厦门市高三理科数学质量测试题.docx

厦门市2010届高三（上）质量检查
数学（理科）试卷
注意事项
1.本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷指定位置上作答，答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、考号、姓名．
2.本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．
参考公式
柱体体积公式：，其中为底面面积，为高．
锥体体积公式：，其中为底面面积，为高．
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={1，3}，则A∩B等于
A．{1} B．{2} C．{4} D．{1,2,4}
2．一个组合体的三视图如右，则其体积为
A．12π B．16π C．20π D．28π

3．点P在边长为1的正方形ABCD内运动，则动点P到
定点A的距离|PA|<1的概率为
A． B． C． D．π
4. 已知sin10°=a，则sin70°等于
A．1-2a2 B. 1+2a2 C. 1-a2 D. a2- 1

5．函数y=的图象大致是

6．已知函数f(x)=,根据函数的性质、积分的性质和积分的几何意义，探求的值，结果是
A． B． C．1 D．0
7．已知双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线为l1﹑l2，过右焦点且

垂直于x轴的直线与l1﹑l2所围成的三角形面积为
A. B. C. D.
8．在右侧程序框图中，输入n=60,按程序运行后输出的结果是
A．0 B．3 C．4 D. 5

9．已知函数f(x+1)是偶函数，当x2>x1>1时，
[f (x2)- f (x1)]( x2-x1)>0恒成立，设a=f (-),b=f (2),c=f (3),
则a,b,c的大小关系为
A．b<a<c B．c<b<a
C．b<c<a D．a<b<c

10．定义一个法则，在法则f的作用下，点P(m,n)对应点P'(m,).现有，两点，当点P在线段上运动时，其对应点P'的轨迹为G,则G与线段公共点的个数为
A．0　　　　B．1　　　　　　C．2　　　　　D．3

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二．填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填写在答题卡的相应位置。
11．(x -)4的展开式中常数项为 .
12．函数f(x)=3x-7+lnx的零点位于区间(n,n+1) (n∈N) ,则n = .
13．已知实数x，y满足，则z=x2+y2的最小值为 .
14．随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2)，已知P(ξ<0)=0.3，则P(ξ<2)= .

15．已知向量，||=1.
则函数y=的最大值为 .

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16. 设函数．
（I）求函数最小正周期；
（II）设的三个内角、、的对应边分别是、、，若，，，求．

17. 二十世纪50年代，日本熊本县水俣市的许多居民都患了运动失调、四肢麻木等症状，人们把它称为水俣病．经调查发现一家工厂排出的废水中含有甲基汞，使鱼类受到污染．人们长期食用含高浓度甲基汞的鱼类引起汞中毒． 引起世人对食品安全的关注．《中华人民共和国环境保护法》规定食品的汞含量不得超过1.00ppm．
罗非鱼是体型较大，生命周期长的食肉鱼，其体内汞含量比其他鱼偏高．现从一批罗非鱼中随机地抽出15条作样本，经检测得各条鱼的汞含量的茎叶图（以小数点前一位数字为茎，小数点后一位数字为叶）如下：

（Ⅰ）若某检查人员从这15条鱼中，随机地抽出3条，求恰有1条鱼汞含量超标的概率；
（Ⅱ）以此15条鱼的样本数据来估计这批鱼的总体数据．若从这批数量很大的鱼中任选3条鱼，记ξ表示抽到的鱼汞含量超标的条数，求ξ的分布列及Eξ.

18．如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF且BE＜CF,
∠BCF=，AD=，EF=2.
（Ⅰ）求证： AE∥平面DCF；
（Ⅱ）设，当取何值时，二面角A—EF—C的大小为？

19．某林场为了保护生态环境，制定了植树造林的两个五年计划，第一年植树16a亩，以后每年植树面积都比上一年增加50％，但从第六年开始，每年植树面积都比上一年减少a亩.
（Ⅰ） 求该林场第6年植树的面积；
（Ⅱ）设前n(1≤n≤10且n∈N)年林场植树的总面积为亩，求的表达式.

