轴对称证明题.doc

轴对称
一．选择题（共6小题）
1．（2014•贵港）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（　　）

A．

B．
4
C．

D．
5

第1题 第2题 第3题
2．（2012•毕节地区）如图．在Rt△ABC中，∠A=30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E是垂足，连接CD，若BD=1，则AC的长是（　　）

A．
2
B．
2
C．
4
D．
4
3．如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于E，垂足为D．若ED=5，则CE的长为（　　）

A．
10
B．
8
C．
5
D．
2.5
4．（2012•铜仁地区）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为（　　）

A．
6
B．
7
C．
8
D．
9

第4题 第5题 第6题
5．如图Rt△ABC中，AB=BC=4，D为BC的中点，在AC边上存在一点E，连接ED，EB，则△BDE周长的最小值为（　　）

A．
2
B．
2
C．
2+2
D．
2+2
6．已知：如图，等腰直角三角形ABC的直角边长为16，D在AB上，且DB=4，M是在AC上的一动点，则DM+BM的最小值为（　　）

A．
20
B．

C．
16
D．
24
二．填空题（共3小题）
7．如图，△ABC中，∠C=90°，AB的中垂线DE交AB于E，交BC于D，若AB=10，AC=6，则△ACD的周长为　_________　．

8．如图所示，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC=4，则PD等于　_________　．

9．如图，D是等边△ABC的边AC的中点，点E在BC的延长线上，CE=CD，若S△ABC=cm2，则△BDE的周长是　_________　．

三．解答题（共21小题）
10．在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为D，过D作DE∥AC，交AB于E，若AB=5，求线段DE的长．

11．（2014•温州）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．
（1）求∠F的度数；
（2）若CD=2，求DF的长．

12．如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，
（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；
（2）何时△PBQ是直角三角形？
（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．

13．（2014•简阳市模拟）如图，在△ABC中，点O是AC边上的一点．过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于F．
（1）求证：EO=FO；
（2）若CE=4，CF=3，你还能得到那些结论？

14．（2012•温州模拟）在下列四个条件中：①AB=DC；②BE=CE；③∠B=∠C；④∠BAE=∠CDE．请选出两个作为条件，得出△AED是等腰三角形（写出一个即可），并加以证明．已知：　_________　；
求证：△AED是等腰三角形．

15．（2012•昌平区一模）如图，已知△ABC和△ADE都是等边三角形，连接CD、BE．求证：CD=BE．

16．（2011•龙岩质检）如图，AD是△ABC的平分线，DE，DF分别垂直AB、AC于E、F，连接EF，求证：△AEF是等腰三角形．

17．（2011•庐阳区模拟）如图，在△ABC中，D为AC上一点，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD，E为垂足，连接AE．
（1）写出图中所有相等的线段，并选择其中一对给予证明．
（2）若AD=1，求BE的长．

18．（2011•房山区一模）已知：等边三角形ABC
（1）如图1，P为等边△ABC外一点，且∠BPC=120°．试猜想线段BP、PC、AP之间的数量关系，并证明你的猜想；
（2）如图2，P为等边△ABC内一点，且∠APD=120°．求证：PA+PD+PC＞BD．

19．（2009•梅州一模）如图，已知△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AC=2cm，分别以A、B两点为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧分别相交于E、F两点，直线EF交BC于点D，求BD的长．

20．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，若点E是AD上的任意一点，连接BE、CE，试探求∠EBD与∠ECD的大小关系，并说明理由．

21．如图，在△ABC中，AB=AC，点F在AC上，在BA的延长线上截取AE=AF，求证：EF⊥BC．

22．如图，已知，AB=AC，F是BC上的一点，且FE⊥AC于E，FG⊥AB于G，CD⊥AB于D，求证：FG+FE=CD．

23．如图：在△ABC，AB=AC，AD=DE=EF=BF=BC，求△ABC各内角的度数．

24．在△ABC中，AD是BC边上的高，CD=AB+BD．求证：∠B=2∠C．

25．如图所示，在△ABC中，MN⊥AC，垂足为N，且MN平分∠AMC，△ABM的周长为9cm，AN=2cm，求△ABC的周长．

26．在△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB中点上，BC=BD，DE⊥AB，交∠ACB的平分线于点E，证明：DE=DC．

