2022-2023学年广东省广州市白云区华南师大附属太和实验学校九年级（上）期末数学试卷（含答案）.docx

2022-2023 学年广东省广州市白云区华南师大附属太和实验学校九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分，每小题给出的四个选项中，只有

一个选项是符合要求的）

1．（3 分）垃圾分类一小步，低碳生活一大步，垃圾桶上常有以下四种垃圾分类标识的图案和文字说明，其中图案是中心对称图形的是( )

A． 有害垃圾 B． 厨余垃圾

C． 其它垃圾 D． 可回收物
2．（3 分）平面直角坐标系中， eO 的圆心在原点，半径为 5，则点 P(0, 4) 与eO 的位置关系是( )
A．点 P 在eO 内 B．点 P 在eO 上 C．点 P 在eO 外 D．无法确定

3．（3 分）已知 x = 3 是关于 x 的一元二次方程 x2 - 2x - m = 0 的根，则该方程的另一个根是(

第 9页（共 30页）

)

A．3 B． -3


C.1 D． -1

4．（3 分）已知反比例函数 y = 2 - k 的图象在第一、三象限内，则 k( )
x

A. k > 2
B. k…2
C. k < 2
D. k„2

5．（3 分）小明做抛币实验，连续抛了 5 次都是反面向上，当他抛第 6 次时，反面向上是一件( ) 事件．
A．必然 B．不可能 C．确定 D．随机

6．（3 分）点 M (-3, y ) ， N (-2, y ) 是抛物线 y = -(x + 1)2 + 3 上的两点，则下列大小关系正
1 2

确的是( )

A． y1 < y2 < 3
B． 3 < y1 < y2
C． y2 < y1 < 3
D． 3 < y2 < y1

7．（3 分）水平放置的圆柱形排水管道截面半径为1m ．若管道中积水最深处为0.4m ，则水面宽度为( )
A． 0.8m B．1.2m C．1.6m D．1.8m
8．（3 分）有 x 支球队参加篮球比赛，共比赛了 45 场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是( )

A． 1 x(x + 1) = 45
2
B． 1 x(x - 1) = 45
2
C． x(x -1) = 45
D． x(x + 1) = 45

9．（3 分）把一副三角板如图（1）放置，其中ÐACB = ÐDEC = 90° ，ÐA = 45° ，ÐD = 30° ，斜边 AB = 4 ， CD = 5 ．把三角板 DCE 绕着点C 顺时针旋转15° 得到△ D1CE1 （如图 2) ，此
时 AB 与CD1 交于点O ，则线段 AD1 的长度为( )

13
5
2
A． B．
C． 2
D．4

10．（3 分）抛物线 y = ax2 + bx + c 交 x 轴于 A(-1, 0) ， B(3, 0) ，交 y 轴的负半轴于C ，顶点
为 D ．下列结论：① 2a + b = 0 ；② 2c < 3b ；③当 m ¹ 1 时，a + b < am2 + bm ；④当DABD 是等腰直角三角形时，则 a = 1 ；⑤当 DABC 是等腰三角形时，a 的值有 3 个．其中正确的有(
2
) 个．

A．5 B．4 C．3 D．2

二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）

11．（3 分）方程 x2 - 9 = 0 的解是 ．
12．（3 分）从 1， -18 ，6 中任取两个不同的数分别作为点的横纵坐标，点在第二象限的概率为 ．
13．（3 分）圆锥的母线长为9cm ，底面圆的周长为6p cm ，那么这个圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是 ．
14．（3 分）如图，菱形OABC 的顶点 A 的坐标为(3, 4) ，顶点C 在 x 轴的正半轴上，反比例
函数 y = k (x > 0) 的图象经过顶点 B ，则反比例函数的表达式为 ．

x

15．（3 分）如图，DABC 的周长为 8，eO 与 BC 相切于点 D ，与 AC 的延长线相切于点 E ，与 AB 的延长线相切于点 F ，则 AF 的长为 ．
16．（3 分）如图， AB 为eO 的直径，C 为eO 上一点，其中 AB = 4 ，ÐAOC = 120° ， P 为
eO 上的动点，连 AP ，取 AP 中点Q ，连接CQ ，则线段CQ 的最大值为 ．

