2022-2023学年广东省广州市海珠区中山大学附中九年级（上）期末数学试卷（含答案）.docx

2022-2023 学年广东省广州市海珠区中山大学附中九年级（上）期末数学试卷
一．选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）
1．（3 分）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是( )

A．等边三角形 B．圆 C．矩形 D．平行四边形2．（3 分）抛物线 y = 2(x - 4)2 + 3 顶点坐标是( )

第 9页（共 28页）

A． (4,3) B． (-4, 3)
C． (4, -3)
D． (3, 4)

3．（3 分）下列事件是必然事件的是( )

A. 太阳从东方升起

B. 汽车累计行驶 1 万千米，从未出现故障

C. 姚明在罚球线上投篮一次，投中 D．经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯
4．（3 分）已知 x = 1 是关于 x 的一元二次方程 x2 + mx = 0 的一个根，则 m 的值是( )

A． -1
B．0 C．1 D．2

5．（3 分）已知反比例函数图象经过点(-2, 3) 当 y < 3 时， x 的取值范围是( )

A. x < -2
B. x < -2 或 x > 0
C. x > -2
D. x > 0

6．（3 分）如图，在平面直角坐标系中，DABC 与DDEF 是以原点O 为位似中心的位似图形，若 A(-2, 0) ， D(3, 0) ， BC = 3 ，则 EF 的长为( )

A．2 B．4.5 C．4 D．6

7．（3 分）如图，AB 是半圆O 的直径，以弦 AC 为折痕折叠 ¶AC 后，恰好经过点O ，则ÐAOC

等于( )

A．120° B．125° C．130° D．145°

8．（3 分）如图，点 D 、E 分别在 AC 、AB 上，ÐAED = ÐC ，且 BC = 2DE ，则 S四边形BEDC : SDABC

的值为( )

A．1: 4 B． 3 : 4 C． 2 : 3 D．1: 2
9．（3 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 4， ÐBCM = 30° ，点 E 是直线CM 上一个动点，连接 BE ，线段 BE 绕点 B 顺时针旋转45° 得到 BF ，连接 DF ，则线段 DF 长度的最小值等于( )

2
A． 4 - 4
B． 2 - 2
C． 2 - 2
D． 2 -

2
6
3
6
3
10．（3 分）如图，在eO 中， AE 是直径，连接 BE ，若 AB = 8 ，OC ^ AB 于点 D ，CD = 2 ，则 BE 的长是( )
A．5 B．6 C．7 D．8

二．填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）
11．（3 分）平面直角坐标系中，一点 P(-2, 3) 关于原点的对称点 P¢ 的坐标是 ．
12．（3 分）圆锥的底面半径为 2，母线长为 6，则它的侧面积为 ．

1
13．（3 分）已知二次函数 y = ax2 + bx + c(a > 0) 图象的对称轴为直线 x = 1 ，且经过点(-1, y ) ，

(0, y2 ) ，则 y1 y2 （填“ > ”“ < ”或“ = ” )

14．（3 分）在某一时刻，测得一根高为1.2m 的竹竿的影长为3m ，同时测得一栋楼的影长为

60m ，则这栋楼的高度为 m ．
15．（3 分）在平面直角坐标系中，以点(-3, 2) 为圆心，3 为半径的圆与 y 轴的位置关系为 ．
16．（3 分）如图，AB 是半圆直径，半径OC ^ AB 于点O ，AD 平分ÐCAB 交弧 BC 于点 D ，连接CD 、OD ，给出以下四个结论：① AC / /OD ；② CE = OE ；③ DODE∽DADO ；④ 2CD2 = CEgAB ．其中正确结论的序号是 ．

三．解答题（本大题共 9 小题，满分 72 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（4 分）解方程： (2x -1)2 = 4 ．

18．（4 分）如图，在平面直角坐标系中，DABC 三个顶点的坐标分别为 A(-2, 2) ，B(-3, -2) ，
C(-1, 0) ．
（1） 在平面直角坐标系中，点 P 的坐标为(1, -1) ，请在平面直角坐标系中画出DABC 关于点 P 成中心对称的新图形△ A1B1C1 ．
（2） 请直接写出以O 为位似中心，△ A2 B2C2 与DABC 位似比为 2 :1 时顶点 A2 的坐标 ．

