上海交通大学复变函数复习习题.doc

复变函数习题
一：选择题：
1. 的辐角为：（A）
A． B.
C. D.
2. ,其中(B)
A． B. C. D.0
3. 在洛朗级数为（B）
A. B. C. D.
4. 在留数（A）
A． B.1 C.0 D.
5. 将上半平面共形映射成单位圆分式线性变换符合
为（B）
A． B. C. D.
6.复数化为指数形式：(A)
A． B. C. D.
7.已知，则(C)
A． B. C. D.
8. =。。。。。（积分路径C是连接到的直线段）
A. B. C. D.
9.幂级数收敛半径(C)
A．2 B.1 C.0 D.
10.函数的奇点（B）
A.0，2 B.0, , C. D.
11. 分别以为阶极点及阶极点。试问为的(A)
A. 级零点 B. 级极点 C. 级零点 D. 级极点
12. 在的留数为（C）
A． B. 0 C. D. 1
13. =(A)
A. B. C. D.
14. 满足三对对应点的线性变换为(A)
A. B. C. D.
15. 满足三对对应点的线性变换为（B）
A． B. C. D.
二：填空题：
1. 已知，则------
2. 幂级数收敛半径为----1，---2.
3. 求出的奇点----.奇点类型为----一级极点.其中点类型为----非孤立奇点
4. 已知，则-----
5. 变换把半带形区域-------
6. 若复数满足， 的取值范围….
7. 设，函数，当…..
8. =…… (其中C为圆周)
9. 将函数在收敛域按得幂展开……
10. 函数奇点……. ,类型为…..一级极点，非孤立奇点
11. 函数奇点…….,类型为…..本性奇点
12. =……. .
13. =…..
14. 满足使变成，点二重不动点分式线性变换…….
15. 在处伸缩率，旋转角分别为…………
三：计算题：
1. 设，试求
（1），（2），（3）
2.将下列函数展出的 幂级数，并指出展式成立的范围
（1）（为复数，且）； （2）
3.计算下列积分值
（1），； （2）
4. 求积分之值，其中积分路径是连接到的摆线：
。
5. 求下列函数在其孤立奇点（包括无穷远点）处的留数（是正整数）
（1） （2）
6.求下列方程（是实参数）给出的曲线：
（1） （2）
7.指出下列函数解析性区域，并求出导数：
（1） （2）
8.计算积分 积分路径（1）直线段 （2）上半单位圆周 （3）下半单位圆周
9.将下列函数展开的幂级数，指出展开式成立范围：
（1） （2）
10.下列函数在指定点去心领域展成洛朗级数，指出收敛域：
（1） （2）
11.求出下列函数奇点，并确定类型；
（1） （2）
12. 计算积分
（1） （2）
13. 计算
14. 求出将上半平面共形映射成圆的分式线性变换是符合条件如果要求变换是否存在？
15. 求将圆共形映射成圆的分式线性变换，使变成
四：证明题：
1. 设函数在区域D内解析，试证：
2. 证明方程在单位圆内有个根。
3. 函数分别为阶极点及阶极点。试问为及的什么点？
4. 试证：复平面上三点0，共直线。
5. 由积分之值证明：，其中C取单位圆
6. 试证：四个相异点共圆周或共直线的充要条件为实数。
7. 给定函数，试证明函数在点可导，但不解析。
8. 设（1）在上连续；（2）对任意的，，试证。
9. 证明：，当时为的可去奇点；当时为的阶极点；为的一阶极点。
10. 证明：若为的单值性孤立奇点，则为的阶极点的充要条件是。其中是正整数。
11. 设幂级数所表示的和函数在其收敛圆周只有唯一一阶级点.试证：因而收敛半径。
12. 证明：。
13. 证明：
14. 证明：把圆周变成椭圆周。
15. 以为对称点的圆周的方程为当时，退化为以为对称点的直线。
五：解答题：
1.（1） （2）
2.讨论下列级数的敛散性：（1） （2）
3.考查函数的奇点类型。
4. 试问函数在单位圆是否连续，是否一致连续？
5.问线性变换将闭单位圆映成平面上的什么区域？
6.满足满足下列关系的点是什么直线：
（1） （2）
7.解方程：（1），（2）
8.求积分从而证明。
9.求函数在的领域展开式（其中）。
10.函数在有一个二阶极点；这个函数又有下列洛朗展开式：+,于是说又是得到本质奇点，此说法对吗？
11. 设函数不恒为零且以为解析点或极点，而函数以为本质奇点，则是分别为什么类型奇点？
12计算积分，其中C为单位圆周
13. 求出的孤立奇点（包括无穷远点）处的留数（正整数）
14. 在线性变换下，下列图形分别变成什么图形？
（1）以为顶点的三角形
（2）闭圆
15. 试将线性变换分解四个简单线性变换组合。