20. 已知离心率为的椭圆的右焦点是圆的圆心，过椭圆上的动点P作圆的两条切线分别交轴于M、N两点．
（I）求椭圆的方程；
（II）求线段MN长的最大值，并求此时点P的坐标．

21. 已知函数，．（e=2.718…)
（I）求函数的极大值；
（II ）求证：；
（Ⅲ）对于函数与定义域上的任意实数，若存在常数，使得 和都成立，则称直线为函数与的“分界线”．设函数，试探究函数与是否存在“分界线”？若存在，请加以证明，并求出的值；若不存在，请说明理由．

厦门市2010届高三（上）质量检查
数学（理科）试卷参考答案

一、选择题：本题考查基础知识和基本运算. 每题5分，满分50分。
1—10 B C C A B B D D A C
二、填空题：本题考查基础知识和基本运算. 每题4分，满分20分。
11．6 12．2 13．　　14．０.7 15．284
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16．本题主要考查三角和差、倍角的基本公式，考查三角函数基本知识和正弦定理的基本应用．满分13分。
解：（I）
=+ ………………2分
=
= ．………………………………4分
， .
的最小正周期为 ．………………………………6分
（II）由（I），得 ,
= ．
又，
=，
， ………………………………8分
中， ，………………10分
由正弦定理， 得， ．……13分
17．本题主要考查茎叶图、随机变量的分布列及数学期望等概率与统计的基础知识，考查运算求解能力、分析与解决问题能力及必然与或然的数学思想、应用意识等．满分13分．
解：（I）记“15条鱼中任选3条恰好有1条鱼汞含量超标”为事件A
则．
∴15条鱼中任选3条恰好有1条鱼汞含量超标的概率为 ………………5分
（II）解法一：依题意可知，这批罗非鱼中汞含量超标的鱼的概率P=，……7分
所有ξ的取值为0，1，2，3，其分布列如下：
ξ
0
1
2
3
P(ξ)

…………11分

所以ξ～， ………………………………………12分
所以Eξ=1. ………………………………………………13分
解法二：依题意可知，这批罗非鱼中汞含量超标的鱼的概率P=， ……7分
所有ξ的取值为0，1，2，3，其分布列如下：
ξ
0
1
2
3
P(ξ)

