2023-2024学年广东省广州市番禺区九年级（上）期末数学试卷（含答案）.docx

2023-2024 学年广东省广州市番禺区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．)
1．（3 分）下列关于 x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）

A．x2+1＝0 B．x2+2x+1＝0 C．x2+2x+3＝0 D．x2+2x﹣3＝0 2．（3 分）将抛物线 y＝3x2 向上平移 2 个单位，得到抛物线的解析式是（ ）
A．y＝3x2﹣2 B．y＝3x2 C．y＝3（x+2）2 D．y＝3x2+2
3．（3 分）古典园林中的花窗通常利用对称构图，体现对称美．下面四个花窗图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3 分）某种商品原价是 120 元，经两次降价后的价格是 100 元，求平均每次降价的百分率．设平均每

次降价的百分率为 x，可列方程为（
）

A．120（1﹣x）2＝100
C．100（1+x）2＝120

B．100（1﹣x）2＝120
D．120（1+x）2＝100

5．（3 分）如图，正方形 ABCD 内接于⊙O，点 P 在上，则∠BPC 的度数为（ ）

A．30° B．45° C．60° D．90°

6．（3 分）用配方法将方程 x2﹣8x﹣1＝0 变形为（x﹣m）2＝17，则 m 的值是（ ）
A．﹣2 B．4 C．﹣4 D．8

7．（3 分）平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（4，3），将线段 OA 绕原点 O 顺时针旋转 90°得到 OA′，则点 A′的坐标是（ ）
A．（﹣4，3） B．（﹣3，4） C．（3，﹣4） D．（4，﹣3）

第 9页（共 27页）

8．（3 分）一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上分别刻有 1 到 6 的点数，投掷此骰子，朝上面的点数为奇数的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．（3 分）如图，△ABC 的内切圆⊙I 与 BC，CA，AB 分别相切于点 D，E，F，若⊙I 的半径为 r，∠A＝α，则（BF+CE﹣BC）的值和∠FDE 的大小分别为（ ）

A．2r，90°﹣α B．0，90°﹣α C．2r， D．0，
10．（3 分）抛物线 y＝ax2+bx+c（a，b，c 是常数，c＜0）经过（1，1），（m，0），（n，0）三点，且 n≥3．在下列四个结论中：①a+b+c＞0；②4ac﹣b2≤4a；③当 n＝3 时，若点（2，t）在该抛物线上，则 t＜1；
④若关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c＝x 有两个相等的实数根，则，其正确结论的序号是
（ ）

A．②③④ B．①②④ C．①②③ D．①③④
二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分.）

11．（3 分）一元二次方程 x2﹣9＝0 的解是 ．
12．（3 分）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 2m 时，水面宽 4m，则水面下降 1m 时，水面宽度增加

m．

13．（3 分）关于 x 的方程 5x2﹣mx﹣1＝0 的一根为 1，则另一根为 ．

14．（3 分）如图，已知正方形 ABCD 的边长为 3，E 为 CD 边上一点，DE＝1．以点 A 为中心，把△ADE顺时针旋转 90°，得△ABE′，连接 EE′，则 EE′的长等于 ．

15．（3 分）如图，转盘中四个扇形的面积都相等，任意转动这个转盘 2 次，当转盘停止转动时，指针 2 次都落在灰色区域的概率是 ．

16．（3 分）如图，在▱ABCD 中，AB＝+1，BC＝2，AH⊥CD，垂足为 H，AH＝．以点 A 为圆心， AH 长为半径画弧，与 AB，AC，AD 分别交于点 E，F，G．若用扇形 AEF 围成一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为 r1；用扇形 AHG 围成另一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为 r2，则 r1
﹣r2＝ ．（结果保留根号）

三、解答题（本大题共 9 小题，满分 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演

17．（4 分）解方程：（x﹣3）（x+1）＝x﹣3．

18．（6 分）已知二次函数 y＝x2+bx+c 的图象经过 A（0，2），B（1，﹣3）两点．
（1） 求 b 和 c 的值；

（2） 自变量 x 在什么范围内取值时，y 随 x 的增大而减小？

19．（6 分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为 1，在平面直角坐标系 xOy 内，四边形 ABCD 的四个顶点都在格点上，且 B（﹣2，1），O 为 AD 边的中点．若把四边形 ABCD 绕着点 O 顺时针旋转 180°，试解答下列问题：
（1） 画出四边形 ABCD 旋转后的图形；

