数字计算方法天津大学作业答案.doc

数值计算方法复习题
一、（1）简述求解非线性方程的常用的方法有哪些？
（2）用二分法求解方程在[0，1]之间的一个根，要求误差不超过。

答案：（1）求解非线性方程的常用的方法有二分法、迭代法、牛顿法、弦截法
（2）令，则，，
且
在之间有且仅有一个根，其计算过程为：

函数值符号
有根区间
误差限
1

2

3

4

取为的近似值，且

二、举例说明误差的来源主要有哪些？在数值计算中值得注意的问题主要有什么？
答案：误差的主要来源有：
（1）模型误差；
（2）观测误差；
（3）截断误差；
（4）舍入误差。
在数值计算中值得注意的问题主要有：
（1）防止相近的两数相减；
（2）防止大数“吃掉”小数；
（3）防止除法中除数的数量级远小于被除数。

三、（1）简述LU分解法求解线性方程组的步骤；
（2）已知

试用LU分解法求解方程组
。
答案：（1）分解法求解线性方程组的步骤：
对于方程组，首先对系数矩阵进行分解：；则

，接下来分别求解两个三角方程组即可：

和
（2）首先对系数矩阵进行分解

由，可解得
再由，得

四、①叙述收敛阶的定义，并说明一般情形下牛顿法的收敛阶是多少？
②用牛顿法求解在区间[1，2] 内的一个根，要求迭代4次。

答案：①设序列{xk}收敛于x*。若存在常数p(p≥1)和c(c≥0)，使

则称序列{xk}是 p 阶收敛的。
一般情形下牛顿法的收敛阶是2。
②牛顿迭代公式为：
，取x0 =1，则迭代序列为：
k
xk
0
1
1
1.692308
2
1.597121
3
1.594564
4
1.594562
所以取x4 =1.594562为近似根。

五、①叙述插值的定义；
②已知函数表如下：

…
0.1
0.2
0.3
0.4
…
ex

…
1.1052
1.2214
1.3499
1.4918
…
试用抛物线插值求e0.285的近似值。

答案：①设函数在区间上有定义，是上个互异点，且在其上的函数值分别为。若存在函数使，则称为的插值函数。
②抛物线插值函数为：
，
取x0 =0.2，x1 =0.3，x2 =0.4，得

六、用变步长梯形法计算积分的近似值（二分两次即可）。
答案：令，则

∴
七、已知函数表如下：

…
100
121
144
169
…

…
10
11
12
13
…
试构造差商表，用三次牛顿基本插值多项式计算的值。

答案：
构造差商表：

一阶差商
二阶差商
三阶差商
100
10

121
11
0.047619

144
12
0.043478
-0.000094

169
13
0.040000
-0.000072
0.00000031

把代入上式，可得
八、①叙述向量范数的一般定义。
②任意给出一种具体的向量范数定义，并求的范数。
答案：
（1）是一个维向量，若存在满足
①且当且仅当
②，有
③
则称为的范数
（2）

九、①推导牛顿法求解非线性方程的公式，并指明其几何意义；②叙述收敛阶的定义；③一般情形下牛顿法的收敛阶是多少？
答案：
（1）在处泰勒展开：

（2）
则称迭代法的收敛阶为P
（3）2
十、已知函数在处的函数值分别为。试求四次牛顿插值多项式，并计算。
答案：

十一、用龙贝格算法计算积分的近似值（要求二分四次）。
答案：
解：

0
5.2178

1
4.7752
4.6276

2
4.9214
4.9701
4.9929

3
4.9528
4.9633
4.9629
4.9624
4
4.9620
4.9649
4.9651
4.9651

十二、叙述用幂法求方阵的主特征值和主特征向量的算法。
答案：
、 非零向量

则

名词解释
1.相对误差
2.向量的范数
3.插值函数
4.代数精度
答案：
1.若是准确值，是的一个近似值，则称为的相对误差
2. 是一个维向量，若存在满足：
①且当且仅当；
②，有；
③
则称为的范数
3.设函数在区间上有定义，是上个互异点，且在其上的函数值分别为。若存在函数使，则称为的插值函数。
4.若数值积分公式对任意小于或等于次的代数多项式都准确成立，而对于却不能准确成立，则称该数值积分公式的代数精度为