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宠物销售问题
摘 要
本文从宠物店卖小狗的实际问题出发，提出两种预定小狗的策略A和B。对于问题一，将策略A和B从已知条件抽象成数学表达式，然后跟据这些式子用Matlab编程来模拟这两种策略并比较了二者的优缺点。对于问题二，综合问题一中策略A和B的优缺点，提出了较为折中的策略C，在追求利润的同时考虑到成本。并通过Matlab编程实现了模型的验证。
关键词：数学表达式 抽象 模拟 Matlab

一 问题描述：
一家宠物店卖小狗。这家店每天需要在每只小狗身上花费10元钱，因此宠物店不想在店里存储太多的小狗。通过调查研究，在给定的天数x内，所卖出的小狗的数量服从泊松分布(λ =0.1)。
宠物店每十天平均能卖出一只小狗，而每卖出一只小狗的利润是20元。当一个顾客来到宠物店里时，如果店里没有宠物卖，那么该顾客就会到别的宠物店去。如果宠物店预定小狗的话,则所预定的小狗需要到6天后才能到店里。现在该宠物店正在考虑一种预定小狗的最好策略。
策略A：每卖出一只小狗，宠物店就新预定一只。这个策略意味着每次店里只有一个小狗，因此宠物店就不会花费太多在小狗身上。
策略B：宠物店每隔10天就预定一只新的小狗，该狗6天后到。使用这个策略后,如果顾客连续几个星期没有光顾宠物店，则宠物店必须花大量的钱在小狗上。
问题：
1、编写程序,来模拟这两种策略，并比较哪一种策略好。
2、请提出第三种更好的策略，写出数学证明,并用软件模拟。

二 模型的假设和说明：
假设一：顾客源是无穷的；
假设二：宠物价格再高，也有顾客买下；
假设三：模型以1天为单位时间，且模拟1000天内的情况；
假设四：时间原点，宠物店有宠物。

设:
第i个小狗到店时刻(为时间原点)；
第i个小狗卖出时刻；
第k个顾客到达时刻（为时间原点）；
第k-1个与第k个顾客到达的间隔时间（为时间原点到第1个顾客到达时刻的时间间隔）。

三 数学模型：
问题一：编写程序,来模拟这两种策略，并比较哪一种策略好。

策略A模型
由于每卖出一只宠物，宠物店就新预定一只，而预定的宠物需要到6天后才能到店里，可得（1.1.1）式
（1.1.1）

由题意可知，当顾客到达时刻该宠物店有宠物即能卖出，而若无宠物则未卖出，由此可得（1.1.2）式
（1.1.2）

因为，是第k个顾客到达时刻（为时间原点），是第k-1个与第k个顾客到达的间隔时间，故又得（1.1.3）式
（1.1.3）

如示意图图1

图1

∵每天所卖出的宠物的数量服从Poisson分布(λ=0.1)，即
∴卖出两只宠物的间隔时间服从指数分布（λ=0.1），即，即服从指数分布（λ=0.1）

宠物店1000天内养宠物的花费M为
（1.1.4）

宠物店1000天后的净利润（除去养宠物的花费）S为
(1.1.5)

生成服从Poisson分布的随机数，进行模拟1000内的情况。

策略B模型
由于宠物店每隔10天就预定一只新的宠物，该宠物6天后到，可得（1.2.1）式
（1.2.1）

参考策略A的（1.1.2）式、（1.1.3）式、（1.1.4）式和（1.1.5）式原理，可列出（1.2.2）式、（1.2.3）式、（1.2.4）式和（1.2.5）式

（1.2.2）
（1.2.3）
（1.2.4）
(1.2.5)
如示意图图2

图2

生成服从Poisson分布的随机数，进行模拟1000内的情况。

问题二：提出第三种更好的策略，并加以验证。
策略C：宠物店每隔6天就预定一只新的宠物，但最多只存放（养）2只宠物，若已经有2只，则不再预定新宠物，等到卖出一只宠物的那天再预定一只。

策略C模型
根据策略C可得（1.3.1）式
（1.3.1）
参考策略A的（1.1.2）式、（1.1.3）式、（1.1.4）式和（1.1.5）式原理，可列出（1.3.2）式、（1.3.3）式、（1.3.4）式和（1.3.5）式
（1.3.2）
（1.3.3）
（1.2.4）
(1.2.5)

