2022-2023学年广东省广州市荔湾区广雅中学九年级（上）期末数学试卷2（含答案）.docx

2022-2023 学年广东省广州市荔湾区广雅中学九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。）

1．（3 分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )

A． B． C． D．

2．（3 分）下列事件不是随机事件的是( )

A．十字路口遇到红灯B．掷一枚硬币正面朝上
C．打开电视，正在播放新闻节目

D．在只装有红球的袋中摸出 1 个球，是红球
3．（3 分）点 A(-1, -2) 关于坐标原点O 对称的点 A¢ 的坐标为( )

第 9页（共 24页）

A． (-1, 2)
B． (2, -1)

C． (2,3) D． (1, 2)

4．（3 分）正六边形的中心角的度数是( )

A． 30° B． 45° C． 60° D． 90°

5．（3 分）将二次函数 y = (x - 2)2 + 2 的图象向上平移 3 个单位长度，再向右平移 3 个单位长度，得到的抛物线的解析式为( )

A． y = (x + 3)2 + 5
B． y = (x - 5)2 -1
C． y = (x - 5)2 + 5
D． y = (x + 5)2 - 5

6．（3 分）已知圆锥的底面半径为 4cm ，母线长为6cm ，则圆锥的侧面积为( )

A. 36pcm2
B. 24pcm2
C. 6pcm2
D. 2pcm2

7．（3 分）如图，已知 A ，B ，C 是eO 上的三点，ÐBOC = 100° ，则ÐBAC 的度数为( )
A． 30° B． 40° C． 45° D． 50°

8．（3 分）如图，将 DABC 绕着点C 顺时针旋转后得到△ A¢B¢C¢ ．若ÐA = 40° ，ÐB¢ = 110° ，则ÐBCA 的度数是( )

A． 90° B． 80° C． 50° D． 30°
9．（3 分）下列各点中，在反比例函数 y = 8 的图像上的点是( )
x
A． (-1,8) B． (1, 7) C． (2, 4) D． (2, -4)

10．（3 分）圆外一点 P 到圆上最远的距离是 7，最近距离是 3，则圆的半径是( )

A．4 B．5 C．2 D．2 或 5

二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分.）

11．（3 分）如图，是某射手在相同条件下进行射击训练的结果统计图，该射手击中靶心的概率的估计值为 ．

12．（3 分）在平面直角坐标系中，已知点 A(a, -3) 与点 B(2, b) 关于原点对称，则 ab = ．

13．（3 分）抛物线 y = x2 - 4x + 2 的对称轴是 ．

14．（3 分）如图，在eO 中，直径 AB 垂直弦CD 于点 E ，若 AE = 4 ， OE = 1 ，则CD 的长为 ．

15．（3 分）如图，四边形 ABCD 为eO 的内接四边形，若ÐADC = 85° ，则ÐB = ．

16．（3 分）二次函数 y = 2x2 - (m -1)x - 2m + 3 中，已知当 x > 2 时，函数值随自变量的增加而增加，则 m 的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共 9 小题，共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

17．（4 分）如图，在平面直角坐标系中， DABC 的三个顶点都在格点上，画出DABC 绕原点O 旋转180° 后的△ A1 B1C1 ，并写出 A1 的坐标．

18．（4 分）在反比例函数 y = 5 - k 图象的每一条曲线上， y 随 x 的增大而减小．
x
（1） 函数经过哪些象限？

（2） 求 k 的取值范围．

19．（6 分）如图， OA ， OB 为eO 的半径， AC 为eO 的切线，连接 AB ．若ÐB = 25° ，求ÐBAC 的度数．

20．（6 分）一辆汽车准备从甲地开往乙地．若平均速度为80km / h ，则需要5h 到达．

（1） 写出汽车从甲地到乙地所用时间t 与平均速度v 之间的关系式；
（2） 如果需要8h 到达，那么平均速度是多少？

21．（8 分）疫情防控期间，学校组织师生进行全员核酸检测．学校共设置了 A ， B ， C 三个检测通道，所有师生可随机选择其中的一条通道检测，某天早晨，甲，乙两名同学进行核 酸检测．
求：（1）甲同学在 A 通道进行检测的概率是 ；

（2）请用“画树状图”或“列表”的方法，求甲，乙两位同学分别从不同的通道检测的概 率．

22．（10 分）王老师对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进的高度 y(m) 与水平
距离 x(m) 之间的关系可以表示为 y = - 1 (x - 4)2 + 3 ，铅球从出手到落地的路线如图所示．
12
（1） 求铅球出手点的离地面的高度OA 为多少米；