三、解答题（本大题共 9 小题，满分 72 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或计算步骤）
17．（4 分）解方程： x2 - 4x - 7 = 0 ．

18．（4 分）如图，两个圆都以点O 为圆心．求证： AC = BD ．

19．（6 分）2021 年春开学为防控冠状病毒，学生进校园必须戴口罩，测体温，某校开通了 A 、 B 、C 三条测体温的通道，给进校园的学生测体温．在 3 个通道中，可随机选择其中的一个通过．
（1） 则该校学生小明进校园时，由 A 通道测体温的概率是 ．

（2） 用列树状图或表格的方法，求小明和他的同学乐乐进校园时，都是由 A 通道测体温的概率．

20．（6 分）如图所示，已知DABC 的三个顶点的坐标分别为 A(-2, 3) ，
B(-6, 0) ， C(-1, 0) ．

（1） 画出DABC 关于点O 的中心对称图形△ A1 B1C1 ；

（2） 将DABC 绕坐标原点O 逆时针旋转90° ，得到△ A2 B2C2 ．画出图形，并直接写出点 A2

的坐标．

21．（8 分）抛物线 y = ax2 + bx + c 上部分点的横坐标 x ，纵坐标 y 的对应值如下表：

x
¼
-2
-1
0
1
2
¼
y
¼
0
-4
-4
0
8
¼
（1） 根据上表填空：

①抛物线与 x 轴的交点坐标是 和 ；
②抛物线经过点(-3 ， ) ，对称轴为 ；

（2） 求该抛物线 y = ax2 + bx + c 的解析式．

22．（10 分）用54m 长的竹栅栏围一个矩形菜园，菜园的一边靠长为 a m 的墙，另三边用竹栅栏围成，且在与墙平行的一边开两扇门，宽度都是1m ，设与墙垂直的一边长为 x m ．
（1） 当 a = 41 时，矩形菜园面积是320m2 ，求 x ；
（2） 当 a 足够大时，问矩形菜园的面积能否达到 400m2 ？

23．（10 分）如图，在平面直角坐标系中，点 A(-3, 0) ， B(0, -4) ，把线段 AB 绕点 A 逆时针
旋转90° 到 AC ， AC 交 y 轴于点 D ，反比例函数 y = k (x > 0) 的图象经过点C ．
x

（1） 求 k 的值；
（2） 连接 BC ，若点 P 在反比例函数 y = k (x > 0) 的图象上，且 S
x


DBDP


= SDABC


，求点 P 的坐

标．

24．（12 分）如图，eO 的半径为 1，A ，P ，B ，C 是eO 上的四个点，ÐAPC = ÐCPB = 60° ．
（1） 判断DABC 的形状： ；
（2） 试探究线段 PA ， PB ， PC 之间的数量关系，并证明你的结论；
（3） 当点 P 位于 ¶AB 的什么位置时，四边形 APBC 的面积最大？求出最大面积．

第 30页（共 30页）

25．（12 分）如图，已知抛物线与 x 轴交于点 A(-2, 0) ， B(4, 0) ，与 y 轴交于点C(0,8) ．
（1） 求抛物线的解析式及其顶点 D 的坐标；

（2） 设直线CD 交 x 轴于点 E ．在线段OB 的垂直平分线上是否存在点 P ，使得点 P 到直线 CD 的距离等于点 P 到原点O 的距离？如果存在，求出点 P 的坐标；如果不存在， 请说明理由；
（3） 过点 B 作 x 轴的垂线，交直线CD 于点 F ，将抛物线沿其对称轴平移，使抛物线与线段 EF 总有公共点．试探究：抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？

2022-2023 学年广东省广州市白云区华南师大附属太和实验学校九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的）
1．（3 分）垃圾分类一小步，低碳生活一大步，垃圾桶上常有以下四种垃圾分类标识的图案和文字说明，其中图案是中心对称图形的是( )
．
A． 有害垃圾 B． 厨余垃圾C 其它垃

圾 D． 可回收物

【解答】解： A ．是中心对称图形，故本选项符合题意；

B ．不是中心对称图形，故本选项不合题意； C ．不是中心对称图形，故本选项不合题意； D ．不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选： A ．
2．（3 分）平面直角坐标系中， eO 的圆心在原点，半径为 5，则点 P(0, 4) 与eO 的位置关
系是( )
A．点 P 在eO 内 B．点 P 在eO 上 C．点 P 在eO 外 D．无法确定
【解答】解：由题意可作图，如图所示：

