圆锥曲线定点定值问题.doc

1. 已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，则抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是(　　)
A． B．2 C． D．3

2. 已知点A(－3，0)，B(0，3)，若点P在圆x2＋y2－2x＝0上运动，则△PAB面积的最小值为(　　)
A．6 B．6 C．6＋ D．6－

3. 已知P是椭圆 ＋＝1(x≠0，y≠0)上的动点，F1，F2为椭圆的两个焦点，O是坐标原点．若M是∠F1PF2的角平分线上一点，且·＝0，则的取值范围是(　　)
A． (0，3)　 B．(0，2)　 C． (2，3)　 D．(0，4)
4.、是双曲线的焦点，点P在双曲线上，若点P到焦点的距离等于9，则点P到焦点的距离等于 [来
5．已知△的两个顶点的坐标分别是，且所在直线的斜率之积等于．
（Ⅰ）求顶点的轨迹的方程，并判断轨迹为何种圆锥曲线；
（Ⅱ）当时，过点的直线交曲线于两点，设点关于轴的对称点为(不重合) 试问：直线与轴的交点是否是定点？若是，求出定点，若不是，请说明理由.
解：（Ⅰ）由题知：
化简得： ……………………………2分
当时 轨迹表示焦点在轴上的椭圆，且除去两点；
当时 轨迹表示以为圆心半径是１的圆，且除去两点；
当时 轨迹表示焦点在轴上的椭圆，且除去两点；
当时 轨迹表示焦点在轴上的双曲线，且除去两点；
……………………………6分
（Ⅱ）设
依题直线的斜率存在且不为零，则可设:，
代入整理得
，， ………………………………9分
又因为不重合，则
的方程为 令，
得
故直线过定点. ……………………………13分
解二：设
依题直线的斜率存在且不为零，可设:
代入整理得：
,， ……………………………9分
的方程为 令，
得
直线过定点 ……………………………13分
6．已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆的方程为它的离心率为，一个焦点是(-1,0)，过直线上一点引椭圆的两条切线，切点分别是A、B.
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)若在椭圆上的点处的切线方程是.求证：直线AB恒过定点C，并求出定点C的坐标；
(Ⅲ)是否存在实数使得恒成立？(点C为直线AB恒过的定点)若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
解：（I）设椭圆方程为的焦点是，故，又，所以，所以所求的椭圆方程为. ………………………4分
（II）设切点坐标为,,直线上一点M的坐标，则切线方程分别为，，又两切线均过点M，即，即点A,B的坐标都适合方程，故直线AB的方程是，显然直线恒过点（1,0），故直线AB恒过定点.…………………………………9分
（III）将直线AB的方程，代入椭圆方程，得
，即，
所以，不妨设，
，同理，…………12分
所以
，
即，
故存在实数，使得. ……………………………13分
3.如图，分别过椭圆E：左右焦点、的动直线l1、l2相交于P点，与椭圆E分别交于A、B与C、D不同四点，直线OA、OB、OC、OD的斜率、、、满足．已知当l1与x轴重合时，，．
（1）求椭圆E的方程；
（2）是否存在定点M、N，使得为定值．若存在，求出M、N点坐标，若不存在，说明理由．

3.解（1）当l1与x轴重合时，，即，（2分）
∴ l2垂直于x轴，得，，（4分）
得，，　　∴ 椭圆E的方程为．（6分）
（2）焦点、坐标分别为(-1, 0)、(1, 0)．
当直线l1或l2斜率不存在时，P点坐标为(-1, 0)或(1, 0)．
当直线l1、l2斜率存在时，设斜率分别为，，设，，
由得　，
∴ ，．（8分）