27．如图，AD为等边三角形的高，DE是△ADC的高，已知△ABC的边长为6，求AE的长．

28．如图所示，在等边△ABC中，∠B、∠C的平分线交于点O，过O作OD∥AB、OE∥AC分别与BC交于D、E．若△ABC的周长为m，试求OD+DE+OE的长．

29．如图，已知△ABC和△BDE都是等边三角形，求证：AE=CD．

30．如图，△ABC、△ADE是等边三角形，B、C、D在同一直线上．
求证：（1）CE=AC+DC；（2）∠ECD=60°．

2014年12月11日轴对称
参考答案与试题解析

一．选择题（共6小题）
1．（2014•贵港）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（　　）

A．

B．
4
C．

D．
5

考点：
轴对称-最短路线问题．菁优网版权所有
分析：
过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，由AD是∠BAC的平分线．得出PQ=PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，运用勾股定理求出AB，再运用S△ABC=AB•CM=AC•BC，得出CM的值，即PC+PQ的最小值．
解答：
解：如图，过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，
∵AD是∠BAC的平分线．
∴PQ=PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，
∵AC=6，BC=8，∠ACB=90°，
∴AB===10．
∵S△ABC=AB•CM=AC•BC，
∴CM===，
即PC+PQ的最小值为．
故选：C．

点评：
本题主要考查了轴对称问题，解题的关键是找出满足PC+PQ有最小值时点P和Q的位置．

2．（2012•毕节地区）如图．在Rt△ABC中，∠A=30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E是垂足，连接CD，若BD=1，则AC的长是（　　）

A．
2
B．
2
C．
4
D．
4

考点：
线段垂直平分线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
求出∠ACB，根据线段垂直平分线求出AD=CD，求出∠ACD、∠DCB，求出CD、AD、AB，由勾股定理求出BC，再求出AC即可．
解答：
解：∵∠A=30°，∠B=90°，
∴∠ACB=180°﹣30°﹣90°=60°，
∵DE垂直平分斜边AC，
∴AD=CD，
∴∠A=∠ACD=30°，
∴∠DCB=60°﹣30°=30°，
∵BD=1，
∴CD=2=AD，
∴AB=1+2=3，
在△BCD中，由勾股定理得：CB=，
在△ABC中，由勾股定理得：AC==2，
故选A．
点评：
本题考查了线段垂直平分线，含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点的应用，主要考查学生运用这些定理进行推理的能力，题目综合性比较强，难度适中．

3．（2012•河池）如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于E，垂足为D．若ED=5，则CE的长为（　　）

A．
10
B．
8
C．
5
D．
2.5

考点：
线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形．菁优网版权所有
分析：
根据线段垂直平分线性质得出BE=CE，根据含30度角的直角三角形性质求出BE的长，即可求出CE长．
解答：
解：∵DE是线段BC的垂直平分线，
∴BE=CE，∠BDE=90°（线段垂直平分线的性质），
∵∠B=30°，
∴BE=2DE=2×5=10（直角三角形的性质），
∴CE=BE=10．
故选A．
点评：
本题考查了含30度角的直角三角形性质和线段垂直平分线性质的应用，关键是得到BE=CE和求出BE长，题目比较典型，难度适中．

4．（2012•铜仁地区）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为（　　）

A．
6
B．
7
C．
8
D．
9

考点：
等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．菁优网版权所有
分析：
由∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E，∠MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB，利用两直线平行，内错角相等，利用等量代换可∠MBE=∠MEB，∠NEC=∠ECN，然后即可求得结论．
解答：
解：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E，
∴∠MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB，
∵MN∥BC，
∴∠EBC=∠MEB，∠NEC=∠ECB，
∴∠MBE=∠MEB，∠NEC=∠ECN，
∴BM=ME，EN=CN，
∴MN=ME+EN，
即MN=BM+CN．
∵BM+CN=9
∴MN=9，
故选D．
点评：
此题考查学生对等腰三角形的判定与性质和平行线性质的理解与掌握．此题关键是证明△BMO△CNO是等腰三角形．