（2） 设点 B 旋转后的对应点为 B'，写出 B'的坐标，并求 B 旋转过程中所经过的路径长（结果保留π）．

20．（6 分）已知关于 x 的方程 x2+ax+a﹣2＝0
（1） 若该方程的一个根为 1，求 a 的值及该方程的另一根；

（2） 求证：不论 a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．

21．（8 分）如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，且 AC＝8，BC＝6．

（1） 尺规作图：过点 O 作 AC 的垂线，垂足为 E，交劣弧于点 D，连接 CD（保留作图痕迹，不写作法）；
（2） 在（1）所作的图形中，分别求 OE 和 CD 的长．

22．（10 分）甲、乙两位同学相约打乒乓球．

（1） 有款式完全相同的 4 个乒乓球拍（分别记为 A，B，C，D），若甲先从中随机选取 1 个，乙再从余下的球拍中随机选取 1 个，求乙选中球拍 C 的概率；
（2） 双方约定：两人各投掷一枚质地均匀的硬币，如果两枚硬币全部正面向上或全部反面向上，那么 甲先发球，否则乙先发球．这个约定是否公平？为什么？

23．（10 分）如图，在△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝12cm，BC＝2AB，动点 P 从点 A 开始沿边 AB 向点 B 以 2cm/s 的速度移动，动点 Q 从点 B 开始沿边 BC 向点 C 以 4cm/s 的速度移动．如果 P，Q 两点分别从 A，B 两点同时出发，那么△BPQ 的面积 S 随出发时间 t 而变化．
（1） 求出 S 关于 t 的函数解析式，写出 t 的取值范围；

（2） 当 t 取何值时，S 最大？最大值是多少？

24．（10 分）MN 是⊙O 上的一条不经过圆心的弦，MN＝4，在劣弧 MN 和优弧 MN 上分别有点 A，B（不与 M，N 重合），且，连接 AM，BM．
（1） 如图 1，AB 是直径，AB 交 MN 于点 C，∠ABM＝30°，求∠CMO 的度数；

（2） 如图 2，连接 OM，AB，过点 O 作 OD∥AB 交 MN 于点 D，求证：∠MOD+2∠DMO＝90°；

（3） 如图 3，连接 AN，BN，试猜想 AM•MB+AN•NB 的值是否为定值，若是，请求出这个值；若不是， 请说明理由．

25．（12 分）蔬菜大棚是一种具有出色保温性能的框架覆膜结构，它的出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空 间．如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形 ABCD 和抛物线的一部分 AED 构成（以下简记为“抛物线 AED”），其中 AB＝4m，BC＝6m，现取 BC 中点 O，过点 O 作线段 BC 的垂直平分线 OE 交抛物线 AED 于点 E，OE＝7m，若以 O 点为原点，BC 所在直线为 x 轴，OE 为 y 轴建立如图①所示平面直角坐标系．请结合图形解答下列问题：
（1） 求抛物线的解析式；

（2） 如图②，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置 LFGT，SMNR， 其中 L，R 在抛物线 AED 上，若 FL＝NR＝0.75m，求两个正方形装置的间距 GM 的长；
（3） 如图③，在某一时刻，太阳光线透过 A 点恰好照射到 C 点，大棚截面的阴影为 BK，此刻，过点K 的太阳光线所在的直线与抛物线 AED 交于点 P，求线段 PK 的长．

2023-2024 学年广东省广州市番禺区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．)
1．（3 分）下列关于 x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）

A．x2+1＝0 B．x2+2x+1＝0 C．x2+2x+3＝0 D．x2+2x﹣3＝0
【解答】解：A、x2+1＝0 中Δ＜0，没有实数根； B、x2+2x+1＝0 中Δ＝0，有两个相等的实数根； C、x2+2x+3＝0 中Δ＜0，没有实数根；
D、x2+2x﹣3＝0 中Δ＞0，有两个不相等的实数根． 故选：D．
2．（3 分）将抛物线 y＝3x2 向上平移 2 个单位，得到抛物线的解析式是（ ）
A．y＝3x2﹣2 B．y＝3x2 C．y＝3（x+2）2 D．y＝3x2+2
【解答】解：原抛物线的顶点为（0，0），向上平移 2 个单位那么新抛物线的顶点为（0，2）．可设新抛物线的解析式为 y＝3（x﹣h）2+k，
代入得 y＝3x2+2． 故选：D．
3．（3 分）古典园林中的花窗通常利用对称构图，体现对称美．下面四个花窗图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、原图不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；

