故障相关的表决可修系统可靠性模型.doc

西南交通大学本科毕业设计(论文) 第VI页

西 南 交 通 大 学
本科毕业设计(论文)

故障相关的表决可修系统可靠性模型
The Reliability of Repairable k/n(G) Voting System with Dependent Components

年 级：2009 级
学 号：20094880
姓 名：邹 佳 舰
专 业：统 计 学
指导老师：唐 家 银

2013 年 6 月
院 系 数学学院 专 业 统计学
年 级 2009级 姓 名 邹佳舰
题 目 故障相关的表决可修系统可靠性模型

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成 绩

答辩委员会主任 (签章)

年 月 日

毕业设计（论文）任务书

班 级 09统计02班 学生姓名 邹佳舰 学 号 20094880
发题日期： 年 月 日 完成日期： 月 日
题 目 故障相关的表决可修系统可靠性模型
1、本论文的目的、意义 对于可修系统的可靠性分析与计算一直受到国内外可靠性理论研究及应用的关注[1~8]。但已有文献研究的对象多为两部件组成的简单串并联系统，对于通用型的k/n(F)表决可修系统的研究较少。王在[9,10]中，应用GMRP（广义马氏过程）方法，研究了修理时间服从一般分布的典型串联、并联、表决可修系统的随机特性，进而计算系统稳态可靠性指标，但计算过程涉及高阶行列式的求值，且要求部件无故障工作寿命 相互独立、均服从指数分布。肖[11]则利用Monte-Carlo法，将各零部件的工作寿命 的分布推广至一般非指数型，设计求解非马尔科夫可修表决系统可靠性指标的仿真算法，以获得系统瞬态可靠性指标。陈[12]给出可修k/n(G)系统状态概率的简化算法，但前提是不存在同时故障，即在t→t+△t内故障零件数不能超过一个。Richard[6]和Zhang[7]根据广义转移概率探讨可修环形k/n(G)系统的可靠性，且Zhang在[8]中利用几何过程、向量马氏过程和排队理论得到带有可修维修设备的k/n(G)系统可靠性指标。
综观国内外关于可修系统的研究文献[1~12]，不难发现：传统的马尔可夫型表决系统可靠性模型的建立受到以下条件的约束，须基于：①不考虑共因故障或从属故障，零件只能逐个故障，即同一时间段内故障的零件数仅是一个；②各零件故障事件相互独立；③零部件工作寿命 、故障修复时间 均服从偶然态变型的指数分布；即零部件故障率 和修复率 均是常数。

2、学生应完成的任务
查阅可靠性相关资料，理解其中的基本理论和方法。 了解Copula相关性理论，解决k/n(F)表决可修系统中零部件的故障相关干涉问题，根据零部件工作寿命之间的正相关结构，运用Copula函数的相关性理论，提出微时间差t→t+△t内系统一步状态转移矩阵概念，建立了故障相关的表决可修系统可靠性模型。模型全面考虑了共因故障、零件工作寿命和修复时间分布的一般性，从而突破传统独立指数型可修系统可靠性模型的三类局限性。验证了k/n(F)可修系统相关性模型的通用性，

3、论文各部分内容及时间分配：(共 17 周)
第一部分 了解选题背景和资料收集 (3周)
第二部分 确定论文框架和理论研究 (4周)
第三部分 建模及算例分析 (4周)
第四部分 论文初稿撰写 (3周)
第五部分 论文修订 (2周)
评阅及答辩 (1周)