19．（6 分）如图，正比例函数 y = x 的图象与反比例函数 y = k (x > 0) 的图象交于点 A(1, a) ，
x
在DABC 中， ÐACB = 90° ， CA = CB ，点C 坐标为(-2, 0) ．
（1） 求 k 的值；
（2） 求 AB 所在直线的解析式．

20．（6 分）“双减”政策下，为了切实提高课后服务质量，红星中学开展了丰富多彩的课后服务活动，设置了体育活动、劳动技能、经典阅读、科普活动四大板块课程（依次记为 A ， B ， C ， D) ．若该校小慧和小丽随机选择一个板块课程．
（1） 小慧选科普活动课程的概率是 ；

（2） 用画树状图或列表的方法，求小慧和小丽选同一个板块课程的概率．

21．（8 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2 + 2mx + m2 + m = 0 有实数根．
（1） 求 m 的取值范围；

（2） 若该方程的两个实数根分别为 x 、 x ，且 x2 + x2 = 12 ，求 m 的值．
1 2 1 2

22．（10 分）如图，在RtDABC 中， ÐACB = 90° ， CD 是斜边 AB 上的中线，以CD 为直径
的eO 分别交 AC 、 BC 于点 M 、 N ，过点 N 作 NE ^ AB ，垂足为点 E ．
（1） 若eO 的半径为13 ， AC = 5 ，求 BN 的长；
4
（2） 求证： NE 是eO 的切线．

23．（10 分）某旅游景点的门票价格是 20 元/ 人，日接待游客 500 人，进入旅游旺季时，景点想提高门票价格增加盈利．经过市场调查发现，门票价格每提高 5 元，日接待游客人数就 会减少 50 人．设提价后的门票价格为 x （元/ 人） (x > 20) ，日接待游客的人数为 y （人) ．
（1） 求 y 与 x(x > 20) 的函数关系式；
（2） 已知景点每日的接待成本为 z （元) ， z 与 y 满足函数关系式是 z = 100 + 10 y ．求景点的门票价格为多少元时，每日获取的利润为 7900 元？（利润= 门票收入- 接待成本）

24．（12 分）如图，正方形 ABCD 和正方形 DEFG 有公共顶点 D ．

（1） 如图 1，连接 AG 和CE ，直接写出 AG 和CE 的数量及位置关系 ；

（2） 如图 2，连接 AE ， M 为 AE 中点，连接 DM 、CG ，探究 DM 、CG 的数量及位置关系，并说明理由；

第 28页（共 28页）

25．（12 分）已知抛物线 y = ax2 + bx + c 与 x 轴交于 A(-2, 0) 、 B(6, 0) 两点，与 y 轴交于点

C(0, -3) ．
（1） 求抛物线的表达式；

（2） 点 P 为直线 BC 下方的抛物线上一个动点，当DPBC 面积最大时，求点 P 的坐标；
（3） 点 P 在直线 BC 下方的抛物线上，连接 AP 交 BC 于点 M ，当 PM 最大时，求点 P 的
AM
横坐标及 PM 的最大值．
AM

2022-2023 学年广东省广州市海珠区中山大学附中九年级（上） 期末数学试卷
参考答案与试题解析

一．选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）
1．（3 分）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是( )

A．等边三角形 B．圆 C．矩形 D．平行四边形

【解答】解：等边三角形不是中心对称图形，是轴对称图形， A 不合题意； 圆是中心对称图形，也是轴对称图形， B 不合题意；
矩形是中心对称图形，是轴对称图形， C 不合题意；
平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形， D 符合题意， 故选： D ．
2．（3 分）抛物线 y = 2(x - 4)2 + 3 顶点坐标是( )

A． (4,3) B． (-4, 3)
C． (4, -3)
D． (3, 4)

【解答】解：Q抛物线顶点式解析式为： y = 2(x - 4)2 + 3 ，
\顶点坐标为(4,3) ， 故选： A ．
3．（3 分）下列事件是必然事件的是( )