（2） 求铅球推出的水平距离OB 是多少米？

23．（10 分）如图 1，在DABC 中， AB = AC ， ÐBAC = 90° ， D 、 E 分别是 AB 、 AC 边的中点．将DABC 绕点 A 顺时针旋转a角(0° < a< 180°) ，得到△ AB¢C¢ （如图2) ．
（1） 探究 DB¢ 与 EC¢ 的数量关系，并给予证明；
（2） 当 DB¢ / / AE 时，试求旋转角a的度数．

24．（12 分）已知抛物线 y = -x2 + bx + c(b 、c 为常数），若此抛物线与某直线相交于 A(-1, 0) ，

C(2, 3) 两点，与 y 轴交于点 N ，其顶点为 D ．

（1） 求抛物线的函数解析式和顶点 D 的坐标；

（2） 若点 P 是抛物线上位于直线 AC 上方的一个动点，求DAPC 的面积的最大值及此时点 P
的坐标；

（3） 点 H (n,t) 为抛物线上的一个动点， H 关于 y 轴的对称点为 H1 ，当点 H1 落在第二象限

内， H1 A2 取得最小值时，求 n 的值．

25．（12 分）如图，CD 是DABC 的外角ÐECB 的角平分线，与 DABC 的外接圆eO 交于点 D ，
ÐECB = 120° ．
（1） 求 ¶AB 所对圆心角的度数；
（2） 连 DB ， DA ，求证： DA = DB ；
（3） 探究线段CD ， CA ， CB 之间的数量关系，并证明你的结论．

第 24页（共 24页）

2022-2023 学年广东省广州市荔湾区广雅中学九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．（3 分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )

A． B． C． D．

【解答】解： A ．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

B ．既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意；

C ．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； D ．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意． 故选： B ．
2．（3 分）下列事件不是随机事件的是( )

A．十字路口遇到红灯B．掷一枚硬币正面朝上
C．打开电视，正在播放新闻节目

D．在只装有红球的袋中摸出 1 个球，是红球

【解答】解： A 、是随机事件，故本选项不符合题意；

B 、是随机事件，故本选项不符合题意；

C 、是随机事件，故本选项不符合题意；
D 、是必然事件，不是随机事件，故本选项符合题意； 故选： D ．
3．（3 分）点 A(-1, -2) 关于坐标原点O 对称的点 A¢ 的坐标为( )

A． (-1, 2)
B． (2, -1)

C． (2,3) D． (1, 2)

【解答】解：点 A(-1, -2) 关于坐标原点O 对称的点 A¢ 的坐标为： (1, 2) ， 故选： D ．

4．（3 分）正六边形的中心角的度数是( )

A． 30° B． 45° C． 60° D． 90°
【解答】解：正六边形的中心角的度数= 360° ¸ 6 = 60° ， 故选： C ．
5．（3 分）将二次函数 y = (x - 2)2 + 2 的图象向上平移 3 个单位长度，再向右平移 3 个单位长度，得到的抛物线的解析式为( )

A． y = (x + 3)2 + 5
B． y = (x - 5)2 -1
C． y = (x - 5)2 + 5
D． y = (x + 5)2 - 5

【解答】解：将二次函数 y = (x - 2)2 + 2 的图象向上平移 3 个单位长度，再向右平移 3 个单
位长度，得到的抛物线相应的函数表达式为： y = (x - 2 - 3)2 + 2 + 3 ，即 y = (x - 5)2 + 5 ， 故选： C ．
6．（3 分）已知圆锥的底面半径为 4cm ，母线长为6cm ，则圆锥的侧面积为( )

A. 36pcm2
B. 24pcm2
C. 6pcm2
D. 2pcm2

【解答】解：圆锥的侧面积= 1 ´ 2p´ 4 ´ 6 = 24p(cm2 ) ．
2
故选： B ．
7．（3 分）如图，已知 A ，B ，C 是eO 上的三点，ÐBOC = 100° ，则ÐBAC 的度数为( )
A． 30° B． 40° C． 45° D． 50°
【解答】解：Q A ， B ， C 是eO 上的三点， ÐBOC = 100° ，
\ÐBAC = 1 ÐBOC = 1 ´100° = 50° ，
2 2
故选： D ．
8．（3 分）如图，将 DABC 绕着点C 顺时针旋转后得到△ A¢B¢C¢ ．若ÐA = 40° ，ÐB¢ = 110° ，则ÐBCA 的度数是( )