如示意图图3

图3

生成服从Poisson分布的随机数，进行模拟1000内的情况。

四 模型求解：

经过思考，我选用matlab软件，因为matlab软件具有较大的实用性，且方便操作。
Matlab模拟程序原理如下

策略A的优点为：喂养宠物的成本花费较少；
缺点为：卖出的宠物较少，盈利也随之减少。

策略B的优点为：错过的顾客较少，宠物店存货丰富；
缺点为：喂养宠物的成本花费很大。

综合以上优缺点，参考上述两个营销思维，我们想出了较为折中的策略C，在追求利润的同时考虑到成本。

五 结果分析与总结：

问题一结果分析：
模拟结果如下表

利润S（元）
策略A
2220
策略B
2820
表1
单从利润分析，策略B利润较大。
问题二结果分析
模拟结果如下表

养宠物花费M（元）
1000天时剩余宠物数（只）
利润S（元）
平均每卖1只宠物的花费（元）
策略A
7596
0
2220
102.65
策略B
44304
6
2820
471.32
策略C
16500
1
2940
168.37
表2
很明显，策略C在利润上最大，且喂养宠物的成本较为合理，综合都方面因素，策略C较好。
六 参考文献：
【1】堵秀凤. 数学实验. 科学出版社， 2009
【2】李大潜. 中国大学生数学建模竞赛. 高等教育出版社，2008

七 附录：
模拟指数分布程序
>> i=1;k=1;
>> d=exprnd(10,[1,120]);
>> d=round(d);
>> c(k)=d(k);
>> for k=2:120
c(k)=c(k-1)+d(k) ;
end

图4 指数分布生成图

策略A的模拟程序：
>> a(i)=0;b(i)=d(1);
>> k=1;i=i+1;
>> for k=1:120
a(i)=b(i-1)+6 ;
while a(i)>c(k)
k=k+1;
end
b(i)=c(k);
i=i+1;
end

>> i=1;
>> M(i)=12*(b(i)-a(i));
>> i=i+1;
>> while (a(i)<1000 & b(i)<1000)
M(i)=12*(b(i)-a(i))+M(i-1);
i=i+1;
end
>> a(i-1)

ans =

995

>> b(i-1)

ans =

998
>> a(i)

ans =

1003
>> M(numel(M))

ans =

7596

>> S1=30*(i-1)
S1 =

2220

策略B的模拟程序：
>> a(i)=0;b(i)=d(1);
>> k=1;i=i+1;
>> a(i)=15;
>> while i<=120
while c(k)<a(i)
k=k+1;
end
b(i)=c(k);
k=k+1;
a(i+1)=a(i)+10;
i=i+1;
end

>> i=1;
>> N(i)=12*(b(i)-a(i));
>> i=i+1;
>> while (a(i)<1000 & b(i)<1000)
N(i)=12*(b(i)-a(i))+N(i-1);
i=i+1;
end
>> a(i-1)

ans =

935

>> b(i-1)

ans =

998

>> a(i)

ans =

945
>> b(i)

ans =

1001

>> N(i-1)

ans =

44304

>> S2=30*(i-1)

S2 =

2820

策略C的模拟程序：
>> a(1)=0;a(2)=10;
>> b(1)=d(1);
>> i=2;k=2;
>> while k<=120
if a(i)<=b(i-1)
a(i+1)=b(i-1)+5;
else
a(i+1)=a(i)+5;
end
while c(k)<a(i)
k=k+1;
end
b(i)=c(k);
i=i+1;
k=k+1;
end

>> i=1;
>> O(i)=12*(b(i)-a(i));
>> i=i+1;
>> while (a(i)<1000 & b(i)<1000)
O(i)=12*(b(i)-a(i))+O(i-1);
i=i+1;
end
>> a(i-1)

ans =

995

>> b(i-1)

ans =

998

>> a(i)

ans =

1000

>> b(i)

ans =

1001
>> O(i-1)

ans =

16500

>> S3=30*(i-1)

S3 =

2940

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