛物线与 y 轴的交点坐标．

【解答】解：（1）由图象可知，当 x＜2 时，y 的值随着 x 的增大而增大；

（2）由图象可知抛物线的顶点为（2，2），

∴抛物线 y＝﹣2x2+bx+c 的解析式为 y＝﹣2（x﹣2）2+2，即 y＝﹣2x2+8x﹣6， 令 x＝0，则 y＝﹣6，
∴抛物线与 y 轴的交点坐标是（0，﹣6）．

20．（6 分）人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．中国人工智能行业可按照应用领域分为四大类别：决策类人工智能，人工智能机器人，语音及语义人工智能， 视觉类人工智能，将四个类型的图标依次制成 A，B，C，D 四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上．
（1） 随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为 ；

（2） 从中随机抽取一张，记录卡片的内容后不放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方 法求抽取到的两张卡片中不含 D 卡片的概率．
【解答】解：（1）由题意得，随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为 ．

故答案为： ．
（2）画树状图如下：

共有 12 种等可能的结果，其中抽取到的两张卡片中不含 D 卡片的结果有：AB，AC，BA，BC，CA，

CB，共 6 种，
∴抽取到的两张卡片中不含 D 卡片的概率为＝ ．
21．（8 分）人们根据实际需要，发明了“三分角器”，如图 1 是它的示意图，其中 AB 与半圆 O 的直径 BC

在同一直线上，且 AB 的长度与半圆的半径相等；DB 与 AC 垂直于点 B，DB 足够长．

使用方法如图 2 所示，要将∠MEN 三等分，只需适当放置三分角器，使 DB 经过∠MEN 的顶点 E，点A 落在边 EM 上，半圆与另一边 EN 恰好相切时，切点为 F，则有∠1＝∠2＝∠3．
若∠MEN＝90°，半圆 O 的半径为 2，EO 与半圆交于点 T，求的长．

【解答】解：∵DB⊥AO，AB＝OB，

∴DB 垂直平分 AO，

∴AE＝OE，

∴∠1＝∠2，

∵EB⊥OB，且 OB 是⊙O 的半径，

∴EB 与⊙O 相切，

∵EN 与⊙O 相切于点 F，

∴EO 平分∠BON，

∴∠2＝∠3，

∴∠1＝∠2＝∠3，

∵∠MEN＝90°，
∴∠2＝ ∠MEN＝30°，
∵∠OBE＝90°，

∴∠COT＝∠2+∠OBE＝120°，
∴ ＝ ＝ ，
∴ 的长为 ．
22．（10 分）党的“二十大”期间，某网店直接从工厂以 35 元/件的进价购进一批纪念“二十大”的钥匙扣，售价为 60 元/件时，第一天销售了 25 件．该商品十分畅销，销售量持续走高．在售价不变的基础
上，第三天的销售量达到了 36 件．

（1） 求每天销售量的平均增长率；

（2） “二十大”临近结束时，钥匙扣还有大量剩余，为了尽快减少库存，网店打算将钥匙扣降价销售． 经调查发现，每降价 1 元，在第三天的销售量基础上每天可多售 2 件，将钥匙扣的销售价定为每件多少元时，每天可获得最大利润？最在利润是多少元？
【解答】解：（1）每天销售量的平均增长率为 x，根据题意得：

25（1+x）2＝36，
解得：x1＝0.2，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去），
∴每天销售量的平均增长率为 20%；

（2）设将钥匙扣每件降价 y 元销售，利润为 W 元，

∴•W＝（60﹣35﹣y）（36+2y）

＝﹣2y2+14y+900
＝﹣2（y﹣3.5）2+924.5，
∵α＝﹣2＜0，

∴当 y＝3.5 时，W 最大＝924.5，
∴将钥匙扣的销售价定为每件 56.5 元时，每天可获得最大利润，最在利润是 924.5 元．

23．（10 分）已知一直线 l 与⊙O，AB 是⊙O 的直径，AD⊥l 于点 D．

（1） 如图 1，当直线 l 与⊙O 相切于点 C 时，求证：AC 平分∠DAB；

（2） 如图 2，当直线 l 与⊙O 相交于点 E，F 时，若∠DAE＝x°（0＜x＜30），∠BOF＝y°，求 y 关于

x 的函数解析式．

【解答】解：（1）连接 OC，

∵直线 l 与⊙O 相切于点 C，

∴OC⊥CD， 又∵AD⊥CD，
∴AD∥OC，

∴∠DAC＝∠ACO； 又∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠CAO，

∴∠DAC＝∠CAO， 即 AC 平分∠DAB；
（2）如图②，连接 BF，
∵AB 是⊙O 的直径，

∴∠AFB＝90°，

∴∠BAF＝90°﹣∠B，

∴∠AEF＝∠ADE+∠DAE，

在⊙O 中，四边形 ABFE 是圆的内接四边形，

∴∠AEF+∠B＝180°，

∴∠BAF＝∠DAE，

∵∠BOF＝2∠BAF，∠DAE＝x°（0＜x＜30），∠BOF＝y°，

∴y＝2x．

24．（12 分）已知：△ABC 中，AB＝BC＝6，⊙O 是△ABC 的外接圆．

（1）如图 1，若∠ABC＝60°，求证：；

（2） 如图 2，若∠ABC＝60°，D 为在上一动点，过点 B 作直线 AD 的垂线，垂足为 E．求证：CD
＝DE+AE；

（3） 如图 3，若∠ABC＝120°，过点 B 作 BF⊥BC 交 AC 于点 F．点 Q 是线段 AB 上一动点（不与 A， B 重合），连接 FQ，求 BQ+2FQ 的最小值．

