西交大复变函数考查课习题及答案.doc

西安交通大学现代远程教育考试卷及答案

课 程：复变函数（A）
专业班号 考试日期 年 月 日
姓 名 学号 期中 期末

一、单项选择题（每题2分，共20分）

1、若函数在区域D内解析，则函数在区域D内（ ）
A．在有限个点可导 B．存在任意阶导数
C．在无穷多个点可导 D．存在有限个点不可导
2、设在内解析且，那么 （ ）
A． B． C．1 D．-1
3、函数，在以为中心的圆环内的洛朗展式有m个，则m=（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4、下列命题正确的是（ ）
A． B．零的辐角是零
C．仅存在一个数z,使得 D．
5、函数在处的泰勒展式为（ ）
A．（<1） B．（<1）
C． （<1） D．（<1）

6、在下列函数中，的是（ ）
A． B．
C． D．
7、设a，C：=1，则（ ）
A．0 B．
C． D．
8、下列函数是解析函数的为（ ）
A． B．
C． D．
9、下列命题中，不正确的是（ ）
A．如果无穷远点是的可去奇点，那么
B．若在区域内任一点的邻域内展开成泰勒级数，则在内解析
C．幂级数的和函数在收敛圆内是解析函数
D．函数将带形域映射为单位圆
10、函数在（ ）处可导。
A．全平面 B．
C． D．处处不可导
二、判断题（每题2分，共30分；正确：√；错误：×）

1、对任意的，.（ ）
2、在柯西积分公式中，如果，即在之外，其它条件不变，则积分0，.（ ）
3、区域是无界的单连通的闭区域。（ ）
4、若是和的一个奇点,则也是的奇点。（ ）
5、若与都是调和函数，则是解析函数。（ ）
6、解析函数的与互为共轭调和函数。（ ）
7、如果在连续，那么存在。（ ）
8、解析函数的导函数仍为解析函数。（ ）
9、如果在解析，那么在连续。（ ）
10、解析函数的零点是孤立的。（ ）
11、单位脉冲函数与常数1构成一个傅氏变换对。（ ）
12、如果，的偏导数存在，那么可导。（ ）
13、因为，所以在复平面上有界。（ ）
14、在处可导的函数，一定可以在的邻域内展开成泰勒级数。（ ）
15、每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛。（ ）
三、解答题（每题5分，共50分）

1、己知F，求函数的傅里叶变换。
2、求拉普拉斯逆变换.
3、（积分曲线取正向）
4、求幂级数的和函数，并注明其收敛域。
5、设，求其像原函数.
6、求下列各函数在其孤立奇点的留数。
(1) ; (2) ; (3) .
7、应用傅代变换解微分方程：
8、请指出指数函数、对数函数、正切函数的解析域，并说明它们的解析域是哪类点集。
9、求以为虚部的解析函数，使.
10、计算积分：，其中为以为圆心，为半径的正向圆周，为正整数。
复变函数
一、1B 2B 3C 4B 5B 6C 7B 8B 9A 10A
二、1╳ 2╳ 3╳ 4√ 5√ 6、╳ 7、╳ 8、√ 9、√ 10、╳ 11、╳ 12、╳ 13、╳ 14、╳ 15、╳

三、1、
2、
3、解：

4、解： ．

5、解：

6、解：（1）为的可去奇点,
;
（2）为的三阶极点, 为的一阶极点。
,
;
（3）为的本性奇点,
,
.

7、解：∵F=F
∴F [H(t)]+F[H(t)]=1
∴F[H(t)]=
∵衰减函数 F[f(t)]=
∴H(t)=

8、答：（1）指数函数的解析域为：整个复平面，解析域是无界开区域；
（2）对数函数的解析域为：除去原点及负半实轴，解析域是无界开区域；
（3）正切函数的解析域为：除去点，解析域是无界开区域。

9、解：

由 得

10解：设的方程为,则

所以：（当时）；（当时）。