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第三章    静电场中的电介质

§１ 概述
１）媒质中的电场
媒质由电粒子和中性粒子构成，电场与媒质中的电粒子产生作用。
大量的微观作用可能会表现出宏观现象。
２）微观量与宏观量
微观量：媒质中各微观点的值,具有时间上起伏性。
宏观值：是大量微观现象在物理无限小体积元中对应的平均值，具有相对的稳定性（在静电场的条件下）。
宏观电磁现象是大量的微观电磁作用的综合平均效应。
§２、电偶极子
１、电介质
电介质即通常所指的绝缘体（其特点为体内无自由
电子）。
a)   电介质与电场的相互作用。
实验介质为玻璃。
介质插入电容器极板之前，电压为U；
介质插入电容器极板之后，
①
此种静电现象表明，介质对电场产生了作用。
②介质两侧表面出现了不能作宏观运动的异号电荷。此种现象表明电场对介质产生了作用。
此种静电现象称之为极化。
极化：中性介质受电场作用后在宏观上表现出电性。
束缚电荷：介质中不能产生宏观移动的电粒子。
特点：电粒子受分子力的约束，只能为生微观移动，其活动区域为原子的线度数
量级。
研究大量微观粒子产生的宏观电现象时，可将分子、原子等效成两个等量异号的正电荷重心和负电荷重心，从而可以达到简化问题目的。
处在电场中的正负电重心受力方向相反，会产生重心之间距离的拉伸与压缩、重心的相对偏转等位置变化，在宏观上呈现出电性，使介质产生极化。
重合的正负电荷重心被电场拉开。
不重合的电重心整体产生偏转，相对位置亦为生变化。
２ 电偶极子
电偶极子是由两个等量异号且相距很近的点电荷构成的电荷体系，（l<<r）。
电介质的电偶极子模型
介质中的分子或原子与外电场为生相互作用时，均可采用电偶极子来处理，即把介质中的分子、原子等效为对应的电偶极子，介质等效为一群电偶极子来看待。
电偶极子既受外场作用同时自身也激发电场。与外电场产生相互作用。
电偶极子的一些基本特性
１）外电场对电偶极子的作用
处在均匀电场中的电偶极子所受到的作用力

电偶极子所受的力矩

令p=ql （电偶极矩定义式）
则 ＝pEsinθ

电偶极矩是描述电偶极子本身电学特性的物理量，电偶极子产生电场、电势、辐射以及在电场中受到的力矩等电学特性均可由电偶极矩体现出来。
２）电偶极子激发的电场
电偶极子延长线上的电场

对于电偶极子有条件 r>>l 则 l2 为二级小量，可以略去不计。

电偶极子在中垂面上产生电场

略去二级小量有
其中r为l的中点到空间考察点的距离。电场由p和r来决定，可见p可以用来量化表征电偶极子产生电场的特性。
一般情况下， 的比例关系仍然成立，但E与图中的θ有关。
３）、电偶极子产生的电势
其中

p也可以用来量化表示电偶极子产生势的基本特性。
４）、电偶极子的电力线及其等位面。（见教材）
电偶极子产生的电场、电势以及其在电场中受到的力矩等特性均可由p来定量地量化表示，可见p反映了电偶极子本身的物理特性。
§３电介质的极化
１、位移极化与取向极化
１）两类电介质
无极分子构成的介质
无极分子的特点：无外电场时，分子的正负电重心重合，宏观上不显电性，偶极矩为零。（例如：甲烷等物质CH4）
有极分子构成的介质
有极分子的特点：无外电场时，分子的正负电重心不重合，形成电偶极子，具有确定的电偶极矩，介质中的这种电偶极子的取向杂乱无章，介质在整体上对外不显示宏观上的电性。（例如：水分子）
２）介质的极化机制
无极分子的位移极化
正负电重心在外电场的作用下，使重合的电重心产生反向位移，形成电偶极子。