A. 太阳从东方升起

B. 汽车累计行驶 1 万千米，从未出现故障

C. 姚明在罚球线上投篮一次，投中 D．经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯
【解答】解： A ．太阳从东方升起，这是必然事件，故 A 符合题意；

B ．汽车累计行驶 1 万千米，从未出现故障，这是随机事件，故 B 不符合题意；

C ．姚明在罚球线上投篮一次，投中，这是随机事件，故C 不符合题意；
D ．经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯，这是随机事件，故 D 不符合题意． 故选： A ．
4．（3 分）已知 x = 1 是关于 x 的一元二次方程 x2 + mx = 0 的一个根，则 m 的值是( )

A． -1
B．0 C．1 D．2

【解答】解：把 x = 1 代入方程 x2 + mx = 0 得： 1 + m = 0 ， 解得： m = -1．
故选： A ．
5．（3 分）已知反比例函数图象经过点(-2, 3) 当 y < 3 时， x 的取值范围是( )

A. x < -2
B. x < -2 或 x > 0
C. x > -2
D. x > 0

【解答】解：把(-2, 3) 代入 y = k 得 k = -2 ´ 3 = -6 ，
x
\反比例函数的图象位于二、四象限，在每个象限 y 随 x 的增大而增大，
把 y = 3 代入 y = - 6 ，得3 = - 6 ，
x x
解得 x = -2 ，
\当 y < 3 时， x 的取值范围是 x < -2 或 x > 0 ． 故选： B ．
6．（3 分）如图，在平面直角坐标系中，DABC 与DDEF 是以原点O 为位似中心的位似图形，若 A(-2, 0) ， D(3, 0) ， BC = 3 ，则 EF 的长为( )

A．2 B．4.5 C．4 D．6
【解答】解：Q A(-2, 0) ， D(3, 0) ，
\OA = 2 ， OD = 3 ，
\OA : OD = 2 : 3 ，
QDABC 与DDEF 是以坐标原点O 为位似中心的位似图形，
\DABC∽DDEF ，
\ BC : EF = OA : OD = 2 : 3 ，
Q BC = 3 ，
\ EF = 4.5 ， 故选： B ．

7．（3 分）如图，AB 是半圆O 的直径，以弦 AC 为折痕折叠 ¶AC 后，恰好经过点O ，则ÐAOC

等于( )

A．120° B．125° C．130° D．145°
【解答】解： O 关于直线 AC 的对称点是Q ，连接OQ ，交 AC 于 M ，

则 AC 垂直平分OQ ，

即 AQ = AO ， OM ^ AC ，
Q OQ = OA ，
\OQ = AQ = OA ，
\DAQO 是等边三角形，
\ÐAOQ = 60° ，
Q OQ ^ AC ， OA = OC ，
\ÐCOQ = ÐAOQ = 60° ，
\ÐAOC = 60° + 60° = 120° ， 故选： A ．
8．（3 分）如图，点 D 、E 分别在 AC 、AB 上，ÐAED = ÐC ，且 BC = 2DE ，则 S四边形BEDC : SDABC

的值为( )

A．1: 4 B． 3 : 4 C． 2 : 3 D．1: 2
【解答】解：QÐAED = ÐC ， ÐA = ÐA ，
\DAED∽DACB ，

Q BC = 2DE ，
\ SDADE = ( DE )2 =

( 1 )2 = 1 ，

SDABC BC 2 4
\ S四边形BEDC : SDABC = 3 : 4 ， 故选： B ．
9．（3 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 4， ÐBCM = 30° ，点 E 是直线CM 上一个动点，连接 BE ，线段 BE 绕点 B 顺时针旋转45° 得到 BF ，连接 DF ，则线段 DF 长度的最小值等于( )

2
A． 4 - 4
B． 2 - 2
C． 2 - 2
D． 2 -

2
6
3
6
3
【解答】解：如图，连接 BD ，在 BD 上截取 BG ，使得 BG = BC ，连接 FG ，过点 D 作 DH ^ GF

于点 H ．

Q四边形 ABCD 是正方形，
\ÐCBD = 45° ， CD = CB = 4 ， ÐDCB = 90° ，

2
\ BD = 4 ， BG = BC = 4 ，

2
\ DG = BD - BG = 4 - 4 ，

QÐCBG = ÐEBF = 45° ，
\ÐCBE = ÐGBF ， 在DCBE 和DGBF 中，

ìCB = GB
í
ïÐCBE = ÐGBF ，
î
ïBE = BF

\DCBE @ DGBF (SAS ) ，
\ÐBCE = ÐBGF = 30° ，
\点 F 在直线GF 上运动，当点 F 与 H 重合时， DF 的值最小，
Q DH ^ FH ， ÐDGH = ÐBGF = 30°