5．如图Rt△ABC中，AB=BC=4，D为BC的中点，在AC边上存在一点E，连接ED，EB，则△BDE周长的最小值为（　　）

A．
2
B．
2
C．
2+2
D．
2+2

考点：
轴对称-最短路线问题；勾股定理．菁优网版权所有
专题：
计算题；压轴题．
分析：
要求△BDE周长的最小值，就要求DE+BE的最小值．根据勾股定理即可得．
解答：
解：过点B作BO⊥AC于O，延长BO到B′，使OB′=OB，连接DB′，交AC于E，
此时DB′=DE+EB′=DE+BE的值最小．
连接CB′，易证CB′⊥BC，
根据勾股定理可得DB′==2，
则△BDE周长的最小值为2+2．
故选C．

点评：
此题考查了线路最短的问题，确定动点E何位置时，使DE+BE的值最小是关键．

6．已知：如图，等腰直角三角形ABC的直角边长为16，D在AB上，且DB=4，M是在AC上的一动点，则DM+BM的最小值为（　　）

A．
20
B．

C．
16
D．
24

考点：
轴对称-最短路线问题；等腰直角三角形．菁优网版权所有
专题：
探究型．
分析：
作点B，B′关于直线AC对称，连接DB′，DB′就是最短距离，利用勾股定理求得DB′的长度即可．
解答：
解：连接AB′，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=45°，
∵点B与点B′关于直线AC对称，
∴BE=B′E，∠AEB=∠AEB′，
在△ABE与△AB′E中，
∵，
∴△ABE≌△AB′E，
∴△ABB′是等腰直角三角形，
∴AB′=AB=16，
∵AD=AB﹣DB=12，
DB′===20．
故选A．

点评：
本题考查的是轴对称最短路线问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是，利用勾股定理求解是解答此题的关键．

二．填空题（共3小题）
7．如图，△ABC中，∠C=90°，AB的中垂线DE交AB于E，交BC于D，若AB=10，AC=6，则△ACD的周长为　14　．

考点：
线段垂直平分线的性质．菁优网版权所有
分析：
先利用勾股定理求出BC的长，再利用中垂线的性质进行等量代换即可计算．
解答：
解：∵AB=10，AC=6，
∴BC=8
∵AB的中垂线DE交AB于E
∴AD=BD
∴BD+DC=AD+DC=8
∴△ACD的周长=8+6=14．
点评：
本题主要考查了线段垂直平分线的性质．

8．如图所示，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC=4，则PD等于　2　．

考点：
含30度角的直角三角形；等腰三角形的性质．菁优网版权所有
专题：
压轴题．
分析：
过点P作PM⊥OB于M，根据平行线的性质可得到∠BCP的度数，再根据直角三角形的性质可求得PM的长，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得到PM=PD，从而求得PD的长．
解答：
解：过点P作PM⊥OB于M，
∵PC∥OA，
∴∠COP=∠CPO=∠POD=15°，
∴∠BCP=30°，
∴PM=PC=2，
∵PD=PM，
∴PD=2．
故答案为：2．

点评：
本题考查了等腰三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质；解决本题的关键就是利用角平分线的性质，把求PD的长的问题进行转化．

9．如图，D是等边△ABC的边AC的中点，点E在BC的延长线上，CE=CD，若S△ABC=cm2，则△BDE的周长是　（）cm　．

考点：
等边三角形的性质．菁优网版权所有
专题：
综合题．
分析：
根据三角形ABC为等边三角形，得到三边相等，三个内角都为60°，由D为AC中点，根据“三线合一”得到BD与AC垂直，且∠ABD=∠CBD=30°，然后在直角三角形BCD中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得到CD为BC的一半，然后再由CE=CD，根据“等边对等角”得到∠CDE=∠E，因为∠ACB为三角形DCE的外角，根据外角性质得到∠CDE=∠E=30°，进而利用等量代换得到∠DBE=∠E，根据“等角对等边”得到DB=DE，设CD为x，则BC=AC=2x，根据勾股定理表示出BD，利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，让面积等于已知的列出关于x的方程，求出方程的解即可得到x的值，进而得到BD，DE，BC及CE的长，四条边相加即可得到周长．
解答：
解：∵D是等边△ABC的边AC的中点，
∴BD⊥AC，∠DBC=∠DBA=∠ABC=30°，
∴CD=BC，
∵CE=CD，∴∠CDE=∠E，
又∵等边三角形ABC，
∴∠ACB=60°，且为△CDE的外角，
∴∠CDE=∠E=30°，
∴∠DBC=∠E，
∴DB=DE，
设CD=x，则BC=AC=AB=2x，
根据勾股定理得：BD=x，
则S△ABC=AC•BD=×2x×x=，
解得：x=1，即CD=CE=1，BC=2，BD=，
△BDE的周长=BD+DE+BE=2BD+BC+CE=（3+2）cm．
故答案为：（3+2）cm．
点评：
此题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质及三角形外角性质．将直角三角形的三边用含有同一个字母的代数式表示，利用勾股定理列方程求解是本题的关键．通过此题，让学生明白计算的方法也是研究几何图形性质，完成几何证明的有效途径之一．

