考研高数易错部分总结.doc

一元微积分xc 第 - 23 - 页 2025-3-1
考研高等数学第一轮复习
1.1. 函数的性质
1.1.1. 单调性
1.1.2. 奇偶性

奇函数的导数是偶函数；偶函数的导数是奇函数

Exa:
1.1.3. 周期性
l 定义
l 方法：定义，间接发
l 性质：
一个周期函数在n个周期上面的积分=在一个周期上积分的n 倍，与起点无关

Exa:

设函数f(x)的周期是T:

证明：（不能使用洛必达法则，使用夹逼准则）

Exa1:
1.1.4. 有界性
判断方法：定义，不等式放大与缩小
间接法：函数的有界性和单调性一样，需要相对某个区间而言，当然这个区间肯定是定义域的子集，函数的连续性也是一样，首先是某点连续，闭区间连续是指区间内的每点连续，端点处是左连续和右连续。连续的3要素;首先是该点必须要右定义，其次函数在该点的极限存在并且等于函数在该点的值

无穷大量和无界量的区别和联系：
1、 区别：无穷量是特殊的函数，是一个变量，当自变量趋于某个数或者无穷大，极限趋于0或者无穷大，而无界量根据定义，无界即没有上界和下界，对于任何整数M，在定义域的某个定义区间，总存在x1,|f(x1)|>M。
2、 联系：
3、 例题：

1.1.5. 连续性与间断点
Exa:
1.2. 极限
1.2.1. 极限的定义

1.2.2. 极限的唯一性

1.2.3. 极限的局部保号性

1.2.4. 极限存在的条件
极限存在的充要条件是函数在该点的左右极限存在且相等，但是与函数在该点是否定义，或者是否等于函数在该点的值没有关系。P63
Exa:
1.2.5. 几个潜规则

1.3. 导数
导数存在的充要条件是函数在该点的左右导数存在且相等，首先函数必须在该点有定义。导数的实质是函数的极限，即增量趋于零的极限，极限的定义形式有3种：
1.4. 极限的求法
1.4.1. 步骤：判断类型、选择方法。

要区别“真正的0和1”和“极限为0和1”
真正的0乘以任何数为0.

真正的1的任何次幂为1.

1.4.2. 利用基本极限求极限

1.4.3. 利用等价代换求极限

1.4.4. 洛必达法则求极限

1.4.5. (夹逼定理和)定积分定义
Exa1:

1.4.6. 利用收敛级数的通项为0

1.4.7. 泰勒公式-皮亚诺余项
泰勒公式-皮亚诺余项：

1.4.8. 无穷小比较

1.4.9. 其它方法总结

1.4.10. 几个常用的结论

Exa:
1.5. 分段函数
1.5.1. 分段函数的复合

1.6. 微分中值定理
1.6.1. 费马引理

1.6.2. 罗尔定理

1.6.3. 拉格朗日中值定理

1.6.4. 柯西中值定理
1.6.5. 习题：

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