备 注

指导教师： 年 月 日
审 批 人： 年 月 日

摘 要

综观国内外关于可修系统的研究文献,不难发现：传统的马尔可夫型表决系统可靠性模型的建立受到以下条件的约束，须基于：①不考虑共因故障或从属故障，零件只能逐个故障，即同一时间段内故障的零件数仅是一个；②各零件故障事件相互独立；③零部件工作寿命、故障修复时间均服从偶然态变型的指数分布；即零部件故障率和修复率均是常数。
对于因磨耗、腐蚀、疲劳、老化而故障的机械、电机系统，首先常数型故障率不一定合适。其次，考虑到共因故障或从属故障造成的影响，零件故障事件存在正相关性，即系统各零件无故障工作寿命之间非独立；且受同一故障源冲击，修理设备、修理工经验、信息交流等影响，造成各故障零件修复时间之间也具有相关性。另外，过载冲击、工作环境优劣等对承担同一任务的机械系统各部件工作寿命有着正相关影响，导致同一瞬时故障的部件数可能不止一个。因而，同时改进这三类约束条件的可用度计算模型是必要的。
本文就是从这三类约束条件出发，在第二章中建立了几个典型的不可修系统在故障不相关条件下的可靠性计算模型，第三章基于Copula相关性理论建立了故障相关的不可修系统可靠性模型，而在第四章当中，引入了部件的可修性，利用微时间差t→t+△t内系统一步状态转移矩阵的概念，改进传统表决可修系统的三类局限性条件，进而得到状态转移密度矩阵，通过求解系统状态方程，给出系统可用度计算模型；解决了n个修理工、同时考虑零部件工作寿命、故障修复时间之间相关性，及其分布为一般连续型的k/n(G)可修系统可靠性建模、计算问题。

关键词：可靠性; 可修性; Copula; 表决系统;
Abstract
Through all the papers related to the repairable system, it’s easy to find out that the reliability of the traditional Markov voting system is restricted by the following three facts: first, they all ignore the common cause failure (CCF) and the subordinate failure, that is all those components are failing one by one, there won’t be two or more failures at the same time; Second, the failure of each component comes up independently; Third, the lifetime of each component and the repair time of each failure component are random variables with ordinary Exponential distributions, that is the lifetime and the repair time are both constant.
Those mechanical system and motor system which are failing by wearing, corroding, fatiguing, retrograding. They are not suit for the circumstance that the lifetime and the repair time are both constant. Then, consider the influence of the common cause failure (CCF) and the subordinate failure, the failure between each component has positive correlation, that is they are not independent components with random variables lifetime . At the same time, there is also positive correlation between the repair time of failure components, because of all the components subjected to the common shocks, and the experience of the repairman also the information among them. Finally, those facts such as overloaded shocks, the difference between the working environments, also make the components which are responsible for the same mission have positive correlation of their lifetime, that is there can be more than one failure components at the same time. In summary, it is significant to improve all the three facts.
This paper is based on the three facts. In chapter two, we set up the calculation model of the reliability of some typical irreparable system with independent and identically distributed components. In chapter three, we set up also irreparable system but with dependent and identically distributed components. In chapter four, we put repairability into consideration, based on the time one step state-transition matrix of system. For improving the three facts of traditional voting system, we set up the state-transition density matrix, finally we get the calculation model of system availability by solving state equation of the system. In general, we set up a calculation model of the reliability of repairable k/n(G) voting System with dependent components.

Keywords : Reliability; Repairability; Copula; k/n(G) voting system
目 录
第1章 可靠性的概念和背景 1
1.1可靠性的概念和背景 1
1.2产品可靠性的数量指标 2
1.2.1 可靠度 2
1.2.2 失效密度 3
1.2.3 失效率 3
1.2.4 平均寿命 4
1.3产品维修性的数量指标 5
1.3.1维修度 5
1.3.2 维修率 5
1.3.3 平均修复时间（Mean Time To Repair） 6
1.4 可靠性与维修性数量指标之间的对比 6
第2章 典型不可修系统的独立性失效模型 8
2.1串联系统的独立性失效模型 8
2.2并联系统的独立性失效模型 9
2.3表决系统的独立性失效模型 10
2.4储备系统的独立性失效模型 11
第3章 典型不可修系统的相关性失效模型 13
3.1 Copula函数的定义与基本性质 13
3.1.1 Copula的定义 13
3.1.2 Sklar定理 14
3.1.3 几个经典的正相关性Copula 14
3.2 串联系统的相关性失效模型 15
3.3 并联系统的相关性失效模型 16
3.4 表决系统的相关性失效模型 17
第4章 可修系统相关性失效可靠性模型 19
4.1 可修系统独立性失效可靠性模型 19
4.1.1 单部件可修系统可用度的计算模型 19
4.1.2 两部件可修系统独立性失效可用度的计算模型 20
4.2 故障相关可修系统可靠性模型 22
4.2.1 故障相关两部件串联可修系统可靠性模型 24
4.2.2 故障相关两部件并联可修系统可靠性模型 25
4.2.3 故障相关串联可修系统可靠性模型 27
4.2.4 故障相关表决可修系统可靠性模型 29
第5章 仿 真 33
结论 34
致谢 35
参考文献... 36