，（10分） 同理．
∵， ∴，即．
由题意知，　∴．（12分）
设，则，即，（14分）
由当直线l1或l2斜率不存在时，P点坐标为(-1, 0)或(1, 0)也满足，
∴点椭圆上，
∴ 存在点M、N其坐标分别为(0 , -1)、(0, 1)，使得为定值．
4.已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴的负半轴上，过其上一点
的切线方程为=2 （a为常数）.
（1）求抛物线方程；
（2）斜率为的直线PA与抛物线的另一交点为A，斜率为的直线PB与抛物线的另一交点为B（A、B两点不同），且满足=0（），若，求证：线段PM的中点在y轴上；
（3）在（2）的条件下，当＜0时，若点P的坐标为（1，-1），求：为钝角时，点A的纵坐标的取值范围.
答案：（1）由题意为设抛物线的方程为＞0），
过点的切线方程为，
.
抛物线的方程为y=＜0）.
（2）直线PA的方程为，
由得，
. 同理，可得.
， .
又 ， .
线段PM的中点在y轴上.
（3）由可知a= -1， ，
. ， .
为钝角，且P，A，B不共线， ＜0，
即＜0. ＜0.
＜0，＞0， ＜－2，或－＜＜0.
又点A的纵坐标， 当＜-2时，＜-1；
当＜＜0时，-1＜＜.
为钝角时，点A的纵坐标的取值范围为.
14．已知点，点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足，，
（1）当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C；
（2）过点作直线m与轨迹C交于A、B两点，若在x轴上存在一点，使得为等边三角形，求的值.
14．解：（1）设，由得：，，
由得：，即，
由点Q在x轴的正半轴上，故，
即动点M的轨迹C是以为顶点，以为焦点的抛物线，除去原点；
（2）设，代入得：
…………①
设，，则是方程①的两个实根，
则，，所以线段AB的中点为，
线段AB的垂直平分线方程为，
令，，得，
因为为正三角形，则点E到直线AB的距离等于，
又＝，
所以，，解得：， .
36.（山东理22）
已知动直线与椭圆C: 交于P、Q两不同点，且△OPQ的面积=,其中O为坐标原点.
（Ⅰ）证明和均为定值;
（Ⅱ）设线段PQ的中点为M，求的最大值；
（Ⅲ）椭圆C上是否存在点D,E,G，使得?若存在，判断△DEG的形状；若不存在，请说明理由.
（I）解：（1）当直线的斜率不存在时，P，Q两点关于x轴对称，
所以
因为在椭圆上，
因此 ①
又因为
所以 ②
由①、②得
此时
（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为
由题意知m，将其代入，得
，
其中
即 …………（*）
又
所以
因为点O到直线的距离为
所以

又
整理得且符合（*）式，
此时

综上所述，结论成立。
（II）解法一：
（1）当直线的斜率存在时，
由（I）知
因此
（2）当直线的斜率存在时，由（I）知

所以

所以，当且仅当时，等号成立.
综合（1）（2）得|OM|·|PQ|的最大值为
解法二：
因为

所以
即当且仅当时等号成立。
因此 |OM|·|PQ|的最大值为
（III）椭圆C上不存在三点D，E，G，使得
证明：假设存在，
由（I）得

因此D，E，G只能在这四点中选取三个不同点，
而这三点的两两连线中必有一条过原点，
与矛盾，
所以椭圆C上不存在满足条件的三点D，E，G.
39.（四川理21）
椭圆有两顶点A（-1，0）、B（1，0），过其焦点F（0，1）的直线l与椭圆交于C、D两点，并与x轴交于点P．直线AC与直线BD交于点Q．
（I）当|CD | = 时，求直线l的方程；
（II）当点P异于A、B两点时，求证：为定值。

解：由已知可得椭圆方程为，设的方程为为的斜率。
则

的方程为
42.（重庆理20）如题（20）图，椭圆的中心为原点，离心率，一条准线的方程为．
（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设动点满足：，其中是椭圆上的点，直线与的斜率之积为，问：是否存在两个定点，使得为定值？若存在，求的坐标；若不存在，说明理由．

解：（I）由
解得，故椭圆的标准方程为

（II）设，则由
得

因为点M，N在椭圆上，所以
，
故

设分别为直线OM，ON的斜率，由题设条件知
因此
所以
所以P点是椭圆上的点，设该椭圆的左、右焦点为F1，F2，则由椭圆的定义|PF1|+|PF2|为定值，又因，因此两焦点的坐标为