2
\ DH = 1 DG = 2
2

\ DF 的最小值为 2
- 2 ，

2
- 2 ，

故选： B ．
10．（3 分）如图，在eO 中， AE 是直径，连接 BE ，若 AB = 8 ，OC ^ AB 于点 D ，CD = 2 ，则 BE 的长是( )
A．5 B．6 C．7 D．8
【解答】解：Q OC 是eO 的半径， OC ^ AB ，
\ AD = 1 AB = 4 ．
2
在RtDADO 中，
设OC = OA = x ，则OD = x - 2 ． 由勾股定理，得 x2 - (x - 2)2 = 42 ，
解得 x = 5 ，即OA = 5 ．
\ AE = 2 ´ OA = 10 ．

Q AE 是直径，
\ÐB = 90° ． 在RtDABE 中，
AE2 - AB2
\ BE =

102 - 82
=

= 6 ．
故选： B ．

二．填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）
11．（3 分）平面直角坐标系中，一点 P(-2, 3) 关于原点的对称点 P¢ 的坐标是 (2, -3) ．
【解答】解：根据中心对称的性质，得点 P(-2, -3) 关于原点对称点 P¢ 的坐标是(2, -3) ． 故答案为： (2, -3) ．
12．（3 分）圆锥的底面半径为 2，母线长为 6，则它的侧面积为 12p ．
【解答】解：根据圆锥的侧面积公式：prl = p´ 2 ´ 6 = 12p， 故答案为：12p．
1
13．（3 分）已知二次函数 y = ax2 + bx + c(a > 0) 图象的对称轴为直线 x = 1 ，且经过点(-1, y ) ，

(0, y2 ) ，则 y1 > y2 （填“ > ”“ < ”或“ = ” )

【解答】解：Q二次函数 y = ax2 + bx + c(a > 0) 图象的对称轴为直线 x = 1 ，
\当 x > 1 时， y 随 x 的增大而增大，当 x < 1 时， y 随 x 的增大而减小，

Q该函数经过点(-1, y1 ) ， (0, y2 ) ， | -1 -1|= 2 ， | 0 - 1 |= 1 ，

\ y1 > y2 ，

故答案为： > ．
14．（3 分）在某一时刻，测得一根高为1.2m 的竹竿的影长为3m ，同时测得一栋楼的影长为

60m ，则这栋楼的高度为 24 m ．

【解答】解：设这栋楼的高度为 h m ，
Q在某一时刻，测得一根高为1.2m 的竹竿的影长为3m ，同时测得一栋楼的影长为60m ，
\ 1.2 = h ，
3 60
解得 h = 24 ． 故答案为：24．
15．（3 分）在平面直角坐标系中，以点(-3, 2) 为圆心，3 为半径的圆与 y 轴的位置关系为 相

切 ．
【解答】解：Q点(-3, 2) 到 y 轴的距离为 3，且以点(-3, 2) 为圆心的圆的半径为 3，

\点(-3, 2) 到 y 轴的距离等于圆的半径，
\该圆与 y 轴的位置关系是相切， 故答案为：相切．
16．（3 分）如图，AB 是半圆直径，半径OC ^ AB 于点O ，AD 平分ÐCAB 交弧 BC 于点 D ，连接CD 、OD ，给出以下四个结论：① AC / /OD ；② CE = OE ；③ DODE∽DADO ；④ 2CD2 = CEgAB ．其中正确结论的序号是 ①④ ．