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第1章 可靠性的概念和背景
1.1可靠性的概念和背景
自古以来人们就有对于物件可靠与不可靠的评论，这种评论在经过人类社会活动或是生产技术活动中的慢慢演练，已然成为一种共同的准则和概念。举一个简单的例子来说，生产制造一台机器或是一个简单的部件，要求其能够连续工作三年或以上，那么如果它工作到两年或者是两年以内就坏了，那么我们就说它是不可靠的，相反的，如果它能工作到三年或三年以上，我们就认为它是可靠的。这就是人们最初的时候，对于产品可靠或不可靠最简单的评价，它是模糊的，定性的，缺乏严格的计算方法和数量指标的。而随着科学技术的迅猛进步，对于可靠性的要求也愈发的严格。工作中的失误常常造成损失，甚至对环境和社会产生严重的影响。所以，系统可靠性分析，在各类工程实践中都是不容忽视的问题。正是由于这样严格的要求，才使得可靠性从十九世纪40年代开始到现在，有了突飞猛进的发展。使得可靠性不再是一个抽象的名词，而是可以是用一些定量的指标来衡量的概念。其应用领域已经涵盖了包括军工，电子领域和其他许多技术领域。
目前来说，大家对于可靠性的定义是：“产品在规定的条件下和规定的时间内，完成规定功能的能力。”很明显，对于这个定义，我们可以从以下四点来分析[1~6]。
产品：产品的定义是非常宽泛的，它包括了零件、设备、系统等等[1~6]。而其中非常重要的一点是系统，系统是一个相对的概念，本文接下来的工作都是围绕着系统所展开的，所以在之后会详细为大家介绍系统的概念，这里便不再累述。
规定的条件：它是指产品的使用条件，环境条件，当然也包括运输，保管条件等。诸如载荷、速度、温度、震动、润滑、防腐、环境湿度、含尘量以及使用方法、维修保养、操作人员的技术水平等。这些条件对于产的寿命和功能，都有非常大的影响[21]。
规定的时间：指产品的预期寿命，时间这个条件是可靠性中的重要问题，产品的功能只有同时使用时间相联系，才有实际意义，而产品又只能在一定的时间范围内发挥其功能，不可能永远保持其功能。不同的产品对于规定的时间的寿命应该做不同的规定，如海底的电缆要求其使用时间长达三、四十年；而机床、汽车、家用电器则规定一个合适的技术经济耗损寿命；而火箭、枪炮子弹发射则要求一次性工作。不同产品的寿命，可以用小时表示，也可以用循环函数、距离表示。例如滚动轴承用小时；齿轮轴用应力循环次数；车辆用行驶里程来表示[21]。
规定功能的能力： 它是指人们为了生产及生活上的需要，设计和制造出各式各样的机器，满足预订的解决生产生活上遇到的问题的功能。例如汽车的功能是运输；机床的功能是加工零件；洗衣机的功能是洗衣服。所谓产品的可靠性，必须是在实际使用中能实现其规定的功能。产品丧失功能的现象称为失效，有时也称为故障。功能有主次之分，失效（或故障）也有主次之分，例如电视机显像管损坏算是失效，而图像稍有失真，影响不大，也不一定算是失效；又如齿轮转动的任务是传递运动和动力，当轮齿折断称为失效，而当齿面产生一定的磨损，如果技术标准放宽，也可不算是失效。因此，产品的功能和失效，在某种意义上讲，有一定的相对性，对于具体的产品，失效的分类和判断依据应有明确的规定和划分。
产品的功能以功能参数表示，它是判断产品是否发生失效的依据。在保证功能参数达到技术要求的同时，产品完成规定功能所处的状态，称为产品的工作能力。产品在使用过程中将逐渐耗损劣化。由于影响产品工作能力的随机因素很多，因此工作能力损耗过程是个随机过程。根据随机过程的概念，产品在某时刻t时的工作能力，就是产品在t 时刻所处的状态，即产品工作能力的随机函数在t时刻的取值。
从上面对可靠性定义的初略分析中，可以看出，产品的可靠性指标是与时间有关的随机变量，也是与产品使用条件、失效方式、失效判断依据有关的综合指标。因此，对这个随机事件的描述，必须使用概率论与数理统计的方法。从可靠性的由来，到其技术的发展与渗透包括它在机械设计中的应用，可以看出，可靠性是一项具有重大影响的工程技术。
1.2产品可靠性的数量指标
1.2.1 可靠度[19-21]
按国家规定，可靠度的定义是：产品在规定条件下和规定时间内，完成规定功能的概率。由此可知，产品的可靠度是时间的函数，且用概率来表示。如果产品的寿命为（随机变量），则产品在时刻的可靠度为这个随机事件的概率，即
(1-1)
由概率的定义得