Q d = 4 < 5 ，
\点 P 在eO 内．
故 A 正确， B 、C 、 D 错误， 故选： A ．
3．（3 分）已知 x = 3 是关于 x 的一元二次方程 x2 - 2x - m = 0 的根，则该方程的另一个根是(

)

A．3 B． -3


C.1 D． -1

【解答】解：设方程的另一个根为 x1 ， 根据题意得： x1 + 3 = 2 ，
解得： x1 = -1 ．

故选： D ．
4．（3 分）已知反比例函数 y = 2 - k 的图象在第一、三象限内，则 k( )
x

A. k > 2
B. k…2
C. k < 2
D. k„2

【解答】解：Q反比例函数 y = 2 - k 的图象在第一、三象限内，
x
\ 2 - k > 0 ，
\ k < 2 ， 故选： C ．
5．（3 分）小明做抛币实验，连续抛了 5 次都是反面向上，当他抛第 6 次时，反面向上是一件( ) 事件．
A．必然 B．不可能 C．确定 D．随机

【解答】解：小明做抛币实验，连续抛了 5 次都是反面向上，当他抛第 6 次时，可能是正面朝上，有可能反面向上，
则反面向上是一件随机事件， 故选： D ．
6．（3 分）点 M (-3, y ) ， N (-2, y ) 是抛物线 y = -(x + 1)2 + 3 上的两点，则下列大小关系正
1 2

确的是( )

A． y1 < y2 < 3
B． 3 < y1 < y2
C． y2 < y1 < 3
D． 3 < y2 < y1

【解答】解：Q抛物线 y = -(x + 1)2 + 3 开口向下，对称轴是直线 x = -1 ，
\抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大，
Q点(-1, 3) 在对称轴上， -3 < -2 ，

\ y1 < y2 < 3 ． 故选： A ．
7．（3 分）水平放置的圆柱形排水管道截面半径为1m ．若管道中积水最深处为0.4m ，则水
面宽度为( )

A． 0.8m B．1.2m C．1.6m D．1.8m
【解答】解：过O 作OC ^ AB 于C ，交eO 于 D ，连接OB ，如图所示： 则 AB = 2BC ， ÐOCB = 90° ， OB = OD = 1m ， CD = 0.4m ，
\OC = OD - CD = 0.6(m ) ，

OB2 - OC 2
12 - 0 × 62
\ BC = = = 0.8(m) ，

\ AB = 2AC = 1.6(m) ， 即水面宽度为1.6m ， 故选： C ．

8．（3 分）有 x 支球队参加篮球比赛，共比赛了 45 场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是( )

A． 1 x(x + 1) = 45
2
B． 1 x(x - 1) = 45
2
C． x(x -1) = 45
D． x(x + 1) = 45

【解答】解：Q有 x 支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，
\共比赛场数为 1 x(x -1) ，
2
\共比赛了 45 场，
\ 1 x(x - 1) = 45 ，
2
故选： B ．

9．（3 分）把一副三角板如图（1）放置，其中ÐACB = ÐDEC = 90° ，ÐA = 45° ，ÐD = 30° ，斜边 AB = 4 ， CD = 5 ．把三角板 DCE 绕着点C 顺时针旋转15° 得到△ D1CE1 （如图 2) ，此
时 AB 与CD1 交于点O ，则线段 AD1 的长度为( )

13
5
A． B．
C． 2
D．4

2
【解答】解：由题意易知： ÐCAB = 45° ， ÐACD = 30° ． 若旋转角度为15° ，则ÐACO = 30° + 15° = 45° ．
\ÐAOC = 180° - ÐACO - ÐCAO = 90° ．

2
在等腰RtDABC 中， AB = 4 ，则 AC = BC = 2 ．

同理可求得： AO = OC = 2 ．

在RtDAOD1 中， OA = 2 ， OD1 = CD1 - OC = 3 ，

13
由勾股定理得： AD1 = ． 故选： A ．

10．（3 分）抛物线 y = ax2 + bx + c 交 x 轴于 A(-1, 0) ， B(3, 0) ，交 y 轴的负半轴于C ，顶点
为 D ．下列结论：① 2a + b = 0 ；② 2c < 3b ；③当 m ¹ 1 时，a + b < am2 + bm ；④当DABD 是等腰直角三角形时，则 a = 1 ；⑤当 DABC 是等腰三角形时，a 的值有 3 个．其中正确的有(
2
) 个．