B、原图既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意； C、原图既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、原图不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； 故选：C．
4．（3 分）某种商品原价是 120 元，经两次降价后的价格是 100 元，求平均每次降价的百分率．设平均每

第 27页（共 27页）

次降价的百分率为 x，可列方程为（
）

A．120（1﹣x）2＝100
C．100（1+x）2＝120

B．100（1﹣x）2＝120
D．120（1+x）2＝100

【解答】解：∵某种商品原价是 120 元，平均每次降价的百分率为 x，

∴第一次降价后的价格为：120×（1﹣x），

∴第二次降价后的价格为：120×（1﹣x）×（1﹣x）＝120×（1﹣x）2，
∴可列方程为：120（1﹣x）2＝100， 故选：A．
5．（3 分）如图，正方形 ABCD 内接于⊙O，点 P 在上，则∠BPC 的度数为（ ）

A．30° B．45° C．60° D．90°

【解答】解：连接 OB、OC，如图，

∵正方形 ABCD 内接于⊙O，

∴ 所对的圆心角为 90°，
∴∠BOC＝90°，
∴∠BPC＝ ∠BOC＝45°． 故选：B．
6．（3 分）用配方法将方程 x2﹣8x﹣1＝0 变形为（x﹣m）2＝17，则 m 的值是（ ）
A．﹣2 B．4 C．﹣4 D．8

【解答】解：x2﹣8x﹣1＝0， x2﹣8x＝1， x2﹣8x+16＝17，

（x﹣4）2＝17， 所以 m＝4．
故选：B．

7．（3 分）平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（4，3），将线段 OA 绕原点 O 顺时针旋转 90°得到 OA′，则点 A′的坐标是（ ）
A．（﹣4，3） B．（﹣3，4） C．（3，﹣4） D．（4，﹣3）

【解答】解：作 AB⊥x 轴于 B 点，A′B′⊥y 轴于 B′点．如图所示．

∵A（4，3），∴OB＝4，AB＝3．

∴OB′＝4，A′B′＝3．

∵A′在第四象限，∴A′（3，﹣4）．故选：C．

8．（3 分）一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上分别刻有 1 到 6 的点数，投掷此骰子，朝上面的点数为奇数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵骰子六个面中奇数为 1，3，5，
∴P（向上一面为奇数）＝ ， 故选：D．
9．（3 分）如图，△ABC 的内切圆⊙I 与 BC，CA，AB 分别相切于点 D，E，F，若⊙I 的半径为 r，∠A＝α，则（BF+CE﹣BC）的值和∠FDE 的大小分别为（ ）

A．2r，90°﹣α B．0，90°﹣α C．2r， D．0，
【解答】解：如图，连接 IF，IE．
∵△ABC 的内切圆⊙I 与 BC，CA，AB 分别相切于点 D，E，F，

∴BF＝BD，CD＝CE，IF⊥AB，IE⊥AC，

∴BF+CE﹣BC＝BD+CD﹣BC＝BC﹣BC＝0，∠AFI＝∠AEI＝90°，

∴∠EIF＝180°﹣α，

∴∠EDF＝ ∠EIF＝90°﹣ α．

故选：D．

10．（3 分）抛物线 y＝ax2+bx+c（a，b，c 是常数，c＜0）经过（1，1），（m，0），（n，0）三点，且 n≥3．在下列四个结论中：①a+b+c＞0；②4ac﹣b2≤4a；③当 n＝3 时，若点（2，t）在该抛物线上，则 t＜1；
④若关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c＝x 有两个相等的实数根，则，其正确结论的序号是
（ ）

A．②③④ B．①②④ C．①②③ D．①③④
【解答】解：①∵图象经过（1，1），
∴a+b+c＝1＞0， 故①正确；
②∵c＜0，
∴抛物线与 y 轴的负半轴有交点，