如果有一批数量为的相同产品，在开始工作，随着时间的推移，失效（或故障）的件数在增大，而正常工作的件数在减小，则产品在任意时刻可靠度观测值为
(1-2)
这里表示完好产品在件产品中出现的频率。当时，就可以用频率来近似表示概率，即
(1-3)
很明显，可靠度是评价产品可靠性的最重要的定量指标。
由于产品的失效与正常为对立事件，因而产品从开始，工作至任意时刻的累积失效概率为，即不可靠度有
(1-4)
或
(1-5)
其观测值为
(1-6)
同样。当由上面的定义可知，就是产品寿命的分布函数。
1.2.2 失效密度[19-21]
失效密度的观测值为产品在到时间间隔内，单位时间内的失效频率，即
(1-7)
式中为个产品工作到时刻的失效数；
为时间间隔内产品的失效数。
当时，产品在时刻的失效密度，即概率密度函数为
(1-8)
上式可改写为
(1-9)
因此
(1-10)
显然随着时间的增大而增大；随着时间的增大而减小。固有
(1-11)
1.2.3 失效率[19-21]
失效率又称故障率。表示当产品已工作到时刻的条件下，在下阶段的单位时间内发生失效的条件概率（取的极限值）。其数学表达式为
(1-12)
失效率的统计观测值为
(1-13)
由此
(1-14)
即
(1-15)
或
(1-16)
两边进行积分，则得
(1-17)
于是得
(1-18)
上式称为可靠度函数的一般方程，是一指数型的分布函数。当为常数时，便可以得到产品寿命服从指数分布的有关函数表达式

以上所述表明，产品的可靠性指标：，四者都是相互联系的，已知其中之一，便可以推算出其它三个指标。
1.2.4 平均寿命[19-21]
在讨论产品的可靠性时，人们总要把它和产品的寿命联系起来。平均寿命指的是一批类型、规格相同的产品从投入运行到发生失效（或故障）的平均工作时间。由于产品投入运行后出现失效的时间（或寿命）是个随机变量，具有确定的统计分布规律。因此，平均寿命实际上是这个随机变量的数学期望。
设有个产品从开始使用到发生失效的时间为：，则平均受命的观测值为
(1-19)
若产品的失效密度函数为，则产品的平均寿命，即数学期望万为
(1-20)
平均寿命，对于不可修复的产品是指从开始使用到发生失效的平均时间，用（Mean Time To Failure）表示；对可修复的产品是相邻两次故障间工作时间的平均值，用（Mean Time Between Failure）表示。若只考虑首次故障，则指的是产品从首次使用到第一次发生故障的平均时间，用（Mean Time To First Failure）表示。对可修复产品人们不仅关心，有时则更关心。
平均寿命也可通俗地表达为