A． 90° B． 80° C． 50° D． 30°
【解答】解：由题意可得DABC @ △ A¢B¢C ，
\ÐB = ÐB¢ = 110° ，
\ÐC = 180° - ÐA - ÐB
= 180° - 40° - 110°
= 30° ，
故选： D ．
9．（3 分）下列各点中，在反比例函数 y = 8 的图像上的点是( )
x
A． (-1,8) B． (1, 7) C． (2, 4) D． (2, -4)
【解答】解：Q反比例函数 y = 8 ，
x
\ xy = 8 ，
A 、Q-1´ 8 = -8 ¹ 8 ，
\点(-1,8) 不在反比例函数 y = 8 的图象上，故本选项不符合题意；
x
B 、Q1´ 7 = 7 ¹ 8 ，
\点(1, 7) 不在反比例函数 y = 8 的图象上，故本选项不符合题意；
x
C 、Q 2 ´ 4 = 8 ，
\点(2, 4) 在反比例函数 y = 8 的图象上，故本选项符合题意；
x
D 、Q 2 ´ (-4) = -8 ¹ 8 ，
\点(2, -4) 不在反比例函数 y = 8 的图象上，故本选项不符合题意；
x
故选： C ．
10．（3 分）圆外一点 P 到圆上最远的距离是 7，最近距离是 3，则圆的半径是( )

A．4 B．5 C．2 D．2 或 5
【解答】解：Q圆外一点 P 到圆上最远的距离是 7，最近距离是 3，
\圆的直径为7 - 3 = 4 ，

\半径是 2， 故选： C ．
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分.）

11．（3 分）如图，是某射手在相同条件下进行射击训练的结果统计图，该射手击中靶心的概率的估计值为 0.600 ．

【解答】解：依题意得击中靶心频率逐渐稳定在 0.600 附近， 估计这名射手射击一次，击中靶心的概率约为 0.600．
故答案为：0.600．

12．（3 分）在平面直角坐标系中，已知点 A(a, -3) 与点 B(2, b) 关于原点对称，则 ab = -8 ．
【解答】解：Q点 A(a, -3) 与点 B(2, b) 关于原点对称，
\ a = -2 ， b = -(-3) = 3 ， 则 ab = (-2)3 ．
故答案为： -8 ．

13．（3 分）抛物线 y = x2 - 4x + 2 的对称轴是 直线 x = 2 ．

【解答】解：Q二次函数可化为 y = (x - 2)2 - 2 ，
\对称轴是直线 x = 2 ， 故答案为：直线 x = 2 ．
14．（3 分）如图，在eO 中，直径 AB 垂直弦CD 于点 E ，若 AE = 4 ， OE = 1 ，则CD 的长

2
为 4 ．

【解答】解：连接OC ，

Q AE = 4 ， OE = 1 ，
32 -12
2
\OC = OA = AE - OE = 4 - 1 = 3 ，

OC2 - OE2
在RtDOCE 中， CE =
Q AB ^ CD ，
= = 2 ，

2
\CD = 2CE = 4 ，

2
故答案为： 4 ．

15．（3 分）如图，四边形 ABCD 为eO 的内接四边形，若ÐADC = 85° ，则ÐB = 95° ．

【解答】解：Q四边形 ABCD 为eO 的内接四边形，
\ÐADC + ÐB = 180° ，
QÐADC = 85° ，
\ÐB = 180° - ÐADC = 180° - 85° = 95° ， 故答案为： 95° ．
16．（3 分）二次函数 y = 2x2 - (m -1)x - 2m + 3 中，已知当 x > 2 时，函数值随自变量的增加而增加，则 m 的取值范围是 m„9 ．
【解答】解：Q 当 x > 2 时，函数值随自变量的增加而增加，且二次函数的二次项系数
a = 2 > 0 ，即开口向上，
\ x = 2 在对称轴的右边，
即对称轴 x = - b „2 ，
2a
即- -(m - 1) „2 ，
4

解得 m„9 ．
三、解答题（本大题共 9 小题，共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

17．（4 分）如图，在平面直角坐标系中， DABC 的三个顶点都在格点上，画出DABC 绕原点O 旋转180° 后的△ A1 B1C1 ，并写出 A1 的坐标．