【解答】解：①Q AB 是半圆直径，
\ AO = OD ，
\ÐOAD = ÐADO ，
Q AD 平分ÐCAB 交弧 BC 于点 D ，
\ÐCAD = ÐDAO = 1 ÐCAB ，
2
\ÐCAD = ÐADO ，
\ AC / /OD ，
\①正确．
②过点 E 作 EF ^ AC ，
Q OC ^ AB ， AD 平分ÐCAB 交弧 BC 于点 D ，
\OE = EF ，
在RtDEFC 中， CE > EF ，
\CE > OE ，
\②错误．
③Q在DODE 和DADO 中，只有ÐADO = ÐEDO ，
QÐCOD = 2ÐCAD = 2ÐOAD ，
\ÐDOE ¹ ÐDAO ，
\不能证明DODE 和DADO 相似，
\③错误；
④Q AD 平分ÐCAB 交弧 BC 于点 D ，

\ÐCAD = 1 ´ 45° = 22.5° ，
2
\ÐCOD = 45° ，

Q AB 是半圆直径，
\OC = OD ，
\ÐOCD = ÐODC = 67.5°
QÐCAD = ÐADO = 22.5° （已证），
\ÐCDE = ÐODC - ÐADO = 67.5° - 22.5° = 45° ，
\DCED∽DCDO ，
\ CD = CE ，
CO CD
\CD2 = OCgCE = 1 ABgCE ，
2
\ 2CD2 = CEgAB ．
\④正确．
综上所述，只有①④正确． 故答案为：①④．

三．解答题（本大题共 9 小题，满分 72 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（4 分）解方程： (2x -1)2 = 4 ．

【解答】解：Q(2x -1)2 = 4 ，

\ 2x - 1 = ±2 ，
\ 2x - 1 = 2 或 2x - 1 = -2 ，
\ x = 3 ， x = - 1 ．

1 2 2 2

18．（4 分）如图，在平面直角坐标系中，DABC 三个顶点的坐标分别为 A(-2, 2) ，B(-3, -2) ，
C(-1, 0) ．
（1） 在平面直角坐标系中，点 P 的坐标为(1, -1) ，请在平面直角坐标系中画出DABC 关于点 P 成中心对称的新图形△ A1B1C1 ．

（2） ） 请直接写出以 O 为位似中心， △ A2 B2C2 与 DABC 位似比为 2 :1 时顶点 A2 的坐标

(4, -4) 或(-4, 4) ．

【解答】解：（1）如图，△ A1 B1C1 为所作；

（2）利用△ A2 B2C2 与DABC 位似比为 2 :1 ，

\ A2 (4, -4) 或(-4, 4) ．

故答案为： (4, -4) 或(-4, 4) ．
19．（6 分）如图，正比例函数 y = x 的图象与反比例函数 y = k (x > 0) 的图象交于点 A(1, a) ，
x
在DABC 中， ÐACB = 90° ， CA = CB ，点C 坐标为(-2, 0) ．
（1） 求 k 的值；

（2） 求 AB 所在直线的解析式．

【解答】解：（1）Q正比例函数 y = x 的图象经过点 A(1, a) ，
\ a = 1 ，
\ A(1,1) ，
Q点 A 在反比例函数 y = k (x > 0) 的图象上，
x
\ k = 1´1 = 1 ；
（2）作 AD ^ x 轴于点 D ， BE ^ x 轴于点 E ，
Q A(1,1) ， C(-2, 0) ，
\ AD = 1 ， CD = 3 ，
QÐACB = 90° ，
\ÐACD + ÐBCE = 90° ，
QÐACD + ÐCAD = 90° ，
\ÐBCE = ÐCAD ， 在DBCE 和DCAD 中，
ìÐBCE = ÐCAD
í
ïÐBEC = ÐCDA = 90° ，
î
ïCB = AC

\DBCE @ DCAD(AAS ) ，
\CE = AD = 1 ， BE = CD = 3 ，
\ B(-3, 3) ，
设直线 AB 的解析式为 y = mx + n ，
ìm = - 1