平均寿命与可靠度有如下关系：
(1-21)
用积分法可解得
(1-22)
上式表明，平均寿命的集合意义是：可靠度曲线与时间轴所夹的面积。
在为常数时，，将其带入上式得
(1-23)
这个结果说明，如果产品寿命服从指数分布，平均寿命等于失效率的倒数。由于易于用统计学方法求得，所以常常利用上式来求的值。

1.3产品维修性的数量指标
1.3.1维修度[19-21]
它表示可以维修的产品，在规定的条件下和规定的时间内完成维修的概率，即：
(1-24)
式中为维修时间的概率密度函数。
产品在任意维修时刻时的维修度观测值为
(1-25)
式中为投入维修点产品数；为时刻已经维修的产品数。
1.3.2 维修率[19-21]
它知道是在时刻尚未修复的产品，在下个单位时间内的维修概率。可用条件概率来表达，即
(1-26)
其观测值的表达式失效率的表达式相同，即
(1-27)
式中的和分别表示和时刻的修复产品数；表示时刻的未修复产品数。
1.3.3 平均修复时间（Mean Time To Repair）[19-21]
它指的是产品修复时间的平均值，即维修时间的数学期望
(1-28)
平均修复时间的观测值，按修复时间的总和与维修次数之比确定。
1.4 可靠性与维修性数量指标之间的对比
评价维修系统，需要把可靠性指标与维修性指标结合起来综合考虑，为了较好的理解维修性的概念，可以用前面推导可靠性函数指标与维修性函数指标之间的区别加以比较。只不过是以修理时间代替工作时间，以维修率代替故障率，以维修度代替可靠度等等。换句话说，在可靠性和维修性函数中，有下表所列的对应关系。
项目
可靠性
维修性
累积概率分布
可靠度

不可靠度

维修度

未维修度

概率密度

条件概率
故障率

维修率

平均时间
平均工作时间

平均修理时间

指数分布

表1-1 可靠性与维修性指标对照表

将可靠度与维修度结合起来，即有效度或称可用度，它表示系统（设备）在规定的运行时间和维修时间内具有或维持其规定功能的概率。系统稳态有效度为
(1-29)

第2章 典型不可修系统的独立性失效模型
在这一章当中，将会完成几个典型的系统在各部件独立且不可修情况下的可靠性模型。首先要为大家解释一下什么叫做系统，系统是由一些基本单元组成的完成某种特定功能的整体，系统，是一个相对的概念，从大的来讲我们一整部具有完善功能的机械，它是一个系统，而组成它的各个零件，或各个结构要素，也可以称为一个系统。系统的可靠度不仅跟组成系统各个部件的可靠度相关，还跟系统自身的结构有着密切的关系。本文在接下来的模型建立中，会由浅入深，从最简单的系统在独立不可修情况下的可靠性计算模型到最为普遍的系统在故障相关条件下的可用度计算模型。
2.1串联系统的独立性失效模型
串联系统[1-5]是指只有个单元都正常工作时，系统才能正常工作，其中任一单元功能失效，则系统功能失效。其系统框图如下

图2-1 串联系统框图

若令事件为系统处于正常工作状态，事件为单元处于工作状态。则有串联系统特征可知
(2-1)
由于诸相互独立，故有
(2-2)
即系统可靠度与单元可靠度的关系为
(2-3)
若单元寿命服从指数分布，令单元失效率为(常数)，其可靠度为：
(2-4)
则系统可靠度为：
(2-5)
其中。
上式表明串联系统的寿命分布也服从指数分布，系统失效率也是常数。表明在串联系统中，单元数越多，系统可靠性越低，若要提高提高系统可靠性，则需要提高系统中可靠度最低的单元的可靠度。
2.2并联系统的独立性失效模型
并联系统[1-5]是指其中任一单元正常工作，系统就能正常工作，只有个单元全部失效时，系统才会失效。