【解答】解：如图，△ A1 B1C1 为所作，点 A1 的坐标为(-2, -4) ．

18．（4 分）在反比例函数 y = 5 - k 图象的每一条曲线上， y 随 x 的增大而减小．
x
（1） 函数经过哪些象限？

（2） 求 k 的取值范围．
【解答】解：（1）Q反比例函数的图象上， y 随 x 的增大而减小

\函数经过第一、三象限；
（2）Q函数经过第一、三象限
\5 - k > 0
解得 k < 5 ．
19．（6 分）如图， OA ， OB 为eO 的半径， AC 为eO 的切线，连接 AB ．若ÐB = 25° ，求ÐBAC 的度数．
【解答】解：Q AC 为eO 的切线，
\ÐOAC = 90° ，
Q OA = OB ， ÐB = 25° ，
\ÐOAB = ÐB = 25° ．
\ÐBAC = ÐOAC - ÐOAB
= 90° - 25°
= 65° ．
20．（6 分）一辆汽车准备从甲地开往乙地．若平均速度为80km / h ，则需要5h 到达．

（1） 写出汽车从甲地到乙地所用时间t 与平均速度v 之间的关系式；
（2） 如果需要8h 到达，那么平均速度是多少？
【解答】解：（1）Q平均速度为80km / h ，则需要5h 到达，
\甲地到乙地的距离为80 ´ 5 = 400(km) ，
\ vt = 400 ，
\汽车从甲地到乙地所用时间t 与平均速度 v 之间的关系式t = 400 ；
v
（2）当t = 8 时， v = 400 = 50 ，
8
\平均速度是50km / h ．
21．（8 分）疫情防控期间，学校组织师生进行全员核酸检测．学校共设置了 A ， B ， C 三个检测通道，所有师生可随机选择其中的一条通道检测，某天早晨，甲，乙两名同学进行核 酸检测．

求：（1）甲同学在 A 通道进行检测的概率是 1 ；
3
（2）请用“画树状图”或“列表”的方法，求甲，乙两位同学分别从不同的通道检测的概 率．
【解答】解：（1）甲同学在 A 通道进行检测的概率是 1 ，
3
故答案为： 1 ；
3
（2）画树状图如下：

共有 9 种等可能的结果，其中甲，乙两位同学分别从不同的通道检测的结果有 6 种，
\甲，乙两位同学分别从不同的通道检测的概率为 6 = 2 ．
9 3
22．（10 分）王老师对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进的高度 y(m) 与水平
距离 x(m) 之间的关系可以表示为 y = - 1 (x - 4)2 + 3 ，铅球从出手到落地的路线如图所示．
12
（1） 求铅球出手点的离地面的高度OA 为多少米；

（2） 求铅球推出的水平距离OB 是多少米？
【解答】解：（1）在 y = - 1 (x - 4)2 + 3 中，令 x = 0 得 y = - 1 ´16 + 3 = 5 ，

12
\铅球出手点的离地面的高度OA 为 5 米；
3
（2）在 y = - 1 (x - 4)2 + 3 中，令 y = 0 得；
12
- 1 (x - 4)2 + 3 = 0 ，
12
解得 x = -2( （舍去）或 x = 10 ，
\铅球推出的水平距离OB 是 10 米．
12 3

23．（10 分）如图 1，在DABC 中， AB = AC ， ÐBAC = 90° ， D 、 E 分别是 AB 、 AC 边的

中点．将DABC 绕点 A 顺时针旋转a角(0° < a< 180°) ，得到△ AB¢C¢ （如图2) ．
（1） 探究 DB¢ 与 EC¢ 的数量关系，并给予证明；
（2） 当 DB¢ / / AE 时，试求旋转角a的度数．
【解答】解：（1） DB¢ = EC¢ ．理由如下：
Q AB = AC ， ÐBAC = 90° ， D 、 E 分别是 AB 、 AC 边的中点，
\ AD = AE = 1 AB ，
2
QDABC 绕点 A 顺时针旋转a角(0° < a< 180°) ，得到△ AB¢C¢ ，
\ÐB¢AD = ÐC¢AE = a， AB¢ = AB ， AC¢ = AC ，
\ AB¢ = AC¢ ，
在△ B¢AD 和△ C¢AE 中，

