中央广播电视大学本科开放教育.docx

中央广播电视大学“本科开放教育”
《几何基础》课程考核说明

I．课程考核性质

几何基础是中央广播电视大学数学与应用数学专业的一门必修的重要基础课。该课程实行全国统一考核，考核合格水准应达到普通高等学校本科教育的要求。

II．有关说明与实施要求

为使本课程的要求在考核命题中得到贯彻落实，现对有关问题作如下说明：
1．考核对象：广播电视大学数学与应用数学专业学生。
2．考核方式：本课程采用形成性考核和期末考试相结合的方式，满分为100分：期末考试成绩满分为100分，占考核成绩的70％；平时作业占考核成绩的30％。
期末考试的具体要求按照本说明中的考核内容与考核要求执行。
平时作业由中央电大统一布置。
3．命题依据：本课程使用的教学大纲是《广播电视大学数学与应用数学几何基础课程教学大纲》。 学习教材:几何基础：于祖焕主编的《几何基础》，中央电大出版社出版。考试说明是考试命题的依据。
4．考试要求： 本说明对各章内容规定了考核知识点和考核要求，有关定义、定理、性质、特征等概念的内容由低到高按“知道、了解和理解”三个层次要求；有关计算、解法、公式和法则等方法的内容由低到高按“会、掌握、熟练掌握”三个层次要求。
5．命题原则：在教学大纲和考核说明所规定内容和要求范围内命题，
注意知识的覆盖面，在此基础上适当突出重点。试题的难易程度和题量要适宜，其难易度分为易、中等、较难三个等级，其大致的比例为40：40：20。
6．试题类型及结构：本课程的考试题型分为三种：填空选择题、计算题和证明题，相应的比例大致为40：30：30。其中选择题为单项选择题，即备选答案中只有一项是正确的。
7．考核形式：形成性考核采用平时作业的形式考核，期末考试的形式采用半开卷形式考核，答题时间为90分钟。
8．其它说明：答题时不许使用计算器。

III.考核内容与考核要求

第1章 向量方法
　考核知识点：
1． 向量的基本运算：向量的加法、数乘、数量积、向量积；线性相关与线性无关。
2． 平面几何的向量方法。
3． 立体几何的向量方法。
考核要求：
1． 了解向量的基本运算；
2． 熟练掌握向量方法解决平面几何问题和立体几何问题。

第2章 仿射变换
考核知识点：
仿射平面：仿射平面、图形的仿射性质、仿射坐标系和2维向量、平面仿射。
考核要求：
1． 知道仿射平面的概念；
2． 了解仿射平面的性质。

第3章 射影平面
考核知识点：
1. 无穷远元素：无穷远点、无穷远直线、射影直线的基本性质；
2. 平面射影几何的基本特征：中心射影和中心射影的性质。
3. 齐次坐标、直线坐标、向量运算。
4. 笛沙格定理和平面对偶原则：笛沙格透视定理、平面对偶原则。
考核要求：
1． 了解无穷远元素，平面射影几何的基本特征；
2． 理解笛沙格透视定理、平面对偶原理。

第4章 射影变换

考核知识点：
1. 点列和线束；
2. 交比：点列的交比、线束的交比；
3. 透视对应：透射对应、Pappus定理；
4. 一维图形的射影几何；
5. 点列的射影对应：射影对应、对合、笛沙格第二定理。
考核要求：
1. 了解交比的概念，熟练掌握其计算。
2. 知道透视对应、点列的射影对应。
3. 理解Pappus定理、笛沙格第二定理。

第5章 二次曲线
考核知识点：
1．二次曲线的代数定义和射影定义；
2．二阶曲线的极点、极线；
3. 几个定理：Pascal定理、Brianchon定理；
4．二阶曲线的仿射性质（中心、直径）、渐近线。
考核要求：
1. 了解二阶曲线和二级曲线的定义。
2. 理解Pascal定理、Brianchon定理。
3. 了解二次曲线的性质，熟练掌握中心、直径、渐近线的计算。

第6章 公理化方法与几何体系
考核知识点：
1. 公理化方法：公理化方法的起源、公理化方法的思想、公理体系的相容性、独立性和完备性、公理的意义；
2. 希尔伯特公理体系。
考核要求：
1． 知道公理化方法、公理化体系的相容性、独立性和完备性；
2． 了解希尔伯特公理体系。

附：
《几何基础》题例
一、 选择与填空题（本题共30分，每小题3分）.
1．非零向量与的内积，那么（ ）.（易）
A. 与平行 B. 与垂直
C．与线性相关 D.无法判定
2．若向量与线性相关，那么（ ）.（易）
A.存在实数，使
B.存在不全为0的实数，使
C. 与不平行
D. 与垂直
3.平行射影把（ ）.（中）
A.平行线投影为平行线 B.把平行线投影为相交线
C.保持线段的长度不变 D.保持图形面积不变
4.在中心射影下，（ ）.（易）
A.交比不变. B.平行线变成平行线.
C.直角三角形变成直角三角形 D.平行四边形变成平行四边形.
5.在实轴上，三点坐标分别为，那么三点的单比为（ ）.（中）
A. B.
C. D.
6.在射影平面上，两直线与的交点为（ ）.（难）
A. B.
C. D..
7.仿射平面上无穷远直线与有穷远直线（ ）.（中）
A.有一个交点 B.没有交点
C.有无数个交点 D.无法判定
8.在射影平面上，下面哪些图形可以区别开来（ ）.
A.三角形与圆 B.圆与椭圆
C.四边形与正方形 D.等腰三角形与直角三角形
9.在仿射平面上，若二次曲线与无穷远直线有一个交点，则这条曲线是（ ）.（中）
A.椭圆 B.双曲线
C.抛物线 D.圆
10.欧氏几何与非欧几何的本质区别在于（ ）.（中）
A.平行公理不同 B.长度的算法不同
C.结合公理不同 D.角度的算法不同
二、计算题（本题共40分，每小题10分）
1．欧氏平面上直线的方程为，求出该直线在齐次坐标下的方程.（易）
2．平面上过与的直线，与轴和轴的交点分别为与，算出四点的交比.（中）
3．求二次曲线在点处的切线方程.（难）
三、证明题（本题共30分，每小题10分）.
1．证明在两个三角形中，三组对应边的交点共线，则三组对应顶点连线共点.（中）
2．证明射影变换，

，
把直线变成直线.（难）
试题解答
一、选择与填空题（本题共30分，每小题3分）.
1.B；2.B；3.A；4.A；5.A；6.A； 7.A；8.A； 9.C；10.A.
二、计算题（本题共20分，每小题10分）.
1. 解 齐次坐标与非齐次坐标的关系为

于是直线的方程为
。
2. 解 过点和点的直线方程为

直线与轴和轴的交点为，。
于是单比
，
四点的交比为
。
3. 解二次曲线的方程可改写为

，
在点的切线方程为
，
三：1.证明略（见教材）
2.证明 设直线的方程为
，
即
。
经射影变换之后，
，
于是
，
像点满足
，
像是一条直线。