随机过程习题.doc

习题一
1. 某战士有两支枪，射击某目标时命中率分别为0.9及0.5，若随机地用一支枪，射击一发子弹后发现命中目标，问此枪是哪一支的概率分别为多大？

2. 设随机变量X的概率密度为
f（x）＝
求：（1）常数A; (2)分布函数F（x）；（3）随机变量Y＝lnX的分布函数及概率分布。

3. 设随机变量（X, Y）的概率密度为
f (x , y) = Asin (x + y ), 0x ,y
求：(1) 常数A ；（2）数学期望EX，EY； （3） 方差DX ，DY；(4) 协方差及相关系数。

4. 设随机变量服从指数分布

求特征函数,并求数学期望和方差。

5. 设随机变量X与Y相互独立，且分别服从参数为1 和2的泊松分布，试用特征函数求Z = X＋Y 随机变量的概率分布。

6．一名矿工陷进一个三扇门的矿井中。第一扇门通到一个隧道，走两小时后他可到达安全区。第二扇门通到又一隧道，走三个小时会使他回到这矿井中。第三扇门通到另一隧道，走五个小时后，仍会使他回到这矿井中。假定矿井中漆黑一团，这矿工总是等可能地在三扇门中选择一扇，让我们计算矿工到达安全区的时间X的矩母函数。

7． 设 （X， Y） 的分布密度为
（1）
（2）
问X，Y是否相互独立？

8. 设（X，Y）的联合分布密度为

X Y
—1 2

—1

0

1

0

问： （1）， 取何值时X，Y不相关；
（2），取何值时相互独立。

习题二
１．设有两个随机变量X、Ｙ相互独立，它们的概率度分别为和，定义如下随机过程：
，
试求的均值函数和相关函数。

２．从t=0开始每隔秒丢掷一次硬币（均匀的），对每一个丢掷的时刻t，规定随机变量
　X(t)=
试求：（1）F（；），F（）（2）F（，1；，）。

３．袋中有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t对应随机变量

试求这个随机过程的一维分布函数族。

４．设在时间区间内来到某商店的顾客数X(t)是参数λ的泊松过程。为第n个顾客来到的时刻，求的分布函数。

5. 设通过十字路口的车流可以看做泊松过程，如果1分钟内没有车子通过的概率为0.2，求2分钟内有多于一辆车通过的概率。

6.令表示时间内（单位：分）顾客到达某商店的人数，设是泊松过程。根据历史资料统计分析，顾客到达该商店的强度是每小时30人。求两个顾客相继到达的时间间隔短于4分钟的概率。

7.一质点从坐标原点出发在数轴上做随机游动，每隔1秒以概率p向右移动一格（1单位长），或以概率q=1—p向左移动一格，以X（n）表示质点在第n秒至n+1秒之间的位置（坐标），则随机过程

由于质点随机游动的独立性，它是一个独立增量过程。求X（n）的概率分布及增量X（t+）—X（t）的概率分布。

8. 求随机过程的一维概率密度，其中为常数，~。

9.设复随机过程Z（t）=，0，其中（1）是相互独立且服从N (0，)的随机变量，(1是常数，试求复随机过程Z（t）的均值函数与自相关函数。

10.设为一个独立增量过程，且X（0）=0，证明X(t)是个马氏过程。

11.设随机过程，，其中，是相互独立的标准正态分布变量，试证是一个正态过程。

12.设，，其中S、V、A为相互独立的正态分布变量，试证是一个正态过程。

习题三
1. 一质点在区间[0,4]中的0,1,2,3,4上作随机游动,移动的规则是:在0点以概率1向右移动一个单位,在1,2,3点上各以概率1/3向左,向右移动一个单位或留在原处,试求转移概率矩阵.

2. 一个圆周上共有N格（按顺时针排列），一个质点在该圆周上作随机游动，移动的规则是：质点总是以概率p顺时针游动一格，以概率q=1-p逆时针游动一格。试求移动概率矩阵。

3. 一个质点在全直线的整数点上作随机游动，移动的规则是：以概率p从i移动到i-1，以概率q从i移到i+1，以概率r停留在i，且r+p+q=1，试求转移概率矩阵。

4. 波利亚（polya）罐子模型
波利亚（polya）罐子模型可描述如下：一个罐子装有r格红球，l个黑球，现随机地从罐中取出一个球，记录其颜色，然后将这个球放回罐中，并且再加进a个同颜色的球。持续地进行这一实验过程，设X表示第n次试验结束时罐中实有红球的数目：
X=i，ir， I={0，1，2，···，}
不论在时刻n时如何转移到i的，系统在时刻n+1时，必转移到状态i+a或i，因此，{ X，n0}是马氏链。使求它的一步转移概率，并说明此链不是时间齐次的马氏链。