\ ìm + n = 1
í-3m + n = 3
î
，解得 ï 2 ，
í
ï
ïn = 3
î 2

\直线 AB 的解析式为 y = - 1 x + 3 ．
2 2

20．（6 分）“双减”政策下，为了切实提高课后服务质量，红星中学开展了丰富多彩的课后服务活动，设置了体育活动、劳动技能、经典阅读、科普活动四大板块课程（依次记为 A ， B ， C ， D) ．若该校小慧和小丽随机选择一个板块课程．
（1） 小慧选科普活动课程的概率是 1 ；
4
（2） 用画树状图或列表的方法，求小慧和小丽选同一个板块课程的概率．
【解答】解：（1）小慧选科普活动课程的概率是 1 ，
4
故答案为： 1 ；
4
（2）画树状图如下：

共有 16 种等可能的结果，其中小慧和小丽选同一个板块课程的结果有 4 种，
\小慧和小丽选同一个板块课程的概率为 4 = 1 ．
16 4
21．（8 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2 + 2mx + m2 + m = 0 有实数根．
（1） 求 m 的取值范围；

（2） 若该方程的两个实数根分别为 x 、 x ，且 x2 + x2 = 12 ，求 m 的值．
1 2 1 2

【解答】解：（1）根据题意得△ = (2m)2 - 4(m2 + m)…0 ，

解得 m„0 ．
故 m 的取值范围是 m„0 ；

（2）根据题意得 x + x = -2m ， x x
= m2 + m ，

1 2 1 2

1 2 1 2 1 2
Q x2 + x2 = (x + x )2 - 2x × x = 12 ，

\(-2m)2 - 2(m2 + m) = 12 ，即 m2 - m - 6 = 0 ， 解得 m1 = -2 ， m2 = 3 （舍去）．
故 m 的值为-2 ．
22．（10 分）如图，在RtDABC 中， ÐACB = 90° ， CD 是斜边 AB 上的中线，以CD 为直径的eO 分别交 AC 、 BC 于点 M 、 N ，过点 N 作 NE ^ AB ，垂足为点 E ．
（1） 若eO 的半径为13 ， AC = 5 ，求 BN 的长；
4
（2） 求证： NE 是eO 的切线．
【解答】解：（1）连接 DN ， ON ，

QeO 的半径为13 ，
4
\CD = 13 ，
2
QÐACB = 90° ， CD 是斜边 AB 上的中线，
\ BD = CD = AD = 13 ．
2
\ AB = 13 ，

AB2 - AC2
\ BC = = 12 ，

Q CD 为直径，

\ÐCND = 90° ，且 BD = CD ．
\ BN = NC = 6 ．
（2）QÐACB = 90° ， D 为斜边的中点，
\CD = DA = DB = 1 AB ．
2
\ÐBCD = ÐB ，
Q OC = ON ，
\ÐBCD = ÐONC ．
\ÐONC = ÐB ．
\ON / / AB ，
Q NE ^ AB ，
\ON ^ NE ．
\ NE 为eO 的切线．
23．（10 分）某旅游景点的门票价格是 20 元/ 人，日接待游客 500 人，进入旅游旺季时，景点想提高门票价格增加盈利．经过市场调查发现，门票价格每提高 5 元，日接待游客人数就 会减少 50 人．设提价后的门票价格为 x （元/ 人） (x > 20) ，日接待游客的人数为 y （人) ．
（1） 求 y 与 x(x > 20) 的函数关系式；
（2） 已知景点每日的接待成本为 z （元) ， z 与 y 满足函数关系式是 z = 100 + 10 y ．求景点的门票价格为多少元时，每日获取的利润为 7900 元？（利润= 门票收入- 接待成本）
【解答】解：（1）根据题意得： y = 500 - 20 - x ´ 50 = -10x + 700 ，
5
\ y 与 x(x > 20) 的函数关系式为 y = -10x + 700 ；
（2）Q z = 100 + 10 y = 100 + 10(-10x + 700) = -100x + 7100 ，
\ x(-10x + 700) - (-100x + 7100) = 7900 ， 解得 x = 50 或 x = 30 ，
\景点的门票价格为 50 元或 30 元时，每日获取的利润为 7900 元，
24．（12 分）如图，正方形 ABCD 和正方形 DEFG 有公共顶点 D ．

（1） ） 如图 1， 连接 AG 和 CE ， 直接写出 AG 和 CE 的数量及位置关系 AG = CE 且
AG ^ CE ；
（2） 如图 2，连接 AE ， M 为 AE 中点，连接 DM 、CG ，探究 DM 、CG 的数量及位置关系，并说明理由；