三．解答题（共21小题）
10．（2014•菏泽）（1）在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为D，过D作DE∥AC，交AB于E，若AB=5，求线段DE的长．
（2）已知x2﹣4x+1=0，求﹣的值．

考点：
等腰三角形的判定与性质；分式的化简求值；平行线的性质；直角三角形斜边上的中线．菁优网版权所有
分析：
（1）求出∠CAD=∠BAD=∠EDA，推出AE=DE，求出∠ABD=∠EDB，推出BE=DE，求出AE=BE，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可．
（2）化简以后，用整体思想代入即可得到答案．
解答：
解：（1）∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵DE∥AC，
∴∠CAD=∠ADE，
∴∠BAD=∠ADE，
∴AE=DE，
∵AD⊥DB，
∴∠ADB=90°，
∴∠EAD+∠ABD=90°，∠ADE+∠BDE=∠ADB=90°，
∴∠ABD=∠BDE，
∴DE=BE，
∵AB=5，
∴DE=BE=AE==2.5．

（2）原式=
=
∵x2﹣4x+1=0，∴x2﹣4x=﹣1，
原式=
点评：
本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线性质的应用，关键是求出DE=BE=AE．学会用整体思想解答有关问题是我们学习的关键．

11．（2014•温州）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．
（1）求∠F的度数；
（2）若CD=2，求DF的长．

考点：
等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．菁优网版权所有
专题：
几何图形问题．
分析：
（1）根据平行线的性质可得∠EDC=∠B=60°，根据三角形内角和定理即可求解；
（2）易证△EDC是等边三角形，再根据直角三角形的性质即可求解．
解答：
解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∵DE∥AB，
∴∠EDC=∠B=60°，
∵EF⊥DE，
∴∠DEF=90°，
∴∠F=90°﹣∠EDC=30°；

（2）∵∠ACB=60°，∠EDC=60°，
∴△EDC是等边三角形．
∴ED=DC=2，
∵∠DEF=90°，∠F=30°，
∴DF=2DE=4．
点评：
本题考查了等边三角形的判定与性质，以及直角三角形的性质，30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半．

12．（2014•郑州二模）如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，
（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；
（2）何时△PBQ是直角三角形？
（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．

考点：
等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形的性质．菁优网版权所有
专题：
动点型．
分析：
（1）因为点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，所以AP=BQ．AB=AC，∠B=∠CAP=60°，因而运用边角边定理可知△ABQ≌△CAP．再用全等三角形的性质定理及三角形的角间关系、三角形的外角定理，可求得CQM的度数．
（2）设时间为t，则AP=BQ=t，PB=4﹣t．分别就①当∠PQB=90°时；②当∠BPQ=90°时利用直角三角形的性质定理求得t的值．
（3）首先利用边角边定理证得△PBC≌△QCA，再利用全等三角形的性质定理得到∠BPC=∠MQC．再运用三角形角间的关系求得∠CMQ的度数．
解答：
解：（1）∠CMQ=60°不变．
∵等边三角形中，AB=AC，∠B=∠CAP=60°
又由条件得AP=BQ，
∴△ABQ≌△CAP（SAS），
∴∠BAQ=∠ACP，
∴∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°．

（2）设时间为t，则AP=BQ=t，PB=4﹣t
①当∠PQB=90°时，
∵∠B=60°，
∴PB=2BQ，得4﹣t=2t，t=；
②当∠BPQ=90°时，
∵∠B=60°，
∴BQ=2BP，得t=2（4﹣t），t=；
∴当第秒或第秒时，△PBQ为直角三角形．