………11分

所以Eξ=. ……………………………………13分

18．本题主要考查空间线面的位置关系，考查空间角的计算，考查空间想象能力和推理论证能力，同时也可考查学生灵活利用图形，建立空间直角坐标系，借助向量工具解决几何问题的能力．满分13分．
解：（I）解法一：∵ 四边形ABCD是矩形，
∴AB∥DC ． ……………… 1分
又∵ BE∥CF ， AB∩BE=B，
∴平面ABE∥平面DCF ． ………… 3分
又AE平面ABE，
∴AE∥平面DCF ． ……… 5分
解法二：过E作EG∥BC交FC于G，连结DG ， ………1分
∵BE∥CF ，
∴四边形BCGE是平行四边形 ，
∴EG∥BC∥AD，且EG=BC=AD，
∴四边形ADGE也是平行四边形 ， ………3分
∴AE∥DG ．又AE平面DCF，DG平面DCF ，
　 ∴AE∥平面 DCF ． ………5分
（II）解法一： 过E作GE⊥CF交CF于G，
由已知 EG∥BC∥AD，且EG=BC=AD，
∴EG=AD＝，又EF=2， ∴GF=1 ． ………………6分
∵四边形ABCD是矩形， ∴DC⊥BC ．
∵∠BCF=，　∴FC⊥BC，
又平面AC⊥平面BF，平面AC∩平面BF=BC，
∴FC⊥平面AC ， ∴FC⊥CD ． …………7分
分别以CB、CD、CF为轴建立空间直角坐标系．
设BE=m，由，得AB=m　．
∴ A（，m，0）,E(，0，m),F(0，0，m+1)，
∴=(0，-m ，m)，=（-,0,1）． …………8分
设平面AEF的法向量=(x，y，z)，
由·=0，· =0，得，∴ ，
令=，可得平面AEF的一个法向量=( ，， )． ………10分
又=（0，m，0）是平面CEF的一个法向量,
∴ ,即， 解得=．
∴当的值为时，二面角A—EF—C的大小为 ． ………………13分
解法二：过E作GE⊥CF交CF于G，
由已知EG∥BC∥AD，且EG=BC=AD，
∴EG=，又EF=2， ∴sin∠EFG= ．　　　……………6分
　∵四边形ABCD是矩形， ∴AB⊥BC
又平面AC⊥平面BF，平面AC∩平面BF=BC，
∴AB⊥平面BF ．
过B作BM⊥FE交EF于M，连结AM，
则∠AMB为二面角A—EF—C的平面角， ……… 8分
∴∠AMB= ．
由已知 ，设BE=m，则AB=m　，
∴BM= BE·sin∠MEB =BE·sin∠EFG= m . ………………10分
在Rt△ABM中，tan=,∴=,∴ ＝.
∴当的值取时，二面角A—EF—C的大小为 . ………………13分
19．本题主要考查等差与等比数列的基础知识，考查函数与方程思想、分类与整合思想、及应用意识．满分13分．
解：解：（Ⅰ）该林场前5年的植树面积分别为
16a，24a，36a，54a，81a. ……4分
∴该林场第6年植树面积为80a亩.
答：该林场第6年植树面积为80a亩. ……5分
（Ⅱ）设第年林场植树的面积为亩，
则an=…………8分
∴当1≤n≤5时，Sn=16a+24a+…+
==32a[()n-1](亩). ………………………10分
当6≤n≤10时，Sn=16a+24a+36a+54a+81a+80a+…+(86-n)a
=211a+80a+…+(86-n)a
=211a+
=211a+(亩). …………………………12分
∴所求Sn的表达式为Sn=……13分
20．本题主要考查直线、圆、椭圆等基础知识，考查函数与方程思想、分类与整合思想、及化归与转化思想．满分14分．
解：（I）∵圆的圆心是，
∴椭圆的右焦点 F，……………………１分
∵椭圆的离心率是，∴
∴，∴椭圆的方程是．……………………４分
（II）解法一：设，
由得，∴．…………５分
直线的方程:，
化简得 ．
又圆心到直线的距离为1，∴ ，………………６分
∴，
化简得， ………………………………………………７分
同理有． ……………………………………………… ８分 　　　　　　　　　　　　　
∴，，……………………………………………………9分
∴．………………………………10分
∵是椭圆上的点，∴，
∴，……………………11分 　　　　　　
记，则，
时，；时，，
∴在上单调递减，在内也是单调递减，………………13分
∴，
当时，取得最大值，
此时点P位置是椭圆的左顶点． …………………………14分
解法二：由得，∴．……５分
设过点P的圆的切线方程为，
∵圆心到直线的距离为1，
∴，化简得，∴．…………６分
设则，…………………………8分
∴，，……………………………………9分
∴．…………………10分
∵是椭圆上的点，∴，
∴，………………11分 　　　　　　
记，则，
时，；时，，
∴在上单调递减，在内也是单调递减，…………13分
∴，
当时，取得最大值，
此时点P位置是椭圆的左顶点． ………………………………14分
21．本题主要考查指、对函数及其性质、导数的基本知识及用导数处理函数性质，及不等式等的综合问题，同时考查考生分类讨论思想方法及化归和探索论证的能力．满分14分
解：（Ⅰ）∵，∴．……1分
令，解得：，令，解得：，…………………2分
∴函数在上递增，上递减，∴．……4分
（Ⅱ）证明：由（1）知是函数极大值点,也是最大值点， ∴，
即，（当且仅当时等号成立）…………5分
令得：， 取，
则，………………………………………………7分
∴，
迭加得…………8分
（Ⅲ）设，
则．
∴当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增．
∴是函数的极小值点，也是最小值点，∴
∴函数与的图象在处有公共点．………………9分
设与存在 “分界线”且方程为：．
令函数，
ⅰ）由在恒成立，
即在上恒成立，
∴成立，
∴，故．……………………………………11分
ⅱ）下面再证明：恒成立．
设，则．
∴当时，，函数单调递增；当时，．函数单调递减．
∴时取得最大值0，则成立．…………13分
综上ⅰ）和ⅱ）知：且，
故函数与存在分界线为，此时．…………14分
另解：令则，探究得两函数图象的交点为，
设存在“分界线”且为：，令函数，
再证：恒成立；恒成立。。。。。证法同上ⅰ）和ⅱ）．

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