上图为氢原子的极化示意图，对于分子亦有类似的机制。
这种极化是由正负电荷的反向位移造成，所以称之为位移极化。
极化特点：电偶极矩方向与外电场方向一致。介质中众多的分子均产生此种类似的位移极化，介质由众多的方向一致的电偶极子构成，对外呈现出宏观电场。
有极分子的取向极化
极分子介质处在电场中时，其中原本杂乱无章的电偶极子将会向电场方向偏转，介质整体对外呈现出电性。
这种极化是由电偶极子的定向偏转造成的，所以称之为取向极化。
有极分子同时也产生们位移极化，相对于取向极化而言，其效应较弱，一般不考虑。在高频电场的情况下则类外。此时，由于分子的惯性较大，取向极化跟不上电场的变化（分子几乎无法偏转或偏转幅度很小），对外难以呈现出取向极化的效应，但电子的惯性较小，能跟上电场的变化，故位移极化他然存在，此时介质极化的主要是位移极化。
位移极化与取向极化的区别
位移极化 电偶极子与电场平行 主要由电子移动形成
取向极化 电偶极子顺向电场（一般不平行） 分子产生偏转
2、极化强度矢量
介质的极化强弱是由介质体内的电偶极子的密度、偶极矩的大小以及集体向电场方向的顺向程度（有序度）来综合体现。可采用下述量化表示来体现。

，
（宏观上足够小，相对线度而言；微观上足够大，包含有大量的分子或原子）

极化强度矢量的定义式中的偶极数与物理体积元的比值体现了电偶极子的密度；矢量和体现了电偶子的有序度；从总体上全面体现了介质极化强弱的特点。
P是一个宏观物理量，由外电场和介质自身的特性来共同决定。其在数学上的意义可以简单地理解为单位体积的偶极矩矢量和。单位为：库／米2
P为一点函数，若P=C（常矢量）则称为均匀极化。
3、极化强度与电场强度的关系
讨论各向同性的电介质，有实验关系：

E为总电场，即外电场和介质极化后自身的电偶极子产生电场的迭加。
线性指P与E之间的关系为一次关系。
各向同性指从任意一个方向对介质进行极化，其极化强度和电场强度的矢量依赖关系相同。
§4 极化电荷
１、极化电荷
极化：介质处在电场中，其内部或表面出现束缚电荷的现象称之为极化。
极化电荷：因极化而产生的束缚电荷。束缚电荷仅只是运动方式与自由电荷不同，被约束在介质的晶格附近，但其激为电场的机制他仍遵守库仑定律。
极化电荷的符号规则：与自由电荷对应的量上加撇号表示相应的束缚电荷对应的物理量。
例如：
２、ρ’与极化强度矢量之间的关系
在一介质体内任意围定一区域，求其中的q、

计算内的电荷q’,只需计算穿过周界面的电偶极子留在面内的电荷的代数和即可。在界面上取一个小面元dS,并作如图所示的小柱体，考察穿过此小面元产电偶极子留在界面内的电荷。
假定：dS足够小，其上的p基本都平行于斜柱边，且认为分布均匀，电偶极子具有同样的长度。
以正电荷穿出为例阐明（负电荷穿出则反之）
过dS面的电偶极子个数等于留在面内的负电荷数。
N＝过dS的电偶极子数＝柱内负电荷数＝柱面内的平均电偶极子数＝ndV
电偶极子的几何中心在柱内，则可认为此电偶极子在柱内，很明显几何中心数与电偶极子负电荷数相同。

留在面内的电荷为
其中P为极化强度矢量
体内的产极化电荷为

对于均匀极化，则P应为常矢量。则有

（例如匀强电场有 ）
所以均匀极化有， 反之不一定成立。
注意：均匀介质与均匀极化的区别
3、
两种不同的介质，由于其极化状态不同，各自的极化电荷分布也存在差异，所以二者的分界面上一般存在极化电荷分布。
作如图所示的闭合面，为物理无穷小扁柱体，面元的线度。即扁柱体内在微观上含有足够多的电偶极子宏观上又可以认为是无穷小。
法向规定：
n表示界面的水法向，从2指向1。
此时，扁柱面内的极化电荷为