（3）∠CMQ=120°不变．
∵在等边三角形中，AB=AC，∠B=∠CAP=60°
∴∠PBC=∠ACQ=120°，
又由条件得BP=CQ，
∴△PBC≌△QCA（SAS）
∴∠BPC=∠MQC
又∵∠PCB=∠MCQ，
∴∠CMQ=∠PBC=180°﹣60°=120°
点评：
此题是一个综合性很强的题目．本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质．难度很大，有利于培养同学们钻研和探索问题的精神．

13．（2014•简阳市模拟）如图，在△ABC中，点O是AC边上的一点．过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于F．
（1）求证：EO=FO；
（2）若CE=4，CF=3，你还能得到那些结论？

考点：
等腰三角形的判定与性质；勾股定理．菁优网版权所有
分析：
（1）根据角平分线的定义可得∠1=∠2，根据两直线平行，内错角相等可得∠1=∠3，然后求出∠2=∠3，再根据等角对等边可得OE=OC，同理可得OF=OC，从而得到OE=OF；
（2）CE是∠ACB的平分线，CF是∠OCD的平分线，所以∠ECF=90°，若CE=4，CF=3，得到EF=5，OE=OF=OC=．
解答：
解：（1）∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠1=∠2，
∵MN∥BC，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴OE=OC，
同理可得OF=OC，
∴OE=OF；
（2）∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠1=∠2，
∵CF是∠OCD的平分线，
∴∠4=∠5，
∴∠ECF=90°，
在Rt△ECF中，由勾股定理得
EF=．
∴OE=OF=OC=EF=．
点评：
本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，熟记性质是解题的关键．

14．（2012•温州模拟）在下列四个条件中：①AB=DC；②BE=CE；③∠B=∠C；④∠BAE=∠CDE．请选出两个作为条件，得出△AED是等腰三角形（写出一个即可），并加以证明．已知：　①AB=DC；③∠B=∠C；或①AB=DC；④∠BAE=∠CDE．
或②BE=CE；③∠B=∠C；或②BE=CE；④∠BAE=∠CDE　；
求证：△AED是等腰三角形．

考点：
等腰三角形的判定；全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
专题：
证明题．
分析：
根据“有两条边相等的三角形是等腰三角形”、“等角对等边”判定等腰三角形即可．
解答：
解：可以选择填写：①AB=DC；③∠B=∠C；或①AB=DC；④∠BAE=∠CDE．
或②BE=CE；③∠B=∠C；或②BE=CE；④∠BAE=∠CDE．
证明：下面以①③为例证明
∵∠BEA=∠CDE、∠B=∠C、AB=DC
∴△AEB≌△DEC
∴AE=DE
∴△AED是等腰三角形．

点评：
本题考查了等腰三角形的判定与性质，熟记等腰三角形的判定定理是解决此题的关键与基础．

15．（2012•昌平区一模）如图，已知△ABC和△ADE都是等边三角形，连接CD、BE．求证：CD=BE．

考点：
等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
专题：
证明题．
分析：
利用等边三角形的三边相等和各角都是60°，可证得△ADC≌△AEB，即可得结论．
解答：
证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AB=AC，AE=AD，∠DAE=∠CAB，
∵∠DAE﹣∠CAE=∠CAB﹣∠CAE，
∴∠DAC=∠EAB，
在△ADC和△AEB中，

∴△ADC≌△AEB． 　　　
∴CD=BE．
点评：
本题考查了等边三角形的性质与全等三角形的判定与性质，正确的利用等边三角形中隐含的条件证明全等是解决本题的关键．

16．（2011•龙岩质检）如图，AD是△ABC的平分线，DE，DF分别垂直AB、AC于E、F，连接EF，求证：△AEF是等腰三角形．

考点：
等腰三角形的判定；全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
专题：
证明题．
分析：
根据角平分线的性质知∠BAD=∠CAD；然后根据已知条件“DE，DF分别垂直AB、AC于E、F”得到∠DEA=∠DFA=90°；再加上公共边AD=AD，从而证明，△ADE≌△ADF；最后根据全等三角形的对应边相等证明△AEF的两边相等，所以△AEF是等腰三角形．
解答：
证明：∵AD是△ABC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD，（3分）
又∵DE，DF分别垂直AB、AC于E，F
∴∠DEA=∠DFA=90°（6分）
又∵AD=AD，∴△ADE≌△ADF．（8分）
∴AE=AF，即△AEF是等腰三角形（10分）