5. 设袋中有a个球，球为黑色的或白色的，今随机地从袋中取一个球，然后放回一个不同颜色的球。若在袋里有k个白球，则称系统处于状态k，试用马尔可夫链描述这个模型(称为爱伦菲斯特模型)，并求转移概率矩阵。

6．设水库的蓄水情况分为三个状态：空库、半库、蓄满。并分别记为1，2，3。在不同季节水库蓄水状态可能转变，设它为齐次马氏链，其转移矩阵为

初始分布行矩阵为，试求并指出经过两个季节水库蓄满的概率。

7． 一个开关有两个状态：开、关，分别记为1，2。设

又设开关现在开着时，经过单位时间后为开或闭的概率都是1/2；而现在关着时，经过单位时间后，他仍然关着的概率是1/3，开着的概率为2/3。
（1） 试写出马氏链的一步转移矩阵；
（2） 设开始时开关处于状态1，求经过二步转移开关仍处于状态1的概率。

8． 设马氏链的状态空间为,其进一步转移矩阵为

试研究各状态间的关系。

9．设马氏链的状态空间,其一步转移矩阵为

试研究各状态间的关系，并画出状态传递图。

10．设马氏链的状态空间,其一步转移矩阵为

试研究各状态间的关系，并画出状态传递图。

11．设马氏链的状态空间,其一步转移矩阵为

试问此链是否具有遍历性，若有，则求其平稳分布。

12．天气预报问题 若明天是否有雨仅与今天天气有关，与过去无关。并设今日有雨、明日也有雨的概率为，今日无雨、明日也有雨的概率为。试求：（1）一步转移矩阵；（2）今日有雨且第4日仍有雨的概率（设。

13．考虑一个通信系统，它通过几个阶段传送数字0和1，设在每一阶段被下一阶段接受的数字仍与者阶段相同的转移概率为0.75.且记第n 阶段接受的数 ，试求进入第1阶段的数字是0，而且第5阶段被接受到的也是0的概率。

14．设建筑物受到地震的损害程度为齐次马氏链，按损害的程度分为5种状态：无损害称为状态1，轻微损害称为状态2，中等损害称为状态3，严重损害称为状态4，全部倒塌称为状态5。设一步转移概率为

又设初始分布为

试求接连发生二次地震时，该建筑物出现各种状态的概率是多少？

15．设某河流每日的BOD（生物耗氧量）浓度为齐次马氏链，状态空间是按BOD浓度极低、低、中、高分别表示为1，2，3，4，其转移矩阵为（以天为单位）

如果BOD浓度高，则称河流处于污染状态。
（1） 说明此马氏链为不可约非周期正常返链；
（2） 求此链的平稳分布；
（3） 求河流再次到达污染的平均时间。

16.设马氏链的状态空间，其一步转移矩阵为

试对其状态分类。

17.设马氏链的状态空间，其一步转移矩阵为

试研究各状态的类及周期性。

18.设马氏链的状态空间为，其一步转移矩阵为

试研究各状态的类，并讨论各状态的遍历性。

19.设马氏链的状态空间为，其一步转移矩阵为

试对各状态进行分类。

20.设为一个时间连续的马氏链，其状态空间。假定在时间段内改变一次状态（从一个值跳到另一个值）的概率为，未曾改变状态的概率为，而在这段时间内改变多于一次的概率为。试求时间t时的转移概率 （i,j=0，1）。

习题四
1. 已知随机过程X(t)的自相关函数为RX()=exp｛－｝，试判断其连续性和可微性。

2. 随机初相信号X(t)=Acos(t+)，试中A和均为常数，已知mX(t)=0, RX()=Acost/2,=t－s。信号X(t)在时间T内的积分值为Y(T)=X(t)dt,试求Y(T)的均值和方差。

3. 讨论随机过程X(t)=At+Bt+C,(其中A，B，C独立同分布且服从N(0,))的均方连续性、均方可微性和均方可积性。并求X＇(t),Y(t)=X(s)ds的均值函数和相关函数。

4. 讨论随机过程X(t)，(其中X(t)的均值为0，相关函数R(s,t)=1/[a+(s－t)])的均方连续性、均方可微性
和均方可积性。并求X＇(t),Y(t)=X(s)ds的均值函数和相关函数。