，二者一般并不相等，所以界面上存在极化电荷分布。
实例讨论：
1）1，3为真空，2为介质

极化电荷产生的电场在介质中将削弱原来的外电场。
2）2是媒质 1为金属

1） 2）两种媒质的分界面

§5 电位移矢量D 有介质时高斯定理
1        电位移矢量D 有介质时高斯定理
简述真空中的高斯定理
介质存在时新现象
有极化电荷存在，但此电荷产生电场的规律自由电荷相同。
总电场为

由电荷激为电场的因果关系图可知：
若自由电荷和介质的分布给定，则总电场确定，总电场与q之间存在对应的关系。即可由q和介质材料的性能来表示总电场，不必一定要求极化电荷分布。

令 定义为电位移矢量
电位移矢量为辅助物理量，无具体的物理意义。
由此可得介质中的高斯定理为

D为中间桥梁量，需要给出其与电场强度的关系式，才有实用价值
设介质为各向同性的介质，则有

越大削弱介质中电场的能力就越强，则耐电压程度高，即介电性能好。所以电容一般通过在其极板间充满介质来提高其耐电压能力。
由 和 两式可知，只要知道介质的电容率和自由电荷分布q0，就可按真空情况 中的方法来处理对应的介质静电场问题。
所以电容一般通过在其极板间充满介质来提高其耐电压能力。
证明均匀介质中的极化电荷密度为零。

在介质中，一般不存在自由电荷，即

可见，极化电荷为零不一定就是均匀极化。
2、介质中的高斯定理的应用
例题1、半径为R，电量为q的金属球埋在绝对电容率为的均匀介质中，求电场分布以及极化电荷分布。
电场分布分析：
由于球对称性，自由电荷和极化电荷分布均为球对称，所以
电场和电位移矢量的分布亦为球对称。
作如图所示的球形高斯面
（球外）
（球内）对于均匀介质，其极化电荷的体密度为零

。
讨论：a) 极化电荷与自由电荷异号，电场极化所致。
b) 交界面上的总电荷为

极化电荷产生的电场只能部分削弱自由电荷在介质中产生的电场，介质中仍然存在电场，但比对应真空情况要弱。
c) 总电场与自由电荷产生的电场的比值。

总电荷减少到原来的倍；
总电场减少到原来的倍。
极化电荷对电场有一定的屏蔽作用。从能量的角度讲，电场削弱了，能量减少了，其原因在于介质极化时要消耗掉部分电场能量。
例题2 平行板电容器中充满电容率为均匀介质,已知两极板电荷等是异号，求电容和化电荷。
1）求电场
由对称性可知，电场和电位移分布如图所示。板外电场为零。
越过面作柱形高斯面，有

2）求极化电荷分布
均匀介质极化电荷的体密度为零。
由电荷守恒律可得，

3）求电容

当电容器中填充电介质时，其电容值将增大到倍。
其原因是由于极化电荷削弱了自由电荷的场，在相同自由电荷的情况下，介质电容器的极间电压降低。
此时电容器的耐压能力和储能能力都被提高。
§6 有介质时静电场方程

此为静电场和积分方程，还有对应的微分方程。有侍后续讨论

§7 电场的能量
静电体系的静电能

W与电荷相取联系，并非电能储存在带电体中此仅只是一种数量关系。
实质上电能是定域在场所充斥的空间中，由电场所携带。
电场强的地方，则能量分布相对比较集中，能量的量化表示应与电场强度矢量相关。引入能量密度描述电场的能量分布。
讨论均匀电场这种特殊情况，导出能量密度表示式
电容器中的电场为均匀场，其电能为

此由特殊情况导出的电场能量密度表示结果，可推广到任意情况。此式表明电场可能是一种物质。
全空间的电场能量表示式为

例题1 半径为R 带电为Q0的导体球处在电容率为的均匀介质中，求电场能。

或由导体系统的电能公式计算，

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