【解答】（1）证明：∵AB＝BC，∠ABC＝60°，

∴△ABC 为等边三角形，

∴AC＝AB，

∴ ；
（2） 证明：过点 B 作 BF⊥CD 于点 F，连接 BD，如图，
∵AB＝BC，∠ABC＝60°，

∴△ABC 为等边三角形，

∴AC＝AB＝BC，

∵BF⊥CD，BE⊥AE，

∴∠E＝∠BFC＝90°，

∵ ，
∴∠DAB＝∠DCB． 在△AEB 和△CFB 中，

，

∴△AEB≌△CFB（AAS），

∴AE＝CF，BE＝BF．

在 Rt△EBD 和 Rt△BFD 中，

，

∴Rt△EBD≌Rt△BFD（HL），

∴DE＝DF，

∵CD＝CF+FD，

∴CD＝DE+AE；

（3） 解：∵BF⊥BC，

∴∠FBC＝90°，

∵∠ABC＝120°，

∴∠ABF＝30°．

∵AB＝AC，∠ABC＝120°，

∴∠A＝∠C＝30°，
∴FB＝BC•tanC＝6× ＝2 ．
作∠MBA＝∠FBA＝30°，过点 Q 作 QH⊥MB 于点 H，过点 F 作 FD⊥BM 于点 D，交 AB 于点 E，如图，

∵∠MBA＝30°，QH⊥MB，

∴QH＝ BQ，
由题意：FQ+QH≥FD，
∴FQ+QH＝FQ+ BQ＝ （2FQ+BQ）≥FD，
∴2FQ+BQ≥2FD．

∴当点 Q 与点 E 重合时，2FQ+BQ 取得最小值为 2FD．

∵∠FBD＝2∠FBA＝60°，FD⊥BM，

∴FD＝FB•sin60°＝2 ＝3．

∴BQ+2FQ 的最小值＝2FD＝6．

25．（12 分）已知抛物线 y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）与 x 轴交于坐标原点 O 和点 A．
（1） 已知该抛物线的顶点 P 的纵坐标与点 A 的横坐标相同，设过点 A 的直线 y＝mx﹣6 与抛物线的另一个交点为 B．求点 P 和点 B 的坐标；
（2） 将线段 OA 绕点 O 逆时针旋转 45°得到线段 OC，若该抛物线与线段 OC 只有一个交点，请直接写出 a 的取值范围；
（3） 若直线 y＝kx﹣6（k≠3）与该抛物线交于 M，N 两点（点 M 在点 N 左侧），连接 AM，AN．设直线 AM 为 y1＝k1x+m1，直线 AN 为 y2＝k2x+m2；令 t＝k1•k2，求 t 与 a 的函数关系式．
【解答】解：（1）∵抛物线 y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）与 x 轴交于坐标原点 O，则 c＝0，
则抛物线的表达式为：y＝ax2﹣2ax＝a（x﹣1）2﹣a， 则点 P（1，﹣a），
∵P 的纵坐标与点 A 的横坐标相同，则点 A（﹣a，0），

将点 A 的坐标代入抛物线表达式得：0＝a（﹣a﹣1）2﹣a， 解得：a＝﹣2，
则点 A（2，0），则点 P（1，2），

则抛物线的表达式为：y＝﹣2x2+4x①，
将点 A 的坐标代入 y＝mx﹣6 得：0＝2m﹣6， 解得：m＝3，
则一次函数的表达式为：y＝3x﹣6②， 联立①②得：﹣2x2+4x＝3x﹣6，
解得：x＝2（舍去）或﹣1.5，

即点 B（﹣1.5，﹣）；
（2） 当 a＜0 时，

如图，过点 C 作 CH∥y 轴交抛物线于点 H， 由题意得，OC＝OA＝2，
而直线 CO 和 x 轴的夹角为 45°，则点 C（，），当 x＝时，yH＞ ，
即 yH＝ax2﹣2ax＝2a﹣2a ， 解得：a＜﹣ ，
即 a＜﹣ ；

当 a＞0 时， 如图，

由题意得，OC＝OA＝2，
而直线 CO 和 x 轴的夹角为 45°，则点 C（，），过点 C 作 CT∥y 轴交抛物线于点 T，
该抛物线与线段 OC 只有一个交点， 则点 C 在点 T 之上，
当 x＝时，yT＝ax2﹣2ax＝2a﹣2 a， 即 2a﹣2 a，

解得：a＞﹣ ，

而 a＞0， 即 a＞0；
综上，a＜﹣ 或 a＞0；
（3） 设点 M、N 的坐标分别为：（m，am2﹣2am）、（n，an2﹣2an），由点 M、A 的坐标得，直线 AM 的表达式为：y＝am（x﹣2），
即 k1＝am，
同理可得：k2＝an， 则 t＝a2mn，
联立直线 y＝kx﹣6 和抛物线的表达式并整理得：
ax2﹣（2a+k）x+6＝0， 则 mn＝，
则 t＝a2mn＝6a．