如果抛物线的开口向上，则抛物线与 x 轴的交点 都在（1，0）的左侧，

∵（n，0）中 n≥3，

∴抛物线与 x 轴的一个交点一定在（3，0）或（3，0）的右侧，

∴抛物线的开口一定向下，即 a＜0，

把（1，1）代入 y＝ax2+bx+c 得：a+b+c＝1， 即 b＝1﹣a﹣c，
∵a＜0，c＜0，

∴b＞0，
∴ ＞0，
∴方程 ax2+bx+c＝0 的两个根的积大于 0， 即 mn＞0，
∵n≥3，

∴m＞0，
∴ ＞1.5，
即抛物线的对称轴在直线 x＝1.5 的右侧，

∴抛物线的顶点在点（1，1）的上方或者右上方，
∴ ≥1，
∵4a＜0，

∴4ac﹣b2≤4a， 故②正确；
③∵m＞0，
∴当 n＝3 时，＞1.5，
∴抛物线对称轴在直线 x＝1.5 的右侧，

∴（1，1）到对称轴的距离大于（2，t）到对称轴的距离，

∵a＜0，抛物线开口向下，

∴距离抛物线越近的函数值越大，

∴t＞1，

故③错误；

④方程 ax2+bx+c＝x 可变为 ax2+（b﹣1）x+c＝0，
∵方程有两个相等的实数解，

∴Δ＝（b﹣1）2﹣4ac＝0．
∵把（1，1）代入 y＝ax2+bx+c 得 a+b+c＝1，即 1﹣b＝a+c，
∴（a+c）2﹣4ac＝0， 即 a2+2ac+c2﹣4ac＝0，
∴（a﹣c）2＝0，

∴a﹣c＝0， 即 a＝c，
∵（m，0），（n，0）在抛物线上，

∴m，n 为方程 ax2+bx+c＝0 的两个根，
∴mn＝ ＝1，
∴n＝
∵n≥3，
∴ ≥3，
∴0＜m≤ ， 故④正确．
综上，正确的结论有：①②④． 故选：B．
二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分.）

11．（3 分）一元二次方程 x2﹣9＝0 的解是 x1＝3，x2＝﹣3 ．
【解答】解：∵x2﹣9＝0，
∴x2＝9，
解得：x1＝3，x2＝﹣3．
故答案为：x1＝3，x2＝﹣3．
12．（3 分）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 2m 时，水面宽 4m，则水面下降 1m 时，水面宽度增加 （2
﹣4） m．

【解答】解：建立平面直角坐标系，设横轴 x 通过 AB，纵轴 y 通过 AB 中点 O 且通过 C 点，则通过画图可得知 O 为原点，

抛物线以 y 轴为对称轴，且经过 A，B 两点，可求出 OA 和 OB 为 AB 的一半 2 米，抛物线顶点 C 坐标为（0，2），
设顶点式 y＝ax2+2，代入 A 点坐标（﹣2，0），得：a＝﹣0.5，
所以抛物线解析式为 y＝﹣0.5x2+2， 把 y＝﹣1 代入抛物线解析式得出：
﹣1＝﹣0.5x2+2， 解得：x＝± ，
所以水面宽度增加到 2米，比原先的宽度当然是增加了 2﹣4， 故答案为：（2﹣4）．
13．（3 分）关于 x 的方程 5x2﹣mx﹣1＝0 的一根为 1，则另一根为 x＝﹣ ．
【解答】解：∵x＝1 是方程 5x2﹣mx﹣1＝0 的根，
∴5﹣m﹣1＝0， 解得 m＝4，
∴方程为 5x2﹣4x﹣1＝0，
（5x+1）（x﹣1）＝0，

5x+1＝0 或 x﹣1＝0，
解得 x＝﹣或 x＝1， 故答案为：x＝﹣ ．
14．（3 分）如图，已知正方形 ABCD 的边长为 3，E 为 CD 边上一点，DE＝1．以点 A 为中心，把△ADE顺时针旋转 90°，得△ABE′，连接 EE′，则 EE′的长等于 ．