【解答】解：（1） AG = CE 且 AG ^ CE ，理由如下：

Q四边形 ABCD 和四边形 DEFG 是正方形，
\ÐADC = ÐGDE = 90° ， AD = CD ， DG = DE ，
\ÐADG = ÐCDE ，
\DADG @ DCDE (SAS ) ，
\ AG = CE ，
QÐADC = ÐGDE = 90° ， 由旋转可知： AG ^ CE ； 故 AG = CE 且 AG ^ CE ；

（2） DM 、CG 的关系是： DM = 1 CG ，且 DM ^ CG ，理由如下：
2
如图 2，延长 AD 至 H ，使 AD = DH ，连接 EH ，

QÐGDE = ÐCDH = 90° ，

\ÐGDE - ÐCDE = ÐCDH - ÐCDE ，即ÐCDG = ÐHDE ，
Q CD = DH ， GD = DE ，
\DDGC @ DDEH (SAS ) ，
\CG = EH ，
Q M 是 AE 的中点， AD = DH ，
\ DM 是DAEH 的中位线，
\ DM / / EH ， DM = 1 EH ，
2
\ DM = 1 CG ，
2
QÐGDE = ÐCDH = 90° ，
\DDGC 绕点逆时针旋转90° 到DDEH ，
\CG ^ EH ，
\ DM ^ CG ．
\ DM 、CG 的关系是： DM = 1 CG ，且 DM ^ CG ．
2

25．（12 分）已知抛物线 y = ax2 + bx + c 与 x 轴交于 A(-2, 0) 、 B(6, 0) 两点，与 y 轴交于点

C(0, -3) ．
（1） 求抛物线的表达式；

（2） 点 P 为直线 BC 下方的抛物线上一个动点，当DPBC 面积最大时，求点 P 的坐标；
（3） 点 P 在直线 BC 下方的抛物线上，连接 AP 交 BC 于点 M ，当 PM 最大时，求点 P 的
AM
横坐标及 PM 的最大值．
AM
【解答】解：（1）将点 A(-2, 0) 、 B(6, 0) 、C(0, -3) 代入 y = ax2 + bx + c ，

ìa = 1
ì4a - 2b + c = 0 ï 4
得ï36a + 6b + c = 0 ，解得： ïb = -1 ，

í
î
ïc = -3

\ y = 1 x2 - x - 3 ；
4
í
ï
ïc = -3
î

（2） 设直线l 交 BC 于点 H ，

设直线 BC 的解析式为 y = kx + d ，

ì6k + d = 0
ìk = 1

î
\ íd = -3
，解得： ï 2 ，

í
\ y = 1 x - 3 ，
2
ïîd = -3

设 P(t, 1 t 2 - t - 3) ，则 H (t, 1 t - 3) ，

4

则DPBC 面积= S


DPHB
2

+ SDPHC
= 1 ´ PH ´ BO = 1 - 3 - 1 t 2 + t + 3) = - 3 t 2 + 9 t ，
3( t
2 2 4 4 2

Q - 3 < 0 ，故DPBC 面积有最大值，
4
当t = 3 时， DPBC 面积有最大值，此时点 P(3, - 15) ；
4

（3） 如图 1，过点 A 作 AE ^ x 轴交直线 BC 于点 E ，过 P 作 PF ^ x 轴交直线 BC 于点 F ，

\ PF / / AE ，
\ MP = PF ，
AM AE
设 P(t, 1 t 2 - t - 3) ，则 F (t, 1 t


- 3) ，

4 2
\ PF = 1 t - 3 - 1 t 2 + t + 3 = - 1 t 2 + 3 t ，
2 4 4 2
Q A(-2, 0) ，
\ E(-2, -4) ，
\ AE = 4 ，

\ MP = PE =
- 1 t 2 + 3 t
4 2
= - 1 (t - 3)2 +

9 „ 9 ，

AM AE 4 16 16 16
\当t = 3 时， MP 有最大值 9 ，
AM 16
\ P(3, - 15) ，
4
即点 P 的横坐标为 3， MP 有最大值 9 ．
AM 16