图2-2 并联系统框图

同样，令事件为系统工作正常，为系统失效，及为第个单元正常及失效。则由并联系统特征可以写出：
(2-6)
假设各元件相互独立，则由概率乘法定理可得，系统不可靠度为：
(2-7)
由互补定理得系统可靠度为：
(2-8)
若单元寿命服从指数分布，令单元失效率为 (常数)，其可靠度为，则系统可靠度为：
(2-9)
系统失效率为：
(2-10)
对于个相同单元并联，其失效率相同即，，则系统可靠性特征向量为：
(2-11)
2.3表决系统的独立性失效模型
如下图所示，表决系统[1-5]是指，个单元组成的表决系统，其系统的特征是组成系统的个单元中，至少有个个单元正常工作系统才能正常工作，大于个单元失效，系统就失效。明显，若 则为并联系统，则为串联系统。 首先研究2/3 表决系统，实际工程应用系统中常采用最简单的2/3(G)表决系统，即三个单元中至少有两个单元正常工作，系统就正常工作。 (G)表决系统的可靠性框图如下。

图2-3 2/3(G)表决系统框图

若系统的单元为1，2，3，每个单元可靠度为，第个单元处于正常工作的事件为，系统处于正常工作的事件为。则：
(2-12)
设系统中各工作单元之间相互独立，，，之间相容，如果单元及系统工作时间均为t，则系统可靠度为：
(2-13)
若各单元可靠度均为，则：
(2-14)
如果各单元寿命均服从指数分布，即，则：
(2-15)
若各个单元的失效率均为时，单元可靠度，则：
(2-16)
(2-17)
这说明2/3(G)表决系统的平均寿命比单元的寿命还要低，实际上2/3(G)表决系统的意义在于短时间内可靠性的改善，而不在于平均寿命的提高。
接下来推广到一般情况，对于表决系统，系统逻辑框图如下。

图2-4 表决系统框图
若每个单元可靠度相同均为，则失效率为，且各单元是否正常工作相互独立，由于，明显服从二项分布，则：

(2-18)
如果各单元寿命均服从指数分布，其失效率均为常数时，其可靠度为：
(2-19)
系统的平均寿命为：
(2-20)
2.4储备系统的独立性失效模型
储备系统[1-5]由若干个备用部件和一个工作部件组成。理想情况下，假定转换装置不失效。储备的方式有两种，一种是指在储备期间部件不会发生失效或失效概率很小，这种储备又称为冷储备，或者另一种含义是冷储备在投入工作前必须有一段启动时间，不能再工作部件失效后，立即更换；另一种储备方式则称为热储备，这种储备方式在储备期间可能失效，而且可以立即更换掉故障部件，并取而代之。工程上对储备的部件必须进行定期检修和保养，以提高系统的可靠度。储备系统可靠性框图如下。

图2-5 储备系统框图

由于储备系统相当复杂我们在这里就从简讨论，假设转换装置和监视装置完全可靠，永不失效，且储备单元在储备期不失效，即冷储备。设每个单元工作时的失效率均为 ，则其可靠度为：
. (2-21)
用泊松分布求和公式计算：
(2-22)

平均寿命为：
(2-23)
（2-23）表明由个部件组成的储备系统，其平均寿命是单个部件的倍。

第3章 典型不可修系统的相关性失效模型
在上一章中，已经建立了几个典型的系统在各部件相互独立且不可修条件下的可靠性计算模型，本章将会把Copula引入到上述模型，建立系统各部件失效相关不可修条件下的可靠性模型。
首先，为大家介绍一下Copula。Copula是一个拉丁语名词，是连接的意思，Couple函数实际上是将多维分布函数与其一维边缘分布函数连接起来的函数。这可以从它下面的定义中看出来，而且在定义之后有几个经典的正相关型Copula，能够帮助读者更好的了解Copula函数。 Copula方法有很多优点。首先，Copula函数可用于构造灵活的多元分布。现有的大多数多元分布函数都是一元分布函数的简单延伸，例如他们通常都要求所有的边缘分布都服从同样的分布(如多元正态分布的所有边缘分布都服从正态分布，多元学生t分布的所有边缘分布都服从一元学生t分布)，而现在我们可