【解答】解：根据旋转的性质得到：BE′＝DE＝1，在直角△EE′C 中：EC＝DC﹣DE＝2，CE′＝

BC+BE′＝4．

根据勾股定理得到：EE′＝ ＝ ＝2 ． 故答案为：2 ．
15．（3 分）如图，转盘中四个扇形的面积都相等，任意转动这个转盘 2 次，当转盘停止转动时，指针 2 次都落在灰色区域的概率是 ．

【解答】解：画树状图如下：

共有 16 种等可能的结果，其中两次都落在灰色区域的结果有共 4 种，
∴两次都落在灰色区域的概率为 ＝ ． 故答案为： ．
16．（3 分）如图，在▱ABCD 中，AB＝+1，BC＝2，AH⊥CD，垂足为 H，AH＝．以点 A 为圆心， AH 长为半径画弧，与 AB，AC，AD 分别交于点 E，F，G．若用扇形 AEF 围成一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为 r1；用扇形 AHG 围成另一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为 r2，则 r1
﹣r2＝ ．（结果保留根号）

【解答】解：在▱ABCD 中，AB＝+1，BC＝2，
∴AD＝BC＝2，CD＝AB＝ +1，AB∥CD．
∵AH⊥CD，垂足为 H，AH＝，
∴sinD＝ ＝ ，
∴∠D＝60°，

∴∠DAH＝90°﹣∠D＝30°，
∴DH＝ AD＝1，
∴CH＝CD﹣DH＝ +1﹣1＝ ，
∴CH＝AH，

∵AH⊥CD，

∴△ACH 是等腰直角三角形，

∴∠ACH＝∠CAH＝45°，

∵AB∥CD，

∴∠BAC＝∠ACH＝45°，

∴ ＝2πr1，解得 r1＝ ，

＝2πr2，解得 r2＝ ，

∴r1﹣r2＝ ﹣ ＝ ． 故答案为： ．

三、解答题（本大题共 9 小题，满分 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演

17．（4 分）解方程：（x﹣3）（x+1）＝x﹣3．

【解答】解：原方程变形得：（x﹣3）（x+1）﹣（x﹣3）＝0，因式分解得：（x﹣3）（x+1﹣1）＝0，
即 x（x﹣3）＝0，

解得：x1＝0，x2＝3．

18．（6 分）已知二次函数 y＝x2+bx+c 的图象经过 A（0，2），B（1，﹣3）两点．
（1） 求 b 和 c 的值；

（2） 自变量 x 在什么范围内取值时，y 随 x 的增大而减小？
【解答】解：（1）把 A（0，2），B（1，﹣3）两点代入二次函数 y＝x2+bx+c 得，解得 b＝﹣6，c＝2；
（2）由（1）得 y＝x2﹣6x+2，则对称轴为：直线 x＝3，
∵a＝1＞0，

∴开口向上，

∴当 x＜3 时，y 随 x 的增大而减小．

19．（6 分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为 1，在平面直角坐标系 xOy 内，四边形 ABCD 的四个顶点都在格点上，且 B（﹣2，1），O 为 AD 边的中点．若把四边形 ABCD 绕着点 O 顺时针旋转 180°，试解答下列问题：
（1） 画出四边形 ABCD 旋转后的图形；

（2） 设点 B 旋转后的对应点为 B'，写出 B'的坐标，并求 B 旋转过程中所经过的路径长（结果保留π）．

【解答】解：（1）如图，四边形 A′B′C′D′即为所求；

（2）B′（2，﹣1），

∵OB＝ ＝ ，

∴B 旋转过程中所经过的路径长＝×2π× ＝ π．
20．（6 分）已知关于 x 的方程 x2+ax+a﹣2＝0
（1） 若该方程的一个根为 1，求 a 的值及该方程的另一根；

（2） 求证：不论 a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
【解答】解：（1）将 x＝1 代入方程 x2+ax+a﹣2＝0 得，1+a+a﹣2＝0，解得，a＝；方程为 x2+x﹣ ＝0，即 2x2+x﹣3＝0，设另一根为 x1，则 1•x1＝﹣，x1＝﹣ ．
∴a 的值为，该方程的另一个根是﹣ ．

（2）∵Δ＝a2﹣4（a﹣2）＝a2﹣4a+8＝a2﹣4a+4+4＝（a﹣2）2+4＞0，
∴不论 a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．