ì AB¢ = AC¢
í
Q ïÐB¢AD = ÐC¢AE ，
î
ï AD = AE

\△ B¢AD @ △ C¢AE(SAS ) ，
\ DB¢ = EC¢ ；
（2）Q DB¢ / / AE ，
\ÐB¢DA = ÐDAE = 90° ， 在 Rt △ B¢DA 中，
Q AD = 1 AB = 1 AB¢ ，
2 2
\ÐAB¢D = 30° ，
\ÐB¢AD = 90° - 30° = 60° ， 即旋转角a的度数为60° ．
24．（12 分）已知抛物线 y = -x2 + bx + c(b 、c 为常数），若此抛物线与某直线相交于 A(-1, 0) ，

C(2, 3) 两点，与 y 轴交于点 N ，其顶点为 D ．

（1） 求抛物线的函数解析式和顶点 D 的坐标；

（2） 若点 P 是抛物线上位于直线 AC 上方的一个动点，求DAPC 的面积的最大值及此时点 P
的坐标；

（3） 点 H (n,t) 为抛物线上的一个动点， H 关于 y 轴的对称点为 H1 ，当点 H1 落在第二象限

1
内， H A2 取得最小值时，求 n 的值．

【解答】解：（1）将 A(-1, 0) ， C(2, 3) 两点代入 y = -x2 + bx + c ，

í-4 + 2b + c = 3
\ ì-1 - b + c = 0 ，
î

íc = 3
解得ìb = 2 ，
î

\ y = -x2 + 2x + 3 ，

Q y = -x2 + 2x + 3 = -(x -1)2 + 4 ，

\ D(1, 4) ；
（2） 设 AC 的直线解析式为 y = kx + b ，

í2k + b = 3
\ ì-k + b = 0 ，
î

íb = 1
解得ìk = 1 ，
î

\ y = x + 1 ，

过点 P 作 PG / / y 轴交 AC 于点G ， 设 P(t, -t2 + 2t + 3) ，则G(t,t + 1) ，
\ PG = -t 2 + t + 2 ，

\ SDPAC
= 1 ´ 3 ´ (-t 2 + t + 2) = - 3 (t - 1 )2 + 27 ，
2 2 2 8

\当t = 1 时， DPAC 的面积最大值为 27 ，
2 8
此时 P( 1 ， 15) ；
2 4

（3） 点 H (n,t) 为抛物线上的一个动点，点 H1 与 H 点关于 y 轴对称，

1 1
\ H (-n, t) ， H 在抛物线 y = -x2 - 2x + 3 上，

\t = -n2 - 2n + 3 ，
\ H A2 = (n + 1)2 + t 2 = t 2 - t + 4 = (t - 1 )2 + 15 ，

1 2 4
\当t = 1 时， H A2 有最小值，

2 1
\ 1 = -n2 + 2n + 3 ，
2

解得 n = 1 +
14 ．
2

25．（12 分）如图，CD 是DABC 的外角ÐECB 的角平分线，与 DABC 的外接圆eO 交于点 D ，
ÐECB = 120° ．

（1） 求 ¶AB 所对圆心角的度数；
（2） 连 DB ， DA ，求证： DA = DB ；
（3） 探究线段CD ， CA ， CB 之间的数量关系，并证明你的结论．

【解答】（1）解：连接OA ， OB ，如图：

Q ÐECB = 120° ，
\ÐACB = 60° ，
\ÐADB = ÐACB = 60° ，
\ÐAOB = 2ÐADB = 2 ´ 60° = 120° ，
\ ¶AB 所对圆心角的度数是120° ；
（2） 证明：Q CD 是DABC 的外角ÐECB 的平分线，
\ÐDCB = 1 ÐECB = 1 ´120° = 60° ，
2 2
\ÐDAB = ÐDCB = 60° ， 由（1）知ÐADB = 60° ，
\ÐADB = ÐDAB = 60° ，
\DABD 是等边三角形，
\ DA = DB ；
（3） 解： CB = CD + CA ，理由如下：
如图，延长CD 至 F ，使 DF = CA ，连接 BF ，
Q四边形 ABCD 是eO 的内接四边形，
\ÐCAB + ÐCDB = 180° ，
QÐCDB + ÐFDB = 180° ，
\ÐCAB = ÐFDB ，
由（2）知DABD 是等边三角形，
\ AB = BD ，
Q CA = DF ，
\DFDB @ DCAB(SAS ) ，
\ÐABC = ÐDBF ， BC = BF ，

\ÐCBF = ÐABD = 60° ，
\DBCF 是等边三角形，
\CB = CF = CD + DF = CD + CA ．