A．5 B．4 C．3 D．2
【解答】解：①Q二次函数与 x 轴交于点 A(-1, 0) 、 B(3, 0) ．

\二次函数的对称轴为直线 x = (-1) + 3 = 1 ，即- b
= 1，

\ 2a + b = 0 ． 故①正确；
2 2a

②Q二次函数 y = ax2 + bx + c 与 x 轴交于点 A(-1, 0) 、 B(3, 0) ．

\ a - b + c = 0 ， 9a + 3b + c = 0 ．
又Q b = -2a ．
\ 3b = -6a ， a - (-2a) + c = 0 ．
\3b = -6a ， 2c = -6a ．
\ 2c = 3b ． 故②错误；

③Q抛物线开口向上，对称轴是直线 x = 1 ．
\ x = 1 时，二次函数有最小值．
\ m ¹ 1 时， a + b + c < am2 + bm + c ． 即 a + b < am2 + bm ．
故③正确；

④Q AD = BD ， AB = 4 ， DABD 是等腰直角三角形．
\ AD2 + BD2 = 42 ． 解得， AD2 = 8 ．
设点 D 坐标为(1, y) ．

则[1 - (-1)]2 + y2 = AD2 ． 解得 y = ±2 ．
Q点 D 在 x 轴下方．
\点 D 为(1, -2) ．
Q二次函数的顶点 D 为(1, -2) ，过点 A(-1, 0) ． 设二次函数解析式为 y = a(x -1)2 - 2 ．
\0 = a(-1 -1)2 - 2 ．
解得 a = 1 ．
2
故④正确；

⑤由图象可得， AC ¹ BC ．
故DABC 是等腰三角形时， a 的值有 2 个．（故⑤错误）故①③④正确，②⑤错误．
故选： C ．
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）

11．（3 分）方程 x2 - 9 = 0 的解是 x = ±3 ．
【解答】解： x2 - 9 = 0 即(x + 3)(x - 3) = 0 ，所以 x = 3 或 x = -3 ． 故答案为： x = ±3 ．

12．（3 分）从 1， -18 ，6 中任取两个不同的数分别作为点的横纵坐标，点在第二象限的概
率为 1 ．
3
【解答】解：根据题意画图如下：

Q共有 6 种等可能的结果，该点在第二象限的有 2 种情况，
\该点在第二象限的概率是 2 = 1 ．
6 3
故答案为： 1 ．
3
13．（3 分）圆锥的母线长为9cm ，底面圆的周长为6p cm ，那么这个圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是 120° ．
【解答】解：设这个圆锥的侧面展开图的圆心角为 n° ，
根据题意得6p= n ´p´ 9 ，
180
解得 n = 120 ，
所以这个圆锥的侧面展开图的圆心角为120° ． 故答案为120° ．
14．（3 分）如图，菱形OABC 的顶点 A 的坐标为(3, 4) ，顶点C 在 x 轴的正半轴上，反比例

函数 y = k (x > 0) 的图象经过顶点 B ，则反比例函数的表达式为
x

【解答】解：Q A 的坐标为(3, 4) ，
y = 32 (x > 0) ．

x

32 + 42
\OA = = 5 ，

Q四边形OABC 为菱形，
\ AB = OA = 5 ， AB / /OC ，

\ B(8, 4) ，
把 B(8, 4) 代入 y = k 得 k = 8 ´ 4 = 32 ，
x
\反比例函数的表达式为 y = 32 (x > 0) ．
x
故答案为 y = 32 (x > 0) ．
x
15．（3 分）如图，DABC 的周长为 8，eO 与 BC 相切于点 D ，与 AC 的延长线相切于点 E ，与 AB 的延长线相切于点 F ，则 AF 的长为 4 ．
【解答】解：Q AB 、 AC 的延长线与圆分别相切于点 E 、 F ，
\ AF = AE ，
Q圆O 与 BC 相切于点 D ，
\CE = CD ， BF = BD ，
\ BC = DC + BD = CE + BF ，
QDABC 的周长等于 8，
\ AB + AC + BC = 8 ，
\ AB + AC + CE + BF = 8 ，
\ AF + AE = 8 ，
\ AF = 4 ． 故答案为 4
16．（3 分）如图， AB 为eO 的直径，C 为eO 上一点，其中 AB = 4 ，ÐAOC = 120° ， P 为