21．（8 分）如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，且 AC＝8，BC＝6．

（1） 尺规作图：过点 O 作 AC 的垂线，垂足为 E，交劣弧于点 D，连接 CD（保留作图痕迹，不写作法）；
（2） 在（1）所作的图形中，分别求 OE 和 CD 的长．
【解答】解：（1）分别以 A、C 为圆心，大于AC 为半径画弧，在 AC 的两侧分别相交于 P、Q 两点，画直线 PQ 交劣弧于点 D，交 AC 于点 E，即作线段 AC 的垂直平分线，由垂径定理可知，直线 PQ 一定过点 O；

（2）∵AB 是⊙O 的直径，

∴∠ACB＝90°，

在 Rt△ABC 中，且 AC＝8，BC＝6．

∴AB＝ ＝10，
∵OD⊥AC，

∴AE＝CE＝ AC＝4，

又∵OA＝OB，

∴OE 是△ABC 的中位线，
∴OE＝ BC＝3，
由于 PQ 过圆心 O，且 PQ⊥AC， 即点 O 到 AC 的距离为 3，
连接 OC，在 Rt△CDE 中，

∵DE＝OD﹣CE＝5﹣3＝2，CE＝4，

∴CD＝ ＝ ＝2 ．

22．（10 分）甲、乙两位同学相约打乒乓球．

（1） 有款式完全相同的 4 个乒乓球拍（分别记为 A，B，C，D），若甲先从中随机选取 1 个，乙再从余下的球拍中随机选取 1 个，求乙选中球拍 C 的概率；
（2） 双方约定：两人各投掷一枚质地均匀的硬币，如果两枚硬币全部正面向上或全部反面向上，那么 甲先发球，否则乙先发球．这个约定是否公平？为什么？
【解答】解：（1）画树状图如下：

一共有 12 种等可能的结果，其中乙选中球拍 C 有 3 种可能的结果，
∴P（乙选中球拍 C）＝；
（2）公平．理由如下： 画树状图如下：

一共有 4 种等可能的结果，其中两枚硬币全部正面向上或全部反面向上有 2 种可能的结果，
∴P（甲先发球）＝ ，
P（乙先发球）＝ ，
∵P（甲先发球）＝P（乙先发球），

∴这个约定公平．

23．（10 分）如图，在△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝12cm，BC＝2AB，动点 P 从点 A 开始沿边 AB 向点 B 以 2cm/s 的速度移动，动点 Q 从点 B 开始沿边 BC 向点 C 以 4cm/s 的速度移动．如果 P，Q 两点分别从 A，B 两点同时出发，那么△BPQ 的面积 S 随出发时间 t 而变化．
（1） 求出 S 关于 t 的函数解析式，写出 t 的取值范围；

（2） 当 t 取何值时，S 最大？最大值是多少？
【解答】解：（1）由题知，

∵AB＝12cm，BC＝2AB，

∴BC＝24cm．

又∵动点 P 从点 A 开始沿边 AB 向点 B 以 2cm/s 的速度移动，动点 Q 从点 B 开始沿边 BC 向点 C 以 4cm/s

的速度移动，

∴BP＝12﹣2t，BQ＝4t，
∴ ，
∵点 P 和点 Q 分别在 AB 和 BC 上运动，

∴0≤t≤6．

（2）∵S＝﹣4t2+24t，
∴当 t＝时，S 有最大值， 且 0≤3≤6，

∴ ．
故当 t＝3 时，S 有最大值为 36．

24．（10 分）MN 是⊙O 上的一条不经过圆心的弦，MN＝4，在劣弧 MN 和优弧 MN 上分别有点 A，B（不与 M，N 重合），且，连接 AM，BM．
（1） 如图 1，AB 是直径，AB 交 MN 于点 C，∠ABM＝30°，求∠CMO 的度数；