点评：
本题综合考查了等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质．解答此题时，根据全等三角形的判定定理ASA判定△ADE≌△ADF．

17．（2011•庐阳区模拟）如图，在△ABC中，D为AC上一点，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD，E为垂足，连接AE．
（1）写出图中所有相等的线段，并选择其中一对给予证明．
（2）若AD=1，求BE的长．

考点：
等腰三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；解直角三角形．菁优网版权所有
专题：
证明题．
分析：
（1）由∠BDC=60°，CE⊥BD，求得∠ECD=30°，根据直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，即可得CD=2ED，又由CD=2DA，即可证得ED=DA；
（2）利用（1）的结果ED=DA=1，在直角三角形CDE中，∠BDC=60°，ED=1，利用特殊角的三角函数值求得CE=；又有EA=EB=EC，所以BE=．
解答：
解：（1）ED=DA，EA=EC=BE（2分）
证明：∵CE⊥BD，∴△CED是直角三角形（3分）
∵∠BDC=60°，∴∠ECD=30°．（4分）
∴CD=2DE．（5分）
∵CD=2DA，∴DE=DA．（6分）

（2）在Rt△ECD中，
DE=DA=1，∠BDC=60°，
∴CE=，
∴BE=（10分）
点评：
本题综合考查了等腰三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形、解直角三角形．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意掌握数形结合思想的应用与有两角对应相等的三角形相似，相似三角形的对应边成比例，直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半定理的应用．

18．（2011•房山区一模）已知：等边三角形ABC
（1）如图1，P为等边△ABC外一点，且∠BPC=120°．试猜想线段BP、PC、AP之间的数量关系，并证明你的猜想；
（2）如图2，P为等边△ABC内一点，且∠APD=120°．求证：PA+PD+PC＞BD．

考点：
等边三角形的性质；等式的性质；三角形三边关系；全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
专题：
证明题；压轴题．
分析：
（1）AP=BP+PC，理由是延长BP至E，使PE=PC，连接CE，由∠BPC=120°，推出等边△CPE，得到CP=PE=CE，∠PCE=60°，根据已知等边△ABC，推出AC=BC，∠ACP=∠BCE，根据三角形全等的判定推出△ACP≌△BCE，得出AP=BE即可求出结论；
（2）在AD外侧作等边△AB′D，由（1）得PB′=AP+PD，根据三角形的三边关系定理得到PA+PD+PC＞CB′，再证△AB′C≌△ADB，根据全等三角形的性质推出CB′=BD即可．
解答：
猜想：AP=BP+PC，
（1）证明：延长BP至E，使PE=PC，连接CE，
∵∠BPC=120°，
∴∠CPE=60°，又PE=PC，
∴△CPE为等边三角形，
∴CP=PE=CE，∠PCE=60°，
∵△ABC为等边三角形，
∴AC=BC，∠BCA=60°，
∴∠ACB=∠PCE，
∴∠ACB+∠BCP=∠PCE+∠BCP，
即：∠ACP=∠BCE，
∴△ACP≌△BCE（SAS），
∴AP=BE，
∵BE=BP+PE，
∴AP=BP+PC．

（2）证明：在AD外侧作等边△AB′D，
则点P在三角形ADB′外，连接PB'，B'C，
∵∠APD=120°∴由（1）得PB′=AP+PD，
在△PB′C中，有PB′+PC＞CB′，
∴PA+PD+PC＞CB′，
∵△AB′D、△ABC是等边三角形，
∴AC=AB，AB′=AD，
∠BAC=∠DAB′=60°，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAB′+∠CAD，
即：∠BAD=∠CAB′，
∴△AB′C≌△ADB，
∴CB′=BD，
∴PA+PD+PC＞BD．

点评：
本题主要考查对等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系，等式的性质等知识点的理解和掌握，此题是一个拔高的题目，有一定的难度．

19．（2009•梅州一模）如图，已知△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AC=2cm，分别以A、B两点为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧分别相交于E、F两点，直线EF交BC于点D，求BD的长．

考点：
含30度角的直角三角形；线段垂直平分线的性质．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
根据EF为线段AB的垂直平分线得出AD=BD，求出∠ADC=30°，根据含30度角的直角三角形性质求出AD即可．
解答：
解：由图可知，EF为线段AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠DAB=∠B=15°，
∴∠ADC=∠DAB+∠B=30°，
在Rt△ACD中，AC=2cm，
∴BD=AD=2AC=4cm．