7
eO 上的动点，连 AP ，取 AP 中点Q ，连接CQ ，则线段CQ 的最大值为 1 + ．

【解答】解：如图，连接OQ ，作CH ^ AB 于 H ．

Q AQ = QP ，
\OQ ^ PA ，
\ÐAQO = 90° ，
\点Q 的运动轨迹为以 AO 为直径的eK ，连接CK ，
当点Q 在CK 的延长线上时， CQ 的值最大（也可以通过CQ„QK + CK 求解）
在RtDOCH 中，QÐCOH = 60° ， OC = 2 ，
3
\OH = 1 OC = 1 ， CH = ，
2

( 3)2 + 22
7
在RtDCKH 中， CK = = ，

7
\CQ 的最大值为1 + ，

7
故答案为：1 + ．

三、解答题（本大题共 9 小题，满分 72 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或计算步骤）
17．（4 分）解方程： x2 - 4x - 7 = 0 ．
【解答】解：移项得： x2 - 4x = 7 ， 配方得： x2 - 4x + 4 = 7 + 4 ，
即(x - 2)2 = 11，

11
开方得： x - 2 = ± ，

11
11
\原方程的解是： x1 = 2 + ， x2 = 2 - ．

18．（4 分）如图，两个圆都以点O 为圆心．求证： AC = BD ．

【解答】证明：过点O 作OE ^ AB 于 E ， 在小eO 中，
QOE ^ AB ，
\ EC = ED ，
在大eO 中，
QOE ^ AB ，
\ EA = EB ，
\ AC = BD ．
19．（6 分）2021 年春开学为防控冠状病毒，学生进校园必须戴口罩，测体温，某校开通了 A 、

B 、C 三条测体温的通道，给进校园的学生测体温．在 3 个通道中，可随机选择其中的一

个通过．
（1） 则该校学生小明进校园时，由 A 通道测体温的概率是 1 ．
3
（2） 用列树状图或表格的方法，求小明和他的同学乐乐进校园时，都是由 A 通道测体温的概率．
【解答】解：（1）Q某校开通了 A 、 B 、C 三条测体温的通道，给进校园的学生测体温，
\该校学生小明进校园时，由 A 通道测体温的概率是 1 ，
3
故答案为： 1 ；
3
（2）画树状图如下：

共有 9 种等可能的结果，小明和他的同学乐乐进校园时，都是由 A 通道测体温的结果有 1

种，
\小明和他的同学乐乐进校园时，都是由 A 通道测体温的概率为 1 ．
9
20．（6 分）如图所示，已知DABC 的三个顶点的坐标分别为 A(-2, 3) ，
B(-6, 0) ， C(-1, 0) ．

（1） 画出DABC 关于点O 的中心对称图形△ A1 B1C1 ；

（2） 将DABC 绕坐标原点O 逆时针旋转90° ，得到△ A2 B2C2 ．画出图形，并直接写出点 A2

的坐标．

【解答】解：（1）如图，△ A1 B1C1 即为所求；

（2）如图，△ A2 B2C2 即为所求，

A2 (-3, -2) ．

21．（8 分）抛物线 y = ax2 + bx + c 上部分点的横坐标 x ，纵坐标 y 的对应值如下表：

x
¼
-2
-1
0
1
2
¼
y
¼
0
-4
-4
0
8
¼
（1） 根据上表填空：
①抛物线与 x 轴的交点坐标是 (-2, 0) 和 ；
②抛物线经过点(-3 ， ) ，对称轴为 ；

（2） 求该抛物线 y = ax2 + bx + c 的解析式．

【解答】解：（1）①抛物线与 x 轴的交点坐标是(-2, 0) 和(1, 0) ；
②抛物线经过点(-3,8) ，对称轴为直线 x = - 1 ；
2
故答案为(-2, 0) ， (1, 0) ；8，直线 x = - 1 ；
2
（2）抛物线 y = a(x + 2)(x - 1) ，
把(0, -4) 代入得 a × 2 × (-1) = -4 ，解得 a = 2 ， 所以抛物线解析式为 y = 2(x + 2)(x - 1) ，
即 y = 2x2 + 2x - 4 ．

