圆锥曲线定点定值问题.doc

1. 已知直线l1：4x3y60和直线l2：x1，则抛物线y24x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是()A B2 C D32. 已知点A(3，0)，B(0，3)，若点P在圆x2y22x0上运动，则PAB面积的最小值为()A6 B6 C6 D63. 已知P是椭圆 1(x0，y0)上的动点，F1，F2为椭圆的两个焦点，O是坐标原点若M是F1PF2的角平分线上一点，且0，则的取值范围是()A (0，3) B(0，2) C (2，3) D(0，4)4.、是双曲线的焦点，点P在双曲线上，若点P到焦点的距离等于9，则点P到焦点的距离等于 来5已知的两个顶点的坐标分别是，且所在直线的斜率之积等于（）求顶点的轨迹的方程，并判断轨迹为何种圆锥曲线；（）当时，过点的直线交曲线于两点，设点关于轴的对称点为(不重合) 试问：直线与轴的交点是否是定点？若是，求出定点，若不是，请说明理由.解：（）由题知： 化简得： 2分当时 轨迹表示焦点在轴上的椭圆，且除去两点；当时 轨迹表示以为圆心半径是的圆，且除去两点；当时 轨迹表示焦点在轴上的椭圆，且除去两点；当时 轨迹表示焦点在轴上的双曲线，且除去两点； 6分（）设 依题直线的斜率存在且不为零，则可设:，代入整理得， 9分又因为不重合，则的方程为 令，得故直线过定点. 13分解二：设依题直线的斜率存在且不为零，可设:代入整理得：,， 9分的方程为 令得直线过定点 13分6已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆的方程为它的离心率为，一个焦点是(-1,0)，过直线上一点引椭圆的两条切线，切点分别是A、B. ()求椭圆的方程； ()若在椭圆上的点处的切线方程是.求证：直线AB恒过定点C，并求出定点C的坐标； ()是否存在实数使得恒成立？(点C为直线AB恒过的定点)若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.解：（I）设椭圆方程为的焦点是，故，又，所以，所以所求的椭圆方程为. 4分（II）设切点坐标为,直线上一点M的坐标，则切线方程分别为，又两切线均过点M，即，即点A,B的坐标都适合方程，故直线AB的方程是，显然直线恒过点（1,0），故直线AB恒过定点.9分（III）将直线AB的方程，代入椭圆方程，得，即， 所以，不妨设，同理，12分 所以，即，故存在实数，使得. 13分3.如图，分别过椭圆E：左右焦点、的动直线l1、l2相交于P点，与椭圆E分别交于A、B与C、D不同四点，直线OA、OB、OC、OD的斜率、满足已知当l1与x轴重合时，（1）求椭圆E的方程；（2）是否存在定点M、N，使得为定值若存在，求出M、N点坐标，若不存在，说明理由3.解（1）当l1与x轴重合时，即，（2分） l2垂直于x轴，得，（4分）得， 椭圆E的方程为（6分）（2）焦点、坐标分别为(-1, 0)、(1, 0)当直线l1或l2斜率不存在时，P点坐标为(-1, 0)或1, 0)当直线l1、l2斜率存在时，设斜率分别为，设，由得， ，（8分），（10分） 同理， ，即由题意知，（12分）设，则，即，（14分）由当直线l1或l2斜率不存在时，P点坐标为(-1, 0)或(1, 0)也满足，点椭圆上， 存在点M、N其坐标分别为(0 , -1)、(0, 1)，使得为定值4.已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴的负半轴上，过其上一点的切线方程为=2 （a为常数）.（1）求抛物线方程；（2）斜率为的直线PA与抛物线的另一交点为A，斜率为的直线PB与抛物线的另一交点为B（A、B两点不同），且满足=0（），若，求证：线段PM的中点在y轴上；（3）在（2）的条件下，当0时，若点P的坐标为（1，-1），求：为钝角时，点A的纵坐标的取值范围.答案：（1）由题意为设抛物线的方程为0），过点的切线方程为，.抛物线的方程为y=0）.（2）直线PA的方程为，由得，. 同理，可得.， .又 ， .线段PM的中点在y轴上.（3）由可知a= -1， ，. ， .为钝角，且P，A，B不共线， 0，即0. 0.0，0， 2，或0.又点A的纵坐标， 当-2时，-1；当0时，-1.为钝角时，点A的纵坐标的取值范围为. 14已知点，点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足，（1）当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C；（2）过点作直线m与轨迹C交于A、B两点，若在x轴上存在一点，使得为等边三角形，求的值.14解：（1）设，由得：， 由得：，即， 由点Q在x轴的正半轴上，故， 即动点M的轨迹C是以为顶点，以为焦点的抛物线，除去原点；（2）设，代入得：设，则是方程的两个实根，则，所以线段AB的中点为，线段AB的垂直平分线方程为，令，得，因为为正三角形，则点E到直线AB的距离等于，又，所以，解得：， .36.（山东理22） 已知动直线与椭圆C: 交于P、Q两不同点，且OPQ的面积=,其中O为坐标原点.（）证明和均为定值;（）设线段PQ的中点为M，求的最大值；（）椭圆C上是否存在点D,E,G，使得?若存在，判断DEG的形状；若不存在，请说明理由.（I）解：（1）当直线的斜率不存在时，P，Q两点关于x轴对称，所以因为在椭圆上，因此又因为所以由、得此时 （2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为由题意知m，将其代入，得，其中即（*）又所以因为点O到直线的距离为所以又整理得且符合（*）式，此时综上所述，结论成立。 （II）解法一： （1）当直线的斜率存在时，由（I）知因此 （2）当直线的斜率存在时，由（I）知所以 所以，当且仅当时，等号成立.综合（1）（2）得|OM|PQ|的最大值为解法二：因为 所以即当且仅当时等号成立。因此 |OM|PQ|的最大值为 （III）椭圆C上不存在三点D，E，G，使得证明：假设存在，由（I）得因此D，E，G只能在这四点中选取三个不同点，而这三点的两两连线中必有一条过原点，与矛盾，所以椭圆C上不存在满足条件的三点D，E，G.39.（四川理21） 椭圆有两顶点A（-1，0）、B（1，0），过其焦点F（0，1）的直线l与椭圆交于C、D两点，并与x轴交于点P直线AC与直线BD交于点Q（I）当|CD | = 时，求直线l的方程；（II）当点P异于A、B两点时，求证：为定值。 解：由已知可得椭圆方程为，设的方程为为的斜率。则的方程为42.（重庆理20）如题（20）图，椭圆的中心为原点，离心率，一条准线的方程为 （）求该椭圆的标准方程； （）设动点满足：，其中是椭圆上的点，直线与的斜率之积为，问：是否存在两个定点，使得为定值？若存在，求的坐标；若不存在，说明理由解：（I）由解得，故椭圆的标准方程为 （II）设，则由得因为点M，N在椭圆上，所以，故 设分别为直线OM，ON的斜率，由题设条件知因此所以所以P点是椭圆上的点，设该椭圆的左、右焦点为F1，F2，则由椭圆的定义|PF1|+|PF2|为定值，又因，因此两焦点的坐标为