习题五
X Y
-1
2
P
2/3
1/3
1. 设Z(t)=Xsint+Ycost,其中X,Y是相互独立同分布的随机变量，其分布列为

证明Z(t)是宽平稳过程。

2．设，其中是常数，,是相互独立，且都服从正态分布的随机变量，试证明是平稳过程。

3．设随机过程，其中是在上均匀分布的随机变量，试证
(1) ，是一个平稳序列。
（2），，不是一个平稳过程。

4．设随机过程其中是周期为的波形，在区间内为均匀分布的随机变量，证明是平稳过程。

5.设随机过程由下列三个样本函数组成，且等概率发生，
，，
问：（1）计算均值和自相关函数；
（2）该随机过程是否平稳。

6.设随机过程X(t)=Asin(2θt+θ)其中A为常数，θ1和θ2为相互独立的随机变量。θ1的概率密度为偶函数，θ2在内均匀分布。证明：
（1）X(t)为平稳过程；
（2）X(t)是均值遍历的

习题六
1. 设为独立随机序列，且令，则当时，关于是下鞅；当时，关于是上鞅。

2.设为独立随机序列，且令，则关于是鞅。

2. 设表示生灭过程各代的个体数，且，任意一个个体生育后代的分布为均值，证明是一个关于的鞅。

4.（公平博弈的问题）设独立同分布，分布函数为，于是，可以将看作一个投硬币的游戏的结果：如果出现正面就赢1元，出现反面则输1元：假设我们按以下的规则来赌博，每次投硬币之前的赌注都比上一次翻一倍，直到赢了赌博即停，令表示第次赌博后所输（或赢）的总钱数，，则是关于的鞅。

5.设是布朗运动，则
（1）是鞅；
（2）对任何的实数，是鞅。

习题七
1. 通常假设股票价格服从马尔科夫过程，是什么含义？

2. 假设某股票的价格变化遵循维那过程，其初始价值为20元，估算的时间为一年。在一年结束时，若资产价值按正态分布，其期望值为10，标准差为1，那么在两年期结束时，资产价值的期望值和标准差是多少？

3. 假定有一支股票价格S遵循一般维那过程，即dS=，在第一年中，=2， =3，若股票价格的初始值为30，则在第二年末股票价格的分布概率为多少？

4. 考虑一种无红利支付的股票，假定价格S遵循过程：

其中每年预期收益率为（以连续复利计），漂移率为，若初始值为S=20元，试分别解释当时间间隔为一周、一月和一季度时，股票的价格变化规律？

习题八
1. 求随机微分.

2. 利用伊托公式证明

3. 设B（t）是标准布朗运动，证明

并求出的值。

4. 设B(t)是标准布朗运动，，利用伊托公式证明下列随机过程是关于的连续鞅。
（1）；
（2）

习题九
1. 若某种股票的初始价格为30美元，年预期收益为15%，年波动性为25%，问在六个月后，该股票价格的概率分布是什么？并判断在置信度为95%时股票价格的变化范围。

2. 假设某种股票当前的价格为15元，每年的预期收益率为12%，每年的波动率为20%，则在一年后股票价格的均值和方差是多少？

3. 假设有一股票，其期望收益率为16%，波动性为30%，某天其股票价格为40元，计算如下问题：（1）预期下一天的股票价格为多少？（2）下一天该股票的标准差为多少？（3）下一天该股票95%的置信度区间为多少？

4. 股票A和股票B均符合几何布朗运动，在任何短时间内二者的变化是不想关的，问由一股股票A和一股股票B构成的证券组合的价值是否也遵循几何布朗运动？请解释原因。

5.若某种股票价格S遵循几何布朗运动，其期望收益率为，波动率为，即dS=Sdt+SdW 则变量“S”也遵循几何布朗运动

习题十
1． 求无红利支付股票的欧式看涨期权的价格。其中股票的价格为52元，执行价格为50元，无风险利率是5%，年波动率为30%，到期日为3个月。

2． 求无红利支付股票的欧式看跌期权的价格，其中股票的价格为69元，执行价格为70元，无风险利率是5%，年波动率为35%，到期日为9个月。

3． 假定某种股票期权的有效期尚剩六个月，此时股票价格为22元，股票期权的协定价格是20元，无风险利率是5%，每年的易变性是20%。

4． 求无红利支付股票的欧式看涨期权和看跌期权的价值。无红利支付股票的期权，股票的价格为30元，执行价格为29元，无风险利率是5%，年波动率为25%，到期日为4个月。问：（1）如果是一个欧式看涨期权，计算其价格;(2)如果这是一个欧式看跌期权，计算其价格。