（2） 如图 2，连接 OM，AB，过点 O 作 OD∥AB 交 MN 于点 D，求证：∠MOD+2∠DMO＝90°；

（3） 如图 3，连接 AN，BN，试猜想 AM•MB+AN•NB 的值是否为定值，若是，请求出这个值；若不是， 请说明理由．

【解答】解：（1）如图 1，
∵AB 是⊙O 的直径，

∴∠AMB＝90°．

∵ ，
∴∠AMN＝∠BMN＝45°．

∵OM＝OB，

∴∠OMB＝∠OBM＝30°，

∴∠CMO＝45°﹣30°＝15°；

（2） 如图 2，连接 OA，OB，ON．

∵ ，
∴∠AON＝∠BON． 又∵OA＝OB，
∴ON⊥AB．

∵OD∥AB，

∴∠DON＝90°．

∵OM＝ON，

∴∠OMN＝∠ONM．

∵∠OMN+∠ONM+∠MOD+∠DON＝180°，

∴∠MOD+2∠DMO＝90°；

（3） 如图 3，延长 MB 至点 M′，使 BM′＝AM，连接 NM′，作 NE⊥MM′于点 E．
设 AM＝a，BM＝b．

∵四边形 AMBN 是圆内接四边形，

∴∠A+∠MBN＝180°．

∵∠NBM′+∠MBN＝180°，

∴∠A＝∠NBM′．

∵ ，

∴AN＝BN，

∴△AMN≌△BM′N（SAS），

∴MN＝NM′，BM′＝AM＝a．

∵NE⊥MM′于点 E．
∴ ．
∵ME2+（BN2﹣BE2）＝MN2，
∴ ．
化简得 ab+NB2＝16，
∴AM•MB+AN•NB＝16．

25．（12 分）蔬菜大棚是一种具有出色保温性能的框架覆膜结构，它的出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空 间．如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形 ABCD 和抛物线的一部分 AED 构成（以下简记为“抛物线 AED”），其中 AB＝4m，BC＝6m，现取 BC 中点 O，过点 O 作线段 BC 的垂直平分线 OE 交抛物线 AED 于点 E，OE＝7m，若以 O 点为原点，BC 所在直线为 x 轴，OE 为 y 轴建立如图①所示平面直角坐标系．请结合图形解答下列问题：
（1） 求抛物线的解析式；

（2） 如图②，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置 LFGT，SMNR， 其中 L，R 在抛物线 AED 上，若 FL＝NR＝0.75m，求两个正方形装置的间距 GM 的长；
（3） 如图③，在某一时刻，太阳光线透过 A 点恰好照射到 C 点，大棚截面的阴影为 BK，此刻，过点K 的太阳光线所在的直线与抛物线 AED 交于点 P，求线段 PK 的长．

【解答】解：（1）由题意可知四边形 ABCD 为矩形，OE 为 BC 的中垂线，

∴AD＝BC＝6m，则 OB＝3m，

∵AB＝4m，OE＝7m，

∴A（﹣3，4），D（3，4），E（0，7），

设抛物线的解析式为：y＝ax2+bx+c，

∴ ，解得 ，

∴抛物线的解析式为：y＝﹣ x2+7；
（2） ∵四边形 LFGT，四边形 SMNR 均为正方形，FL＝NR＝0.75m，∴MN＝FG＝FL＝NR＝0.75m， 延长 LF 交 BC 于点 H，延长 RN 交 BC 于点 J，则四边形 FHJN，四边形 ABFH 均为矩形，
∴FH＝AB＝4m，FN＝HL，

∴HL＝HF+FL＝4.75m，
∵y＝﹣ x2+7，当 y＝4.75 时，4.75＝﹣x2+7，解得 x＝±，
∴H（﹣ ，0），J（，0），
∴FN＝HJ＝3 m，
∴GM＝FN﹣FG﹣MN＝（3 ﹣ ）m；
（3） ∵BC＝6m，OE 垂直平分 BC，

∴OB＝OC＝3m，

∴B（﹣3，0），C（3，0），

∵A（﹣3，4），
∴直线 AC 的解析式为：y＝﹣x+2，
∵太阳光为平行光，
设过点 K 平行于 AC 的光线的解析式为：y＝﹣x+t， 由题意可得，y＝﹣ x+t 与抛物线相切，
令﹣ x+t＝﹣ x2+7，整理得，x2﹣2x+3t﹣21＝0，

则Δ＝（﹣2）2﹣4（3t﹣21）＝0，
解得 t＝；
∴y＝﹣ x+ ，x2﹣2x+1＝0， 解得 x＝1，
∴P（1，），
当 y＝0 时，x＝11，即 K（11，0），

∴PK＝ ＝ m．