高维小波分析.doc

前言：…
1.高维小波变换的一般形式
首先给出高维可允许小波的定义与高维小波变换的定义
定义1 （可允许函数）称为可允许的，如果h不恒为0，且
，
。
定义2.（高维小波变换）设
，
是变换，其中，的内积和范数分别为
，
。
的内积和范数分别为
，
。
为得到高维小波的逆变换，有如下的推导过程
定理1. 设是可允许函数，当，当满足关系时，变换是的等距变换，其中。
证明：对于
（1）
利用Fourier变换内积不变性质，有

又
可知 (2)
由于Fourier变换是的等距变换，上式右端为
(3)
由定理条件当，时 (3)可以化为

（4）
于是，由式(2)
（5）
即变换是的等距变换。

由小波变换是等距变换这一事实，可以得出高维小波变换，对于有

由等距性，上式等于，根据函数f(x)的任意性，有
（*）
即得到高维小波的逆变换公式（*）。
易知，当时，既可以得到通常的小波变换和逆变换公式。

当然，通过文献的阅读，我们还了解到从一般小波变换到高维小波变换的正交小波基的构造的不同，小波包的构造方法，以及高维小波变换的一般特征。在此就不一一赘述。有了高维小波变换的一般认识，下面介绍目前高维小波变换的主要应用。