点评：
本题考查了含30度角的直角三角形和线段的垂直平分线性质的应用，主要培养了学生运用性质进行推理的能力，题目比较典型，难度适中．

20．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，若点E是AD上的任意一点，连接BE、CE，试探求∠EBD与∠ECD的大小关系，并说明理由．

考点：
等腰三角形的性质．菁优网版权所有
分析：
由条件可知BD=DC，且AD⊥BC，则AD为BC的垂直平分线，则EB=EC，可知∠EBD=∠ECD．
解答：
解：∠EBD=∠ECD，理由如下：
∵AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，
∴BD=DC，AD⊥BC，
∴AD为BC的垂直平分线，
∵点E在AD上，
∴EB=EC，
∴∠EBD=∠ECD．
点评：
本题主要考查等腰三角形的性质，由条件得出AD为BC的垂直平分线是解题的关键．

21．如图，在△ABC中，AB=AC，点F在AC上，在BA的延长线上截取AE=AF，求证：EF⊥BC．

考点：
等腰三角形的性质．菁优网版权所有
专题：
证明题．
分析：
由条件可得∠E=∠EFA=∠CFD，∠B=∠C，可得∠B+∠E=∠C+∠DFC，可得∠EDB=∠FDC，且两个角构成平角，所以可证得结论．
解答：
证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵AE=AF，
∴∠E∠EFA=∠CFD，
∵∠BDE=180°﹣∠B﹣∠E，∠FDC=180°﹣∠C﹣∠CFD，
∴∠BDE=∠FDC，且∠BDE+∠FDC=180°，
∴∠BDE=90°，
∴EF⊥BC．
点评：
本题主要考查等腰三角形的性质，由条件得到∠BDE=∠FDC是解题的关键．

22．如图，已知，AB=AC，F是BC上的一点，且FE⊥AC于E，FG⊥AB于G，CD⊥AB于D，求证：FG+FE=CD．

考点：
等腰三角形的性质；三角形的面积．菁优网版权所有
专题：
证明题．
分析：
连接AF，利用等积法，即S△ABC=S△ABF+S△ACF，利用面积公式表示出面积，结合AB=AC即可得出结论．
解答：
证明：如图，连接AF，
∵S△ABC=S△ABF+S△ACF，
∴AB•CD=AB•FG+AC•FE，
∵AB=AC，
∴CD=FG+FE，
即FG+FE=CD．

点评：
本题主要考查等腰三角形性质及等积法的运用，从不同的角度表示出同一个图形的面积，从而找到线段之间的关系是等积法的妙用，能起到事半功倍的效果．

23．如图：在△ABC，AB=AC，AD=DE=EF=BF=BC，求△ABC各内角的度数．

考点：
等腰三角形的性质．菁优网版权所有
分析：
设∠A=x，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求得各角的度数．
解答：
解：设∠A=x．
∵AD=DE，
∴∠AED=∠A=x，
∴∠CDE=2x，
∵DE=EF，
∴∠EFD=∠EDF=2x；
∴∠BEF=3x，
∵EF=BF，
∴∠FBE=∠BEF=3x；
∴∠BFC=4x，
∵BF=BC，
∴∠BFC=∠BCA=4x，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠BCA=4x，
∵x+4x+4x=180°，
∴x=20°，
故∠A=20°，∠ABC=∠ACB=80°．
点评：
本题考查等腰三角形的性质；利用了三角形的内角和定理得到相等关系，通过列方程求解是正确解答本题的关键．

24．在△ABC中，AD是BC边上的高，CD=AB+BD．求证：∠B=2∠C．

考点：
等腰三角形的判定与性质．菁优网版权所有
专题：
证明题．
分析：
在CD上取点E，使CE=AB，则DE=BD，可证得AB=AE，再利用等腰三角形的性质和外角的性质可得到结论．
解答：
证明：在CD上取点E，使CE=AB，
∵CD=AB+BD，
∴DE=BD，
∵AD是BC边上的高，
∴AD是BE的垂直平分线，
∴AB=AE=CE
∴∠B=∠AEB=2∠C．

点评：