22．（10 分）用54m 长的竹栅栏围一个矩形菜园，菜园的一边靠长为 a m 的墙，另三边用竹栅栏围成，且在与墙平行的一边开两扇门，宽度都是1m ，设与墙垂直的一边长为 x m ．
（1） 当 a = 41 时，矩形菜园面积是320m2 ，求 x ；

（2） 当 a 足够大时，问矩形菜园的面积能否达到 400m2 ？

【解答】解：设与墙垂直的一边长为 x m ，则与墙平行的一边长为(54 - 2 x + 2)m ．
（1）依题意得： x(54 - 2x + 2) = 320 ， 整理得： x2 - 28x + 160 = 0 ，
解得： x1 = 8 ， x2 = 20 ．

当 x = 8 时， 56 - 2x = 40 < 41 ，符合题意； 当 x = 20 时， 56 - 2x = 16 < 41 ，符合题意． 答： x 的值为 8 或 20．
（2）令 x(54 - 2x + 2) = 400 ①，
整理得： x2 - 28x + 200 = 0 ．
Q△ = (-28)2 - 4 ´1´ 200 = -16 < 0 ，
\方程①无实数根，
\矩形菜园的面积不能达到 400m2 ．
23．（10 分）如图，在平面直角坐标系中，点 A(-3, 0) ， B(0, -4) ，把线段 AB 绕点 A 逆时针
旋转90° 到 AC ， AC 交 y 轴于点 D ，反比例函数 y = k (x > 0) 的图象经过点C ．
x

（1） 求 k 的值；
（2） 连接 BC ，若点 P 在反比例函数 y = k (x > 0) 的图象上，且 S
x


DBDP


= SDABC


，求点 P 的坐

标．

【解答】解：（1）作CE ^ x 轴，垂足为 E ，如图 1，
Q AB 旋转到 AC ，
\ÐCAB = ÐAEC = 90° ， AB = AC ，
\ÐCAE + ÐBAO = ÐCAE + ÐACE = 90° ，
\ÐBAO = ÐACE ， 在DAOB 与DCEA 中，
ìÐAOB = ÐCEA
í
ïÐBAO = ÐACE ，
î
ï AB = CA

\DAOB @ DCEA(AAS ) ，
\ OB = EA ， AO = CE ，
Q点 A 坐标(-3, 0) ，点 B 坐标(0, -4) ，
\ AE = OB = 4 ， CE = AO = 3 ，
\OE = AE - AO = 4 - 3 = 1，
\点C 坐标为(1, 3) ，
Q反比例函数图象经过点C ，
\ k = 1´ 3 = 3 ；
（2）设 AC 解析式为 y = kx + b(k ¹ 0) ，
Q A 坐标(-3, 0) ，点C 坐标(1, 3) ，
ìk = 3
\ ì-3k + b = 0 ，解得 ï 4 ，

î
ík + b = 3
í
ï
ïb = 9
î 4

\直线 AC 解析式为 y = 3 x + 9 ，
4 4

令 x = 0 ，则 y = 9 ，
4
(0, )
则点 D 坐标 9 ，
4
Q点 A 坐标(-3, 0) ，点 B 坐标(0, -4) ，

\ AB =

\ SDABC
= 5 ，
32 + 42
= 1 ´ 5 ´ 5 = 25 ，
2 2

(m, )
设点 P 坐标为 3 ，
m

Q SDBDP = SDABC ，
\ 1 ´ ( 9 + 4) ´ m = 25 ，
2 4 2
解得 m = 4 ，
(4, )
\点 P 坐标为 3 ．
4
24．（12 分）如图，eO 的半径为 1，A ，P ，B ，C 是eO 上的四个点，ÐAPC = ÐCPB = 60° ．
（1） 判断DABC 的形状： 等边三角形 ；
（2） 试探究线段 PA ， PB ， PC 之间的数量关系，并证明你的结论；
（3） 当点 P 位于 ¶AB 的什么位置时，四边形 APBC 的面积最大？求出最大面积．

【解答】证明：（1） DABC 是等边三角形．

证明如下：在eO 中
QÐBAC 与ÐCPB 是 B¶C 所对的圆周角， ÐABC 与ÐAPC 是 ¶AC 所对的圆周角，
\ÐBAC = ÐCPB ， ÐABC = ÐAPC ， 又QÐAPC = ÐCPB = 60° ，
\ÐABC = ÐBAC = 60° ，
\DABC 为等边三角形；
（2） 在 PC 上截取 PD = AP ，连接 AD ，如图 1， 又QÐAPC = 60° ，
\DAPD 是等边三角形，
\ AD = AP = PD ， ÐADP = 60° ，即ÐADC = 120° ． 又QÐAPB = ÐAPC + ÐBPC = 120° ，
\ÐADC = ÐAPB ， 在DAPB 和DADC 中，
ìÐAPB = ÐADC
í
ïÐABP = ÐACD ，
î
ï AP = AD

\DAPB @ DADC (AAS ) ，
\ BP = CD ， 又Q PD = AP ，
\CP = BP + AP ；
（3） 当点 P 为 ¶AB 的中点时，四边形 APBC 的面积最大．理由如下，如图 2，过点 P 作 PE ^ AB ，垂足为 E ．
过点C 作CF ^ AB ，垂足为 F ．

Q SDAPB
= 1 AB × PE ， S
2


DABC
= 1 AB × CF ，
2

\ S四边形APBC
= 1 AB × ( PE + CF ) ，
2

当点 P 为 ¶AB 的中点时， PE + CF = PC ， PC 为eO 的直径，
\此时四边形 APBC 的面积最大． 又QeO 的半径为 1，

3
\其内接正三角形的边长 AB = ，

\ S四边形APBC
= 1 ´ 2 ´ = ．
3
3
2

25．（12 分）如图，已知抛物线与 x 轴交于点 A(-2, 0) ， B(4, 0) ，与 y 轴交于点C(0,8) ．
（1） 求抛物线的解析式及其顶点 D 的坐标；

（2） 设直线CD 交 x 轴于点 E ．在线段OB 的垂直平分线上是否存在点 P ，使得点 P 到直线 CD 的距离等于点 P 到原点O 的距离？如果存在，求出点 P 的坐标；如果不存在， 请说明理由；
（3） 过点 B 作 x 轴的垂线，交直线CD 于点 F ，将抛物线沿其对称轴平移，使抛物线与线段 EF 总有公共点．试探究：抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？

【解答】解：（1）设抛物线解析式为 y = a(x + 2)(x - 4) ．把C(0,8) 代入，得 a = -1 ．
\ y = -x2 + 2x + 8 = -(x -1)2 + 9 ，

顶点 D(1,9) ；（2 分）

（2）假设满足条件的点 P 存在．依题意设 P(2,t) ． 由C(0,8) ， D(1,9) 求得直线CD 的解析式为 y = x + 8 ， 它与 x 轴的夹角为 45° ．
设OB 的中垂线交CD 于 H ，则 H (2,10) ．

则 PH =|10 - t | ，点 P 到CD 的距离为 d =
2 PH =
2 |10 - t | ．

又 PO =

t 2 + 4
\

=
t2 + 22
t2 + 4
= 2 |10 - t | ．
2
2 2

．（4 分）

3
平方并整理得： t 2 + 20t - 92 = 0 ，解之得t = -10 ± 8 ．

\存在满足条件的点 P ， P 的坐标为(2, -10 ± 8 3) ．（6 分）

（3）由上求得 E(-8, 0) ， F (4,12) ．
①若抛物线向上平移，可设解析式为 y = -x2 + 2x + 8 + m(m > 0) ． 当 x = -8 时， y = -72 + m ．
当 x = 4 时， y = m ．
\-72 + m„0 或 m„12 ．
\0 < m„72 ．（8 分）

②若抛物线向下平移，可设解析式为 y = -x2 + 2x + 8 - m(m > 0) ．

ì y = -x2 + 2x + 8 - m
î
由í y = x + 8 ，

有-x2 + x - m = 0 ．
\△ = 1 - 4m…0 ，
\ m„ 1 ．
4
\向上最多可平移 72 个单位长，向下最多可平移 1 个单位长．（10 分）
4